1、习题 1 1.1 选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径 ),( yxr 的端点处，其速度大小为 (A)dtdr(B) dtrd (C) dtrd | (D) 22 )()(dtdydtdx 答案： D (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度 smv /2 ，瞬时加速度 2/2 sma ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于 -2m/s (C)等于 2m/s (D)不能确定。 答案： D (3) 一质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，在 2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) tRtR 2,2 (B) tR2,0 (C) 0,0 (D
2、) 0,2tR 答案 ： B 1.2 填空题 (1) 一质点，以 1sm 的匀速率作半径为 5m 的圆周运动，则该质点在 5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 答案 ： 10m； 5m (2) 一质点沿 x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为 a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度 v0 为 5ms-1，则当 t 为 3s 时，质点的速度 v= 。 答案 ： 23ms-1 (3) 轮船在水上以相对于水的速度 1V 航行，水流速度为 2V ，一人相对于甲板以速度 3V 行走。如人相对于岸静止，则 1V 、 2V 和 3V 的关系是 。 答案 ： 0321 VVV 1.3 一个物体
3、能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （ 1） x=4t-3；（ 2） x=-4t3+3t2+6；（ 3） x=-2t2+8t+4；（ 4） x=2/t2-4/t。 给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（ x 单位为 m， t 单位为 s） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。
4、加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（ 3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 22484dxvtdtdxadt t=3s 时的速度和加速度分别为 v=20m/s， a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动； (2) 匀速曲线运动； (3) 变速直线运动； (4) 变速曲线运动。 解： (1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向
5、加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 r 与 r 有无不同 ?tddr和 ddrt有无不同 ? tddv和tddv有无不同 ?其不同在哪里 ?试举例说明 解： （ 1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r 12 rr ， 12 rrr ； （ 2）tddr是速度的模，即tddr v tsdd. trdd 只是速度在径向上的分量 . 有 rr r （式中 r 叫做单位矢），则 trtrt dddddd rrr 式中 trdd 就是速度在径向上的分量， trt dddd 与r不同如题 1.6 图所示
6、. 题 1.6 图 (3)tddv表示加速度的模，即tva dd ， tvdd 是加速度 a 在切向上的分量 . 有 (vv 表轨道节线方向单位矢），所以 tvtvtv dddddd 式中dtdv就是加速度的切向分量 . ( ttr dddd 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论 ) 1.7 设质点的运动方程为 x =x (t )， y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 22 yx ，然后根据 v = trdd 及 a 22ddtr 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的v = 22dddd tytx， a = 222222dddd t yt x你认为两种方法哪
7、一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确 .因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr ， jt yit xt rajtyitxtrv222222dddddddddddd故它们的模即为 222222222222ddddddddtytxaaatytxvvvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22dddd t ratrv 其二，可能是将22dddd trtr与 误作速度与加速度的模。在 1.6 题中已说明 trdd 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22ddtr 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一
8、部分 222dddd trt ra 径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。 1.8 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 2+3t -4. 式中 t 以 s计， x ,y 以 m计 (1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量，计算这 1秒内质点的位移； (3)计算 t 0 s时刻到 t 4s时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，计算 t 4 s 时质点的速
9、度； (5)计算 t 0s 到 t 4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t 4s 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式 ) 解：（ 1） jttitr )4321()53( 2 m (2)将 1t , 2t 代入上式即有 jir 5.081 m 2 11 4r i jm 21 3 4 .5r r r i j m (3) 045 4 , 1 7 1 6r i j r i j 104 sm534 201204 jijirrtrv (4) 1sm)3(3dd jtitrv 则 jiv 734 1s
10、m (5) jivjiv 73,33 40 240 4 1 m s44vvvjajt (6) 2sm1dd jtva 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a 2+6 2x ， a 的单位为 2sm ， x 的单位为 m. 质点在 x 0处，速度为 10 1sm ,试求质点在任何坐标处的速度值 解： xvvtxxvtva dddddddd 分离变量： 2d ( 2 6 ) dv v a d x x x 两边积分得 cxxv 32 2221 由题知， 0x 时， 100v , 50c 13 sm252 xxv 1.10 已知一质点作直线
