小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程.doc

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1、1小学数学 30 种典型应用题讲解应用题可分为一般应用题与典型应用题。没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题,叫做一般应用题。题目中有特殊的数量关系,可以用特定的步骤和方法来解答的应用题,叫做典型应用题.以下主要研究 30 类典型应用题:1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题19、 “牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25 、构

2、图布数问题26、幻方问题27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题1 归一问题【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量) ,然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量(总量份数)所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱,买同样的铅笔 16 支,需要多少钱?解(1)买 1 支铅笔多少钱? 0.650.12(元)(2)买 16 支铅笔需要多少钱?0.12161.92(元)列成综合算式 0.65160.1

3、2161.92(元)答:需要 1.92 元。例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷,照这样计算,5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?解(1)1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷? 903310(公顷)(2)5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷? 1056300(公顷)列成综合算式 9033561030300(公顷)答:5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材,如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材,需要运几次?2解 (1)1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材? 100545(吨)(2)7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材? 5735(吨)(3)105

4、 吨钢材 7 辆汽车需要运几次? 105353(次)列成综合算式 105(100547)3(次)答:需要运 3 次。2 归总问题【含义】 解题时,常常先找出“总数量” ,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布,现在可以做多少套?解 (1)这批布总

5、共有多少米? 3.27912531.2(米)(2)现在可以做多少套? 2531.22.8904(套)列成综合算式 3.27912.8904(套)答:现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书,12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书,几天可以读完红岩?解 (1) 红岩这本书总共多少页? 2412288(页)(2)小明几天可以读完红岩? 288368(天)列成综合算式 2412368(天)答:小明 8 天可以读完红岩 。例 3 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃 50 千克,30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃 10 千克,这批蔬菜可以吃多少天?解 (1

6、)这批蔬菜共有多少千克? 50301500(千克)(2)这批蔬菜可以吃多少天? 1500(5010)25(天)列成综合算式 5030(5010)15006025(天)答:这批蔬菜可以吃 25 天3 和差问题【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数(和差) 2 小数(和差) 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人?3解 甲班人数(986)252(人)乙班人数(986)246(人)答:甲班有 52 人,乙班有 46 人。例 2 长方形

7、的长和宽之和为 18 厘米,长比宽多 2 厘米,求长方形的面积。解 长(182)210(厘米) 宽(182)28(厘米)长方形的面积 10880(平方厘米)答:长方形的面积为 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重 32 千克,乙丙两袋共重 30 千克,甲丙两袋共重 22 千克,求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(3230)2 千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知甲袋化肥重量(222)212(千克)丙袋化肥重量(222)210(千克)乙袋化肥重量321220(千克)答:甲袋化肥重 12 千克,乙袋化肥重 20 千克,丙袋化肥重 10 千

8、克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐,从甲车取下 14 筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多 3 筐,两车原来各装苹果多少筐?解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多 3 筐” ,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(1423) ,甲与乙的和是 97,因此甲车筐数(971423)264(筐)乙车筐数976433(筐)答:甲车原来装苹果 64 筐,乙车原来装苹果 33 筐。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几) ,要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 总和 (几倍1)较小的数 总和 较小的数 较大的数较小的数

9、 几倍 较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵,桃树的棵数是杏树的 3 倍,求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵? 248(31)62(棵)(2)桃树有多少棵? 623186(棵)答:杏树有 62 棵,桃树有 186 棵。例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨,东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍,求两库各存粮多少吨?解 (1)西库存粮数480(1.41)200(吨)(2)东库存粮数480200280(吨)答:东库存粮 280 吨,西库存粮 200 吨。4例 3 甲站原有车 52 辆,乙站原有车 32 辆,

10、若每天从甲站开往乙站 28 辆,从乙站开往甲站 24 辆,几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍?解 每天从甲站开往乙站 28 辆,从乙站开往甲站 24 辆,相当于每天从甲站开往乙站(2824)辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量,这时乙站的车辆数就是 2 倍量,两站的车辆总数(5232)就相当于(21)倍,那么,几天以后甲站的车辆数减少为 (5232)(21)28(辆)所求天数为 (5228)(2824)6(天)答:6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三数之和是 170,乙比甲的 2 倍少 4,丙比甲的 3 倍多 6,求三数各是多少?解 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作

