1、5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP5.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming 5.3 0 1规划的求解 Solving Binary Integer Programming Chapter 5 整数规划Integer Programming运筹学Operations ResearchDate5.1 整数规划数学模型Mathematical Model of IPDateCh5 整数规划Integer Programming Page 3 整数线性规划实际生产中的整数规划问题：实际生产中的整数规划问题：1.
2、变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量 x，当 x=1表示投资， x=0表示不投资；3. 人员的合理安排问题，当变量 xij=1表示安排第 i人去做 j工作， xij=0表示不安排第 i人去做 j工作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP 一个规划问题纯整数规划混合整数规划全部决策变量是整数部分决策变量是整数整数规划线性模型DateCh5 整数规划Integer Programming Page 4 【 例 5.1 】 某人有一背包可以装 10公斤重、
3、 0.025m3的物品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表 3-1所示。问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？表 5-1【 解 】 设甲、乙两种物品各装 x1、 x2件，则数学模型为：(5.1)5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP 物品 重量（公斤 /每件） 体 积（ m3/每件） 价 值(元 /每件 )甲乙1.20.80.0020.002543DateCh5 整数规划Integer Programming Page 5 如果不考虑 x1、 x2取整数的约束（称为（ 5.1）的松弛问题），线性规划的可行域如图 5-1中的阴影部
4、分所示。5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP 图 5-1整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合，但（ 4,7）、（4,8）、（ 3,8）都不是可行解，（ 3,7）虽属可行解，但代入目标函数得 Z=33,并非最优。问题的最优解是（ 5,5）， Z=35。即两种物品各装 5件，总价值 35元。DateCh5 整数规划Integer Programming Page 6 由图 5-1知，点（ 5,5）不是可行域的顶点，直接用图解法或单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解，因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法
5、。还有些问题用线性规划数学模型无法描述，但可以通过设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP DateCh5 整数规划Integer Programming Page 7 【 例 5.2 】 在例 5.1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为 12公斤，其体积是 0.02m3。 背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。（ 1）所装物品不变；（ 2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是 4和 3，载重量和体积的约束为【 解 】 此问题可以建立两个整数规划模型，但用一个模型描述
6、更简单。引入 0-1变量（或称逻辑变量） yi，令i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP DateCh5 整数规划Integer Programming Page 8 （ 1） 由于所装物品不变，式 (5.1)约束左边不变，整数规划数学模型为（ 2）由于不同载体所装物品不一样，数学模型 为5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP 式中 M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1， y2=0)，式 (b)和 (d)是多余的；当使用旅行箱时 (y1=0，y2=1)，式 (a)和 (
7、c)是多余的。 上式也可以令：DateCh5 整数规划Integer Programming Page 9 同样可以讨论对于有 m个条件互相排斥、有 k（ m、 m） 个条件起作用的情形。（ 1）右端常数是 k个值中的一个时，类似式（ 5.2）的约束条件为5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP （ 2）对于 m组条件中有 k（ m）组起作用时，类似式 (5.3)的约束条件写成这里 yi=1表示第 i组约束不起作用（如 y1=1式 (5.3b)、 (5.3d)不起作用）， yi=0表示第 i个约束起作用。当约束条件是 “”符号时右端常数项应为DateCh5 整数规划Integer Programming Page 10 （ 3）对于 m个 条件中有 k（ m）个起作用时，约束条件写成5.1 整数规划的数学模型Mathematical Model of IP 【 例 5.3】 试引入 0 1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件（ 1） x1+x26或 4x1+6x210或 2x1+4x220 （ 2）若 x15，则 x20， 否则 x28（ 3） x2取值 0， 1， 3， 5， 7【 解 】 （ 1） 3个约束只有 1个起作用或Date
