九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题64333.doc

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1、1圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆:平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其 中定点为圆心,定长为半径弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径(2)圆的有关性质圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对 称中心为圆心垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧

2、;平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示,以 CD 为端点的弧记为“ ”,读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径等圆:能够完

3、全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(3)对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点) ,二是半径(即定长)2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半2(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆

4、内接四边形圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于 它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则点在圆上 d=r;点在圆内 d dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定

5、理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形 .(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有

6、公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d;d 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理:3圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、

7、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫

8、做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-r d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心

9、线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补 ; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式:圆周长 C=2 R (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 4图 5OBCAC BAOCBA O弧长 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)180Rl3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.

10、圆的面积 (R 表示圆的半径)2RS6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3602扇 形弓形的面积公式:(如图 5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三 角 形扇 形弓 形 SS(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三 角 形扇 形弓 形 (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇 形弓 形 R215OCBAABCDO例题解析【例题 1】如图 1, 是 的外接圆, 是直径,若 ,则BCAB80BC等于( )AA60 B50 C40 D30图 1 图 2 图3【例题 2】如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C,若大圆半径为10c

11、m,小圆半径为 6cm,则弦 AB 的长为 cm【例题 3】如图 3,ABC 内接于O,AB=BC,ABC=120,AD 为O 的直径,AD6,那么 BD_【例题 4】如图 4 已知O 的两条弦 AC,BD 相交于点 E,A=70 o,c=50 o,那么 sinAEB 的值为()A. 21 B. 3 C. 2 D. 23图 4【例题 5】如图 5,半圆的直径 ,点 C 在半圆上, 10AB6B(1)求弦 的长;ACP BCEA(图 8)6CBAOBCA OCA BS1 S2(2)若 P 为 AB 的中点, 交 于点 E,求 的长PEAB CP三、课堂练习1、如图 6,在O 中,ABC=40,则

12、AOC 度图 6 图 7 图 82、如图 7,AB 是O 的直径, AC 是弦,若ACO = 32,则COB 的度数等于 3、已知O 的直径 AB=8cm,C 为O 上的一点,BAC=30,则BC=_cm.4、如图 8,已知在 中, , ,分别以 , 为RtAB Rt4ABACB直径作半圆,面积分别记为 , ,则 + 的值等于 1S212S5、如图 9,O 的半径 OA10cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最短距离为_cm。图 976、如图 10,在O 中,ACB=BDC=60,AC= ,cm32(1)求BAC 的度数; (2)求O 的周长7、已知:如图 11,O 的直径

13、AB 与弦 CD 相交于,弧 BC弧 BD,O的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F(1)求证:CDBF(2)连结 BC,若O 的半径为 4,cosBCD= ,求线段 AD、CD 的长348、如图 12,在ABC 中,AB=BC ,以 AB 为直径的O 与 AC 交于点 D,过 D 作 DFBC,交 AB 的延长线于 E,垂足为 F(1)求证:直线 DE 是O 的切线;(2)当 AB=5,AC=8 时,求 cosE 的值图 128四、经典考题解析1.如图 13,在O 中,已知A CBCDB6 0 ,AC3,则ABC 的周长是_.图 13 图 14 图 152.“圆材埋壁”是我国古代九章

14、算术中的问题:“今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何” 用数学语言可表述为如图 14,CD 为O 的直径,弦 ABCD 于点 E,CE 1 寸,AB=10 寸,则直径 CD的长为( )A125 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸3.如图 15,已知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD 和 BC 相交于点 P,那么 等于( CDAB)AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O 的半径是 5,AB、CD 为O 的两条弦,且 ABCD,AB=6,CD=8,求 AB 与 CD 之间的距离95.如图 16,在M 中,弧 AB 所对的圆心角为

15、1200,已知圆的半径为 2cm,并建立如图所示的直角坐标系,点 C 是 y 轴与弧 AB 的交点。(1)求圆心 M 的坐标;( 2)若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点,求四边形 ACBD 的最大面积图 16 五、课后训练1.如图 17,在O 中,弦 AB=1.8cm,圆周角ACB=30 ,则 O 的直径等于_cm图 17 图 18 图 192.如图 18,C 是O 上一点,O 是圆心若C=35,则AOB 的度数为( )A35 B70 C105 D150 3.如图 19,O 内接四边形 ABCD 中,AB=CD,则图中和1 相等的角有_ 4.在半径为 1 的圆中,弦 AB、AC 分别是 3

16、和 2,则 BAC 的度数为多少?5.如图 20,弦 AB 的长等于O 的半径,点 C 在O 上,则C 的度数是_. CDA BOMYX10图 20 图 21 图 22 6.如图 21,四边形 ABCD 内接于O,若BOD=100,则DAB 的度数为( )A50 B80 C100 D1307.如图 22,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,点 E 在 CD 的延长线上,如果BOD=120 ,那么BCE 等于( )A30 B60 C90 D1208.如图,O 的直径 AB=10,DEAB 于点 H,AH=2(1)求 DE 的长;(2)延长 ED 到 P, 过 P 作O 的切线,切点为 C,若 PC=22 5,求 PD的长

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