11、运动，其加速度为 a 4+3t 2sm ， 开始运动时， x 5 m， v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解： ttva 34dd 分离变量，得 ttv d)34(d 积分，得 12234 cttv 由题知， 0t , 00v , 01c 故 2234 ttv 又因为 2234dd tttxv 分离变量， tttx d)234(d 2 积分得 232 212 cttx 由题知 0t , 50x , 52c 故 5212 32 ttx 所以 s10t 时 m7 0 551021102sm1 9 0102310432101210 xv1.11 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运
12、动方程为 =2+33t ， 式中 以弧度计， t 以秒计，求： (1) t 2 s时，质点的切向和法向加速度； (2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少 ? 解： tttt 18dd,9dd 2 (1) s2t 时， 2sm362181 Ra 2222 sm1 2 9 6)29(1 Ra n(2)当加速度方向与半径成 45 角时，有 145tan naa 即 RR 2 亦即 tt 18)9( 22 则解得 923t 于是角位移为 3 22 3 2 3 2 .6 7 r a d9t 1.12 质点沿半径为 R 的圆周按 s 20 21bttv 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某
13、点的弧长 , 0v ， b 都是常量，求： (1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解：（ 1） btvtsv 0ddRbtvRvabtvan202 )(dd则 240222 )(R btvbaaa n 加速度与半径的夹角为 20 )(a r c ta n btv Rbaa n (2)由题意应有 2402 )(R btvbba 即 0)(,)( 4024022 btvR btvbb 当 bvt 0 时， ba 1.13 飞轮半径为 0.4 m =70.2 rad 2s ，求 t 2s时边缘解：当 s2t 时， 4.022.0 t 1srad 则 16.04.
14、04.0 Rv 1sm 064.0)4.0(4.0 22 Ra n 2sm 08.02.04.0 Ra 2sm 22222 sm102.0)08.0()064.0( aaa n 1.14 一船以速率 1v 30km h-1沿直线向东行驶 ， 另一小艇在其前方以速率 2v 40km h-1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少 ?在艇上看船的速度又为多少 ? 解： (1)大船看小艇，则有 1221 vvv ，依题意作速度矢量图如题 1.14 图 (a) 题 1.14 图 由图可知 1222121 hkm50 vvv 方向北偏西 87.3643a r c t a na r c t a n 2
15、1vv(2)小艇看大船，则有 2112 vvv ，依题意作出速度矢量图如题 1.14 图 (b)，同上法，得 5012v 1hkm 方向南偏东 o87.36 . 习题 2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 答案 ： C (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 答案 ： C (3) 对功的概念有以下几种说法： 保守
16、力作正功时，系统内相应的势能增加。 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)、是正确的。 (B)、是正确的。 (C)只有是正确的。 (D)只有是正确的。 答案 ： C 2.2 填空题 (1) 某质点在力 ixF )54( （ SI）的作用下沿 x 轴作直线运动。在从 x=0 移动到 x=10m的过程中，力 F 所做功为 。 答案 ： 290J (2) 质量为 m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为 v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离 s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与
17、水平面间的摩擦系数为 。 答案 ： 22;vvs gs (3) 在光滑的水平面内有两个物体 A 和 B，已知 mA=2mB。（ a）物体 A 以一定的动能 Ek 与静止的物体 B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（ b）物体 A以一定的动能 Ek 与静止的物体 B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。 答案 ： 2; 3kkEE 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （ 1）质点作匀速直线运动； （ 2）质点作匀减速直线运动； （ 3）质点作匀速圆周运动； （ 4）质点作匀加速圆周运动。 解：（ 1）所受合力为零； （ 2）所受合力为大小、方向均保持不变的力
18、，其方向与运动方向相反； （ 3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力； （ 4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。 2.4 举例说明以下两种说法是不正确的： （ 1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （ 2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（ 1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同； （ 2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。 2.5 质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？ 解：质点系动
19、量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。 2.6 在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？ 解：在经典力学中，动量 、动能、势能、功与参考系的选取有关。 2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m 的物体，另一边穿在质量为 2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a 下滑，求 1m ， 2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力 (绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间
20、的摩擦不计 ) 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a ，其对于 2m 则为牵连加速度，又知 2m对绳子的相对加速度为 a ，故 2m 对地加速度， 题 2.7 图 由图 (b)可知，为 aaa 12 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律，有 111 amTgm 222 amgmT 联立、式，得 2121211212212211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论 (1)若 0a ，则 21 aa 表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若 ga 2 ，则 0fT ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m , 2m 均作自由落体运动 2.8 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v 运动， 0v 的方向