11、为 1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4,所以给乙加上 4,乙数就变成甲数的 2 倍;又因为丙比甲的 3 倍多 6,所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍;这时(17046)就相当于(123)倍。那么,甲数(17046)(123)28乙数282452丙数283690答:甲数是 28,乙数是 52,丙数是 90。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几) ,要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差(几倍1)较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是

12、杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵?解 (1)杏树有多少棵? 124(31)62(棵)(2)桃树有多少棵? 623186(棵)答:果园里杏树是 62 棵,桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍,求父子二人今年各是多少岁?解 (1)儿子年龄27(41)9(岁)(2)爸爸年龄9436(岁)答:父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。例 3 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元,又知本月盈利比上月盈利多 30 万元,求这两个月盈利各是多少万元?解 如果把上月盈利作为 1 倍量,则(

13、3012)万元就相当于上月盈利的(21)倍,因此 上月盈利(3012)(21)18(万元)本月盈利183048(万元)5答:上月盈利是 18 万元,本月盈利是 48 万元。例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨,问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍?解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(13894) 。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量,则几天后剩下的玉米就是 3 倍量,那么, (13894)就相当于(31)倍,因此剩下的小麦数量(13894)(31)22(吨)运出的小麦数量942272(吨)运粮的天数7298(天)答

14、:8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克,现在有油菜籽 3700 千克,可以榨油多少?解 (1)3700 千克是 100 千克的多少倍? 370010037(倍)(2)可以榨油多少千克? 40371480(千克)列成综合算式 40(3700100)1480(千克)答:可以榨油 1480 千克。例

15、 2 今年植树节这天,某小学 300 名师生共植树 400 棵,照这样计算,全县 48000 名师生共植树多少棵?解 (1)48000 名是 300 名的多少倍? 48000300160(倍)(2)共植树多少棵? 40016064000(棵)列成综合算式 400(48000300)64000(棵)答:全县 48000 名师生共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元,照这样计算,全乡 800 亩果园共收入多少元?全县 16000 亩果园共收入多少元?解 (1)800 亩是 4 亩的几倍? 8004200(倍)(2)800 亩收入多少元?

16、 111112002222200(元)(3)16000 亩是 800 亩的几倍? 1600080020(倍)(4)16000 亩收入多少元? 22222002044444000(元)答:全乡 800 亩果园共收入 2222200 元,全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间总路程(甲速乙速)6总路程(甲速乙速)相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行

17、,从南京开出的船每小时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21千米,经过几小时两船相遇?解 392(2821)8(小时)答:经过 8 小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑 5 米,小刘每秒钟跑 3 米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 4002相遇时间(4002)(53)100(秒)答:二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行 15 千米,乙每小时行 13 千米,两人在距中点 3 千米处相遇,求

18、两地的距离。解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点 3 千米,乙距中点 3 千米,就是说甲比乙多走的路程是(32)千米,因此,相遇时间(32)(1513)3(小时)两地距离(1513)384(千米)答:两地距离是 84 千米。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程(快速慢速)追及路程(快速慢速)追及时

19、间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120 千米,劣马每天走 75 千米,劣马先走 12 天,好马几天能追上劣马?解 (1)劣马先走 12 天能走多少千米? 7512900(千米)(2)好马几天追上劣马? 900(12075)20(天)列成综合算式 7512(12075)9004520(天)答:好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步,小明跑一圈用 40 秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米,求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即 200

20、米,此时小亮跑了(500200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒,则跑 500 米用40(500200) 秒,所以小亮的速度是 (500200)40(500200) 3001003(米)7答:小亮的速度是每秒 3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑,解放军在晚上 22 点接到命令,以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米,问解放军几个小时可以追上敌人?解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(2216)小时,这段时间敌人逃跑的路

21、程是10(2216) 千米,甲乙两地相距 60 千米。由此推知追及时间10(2216)60(3010)120206(小时)答:解放军在 6 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行 48 千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行 40 千米,两车在距两站中点 16 千米处相遇,求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,这个时间为 162(4840)4(小时)所以两站间的距离为 (4840)4352(千米)列成综合算式 (4840)162(4840) 884352(千米)

22、答:甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走 90 米,妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(1802)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(9060)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为1802(9060)12(分钟)家离学校的距离为 9012180900(米)答:家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校,他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校

23、,当他走了 1 千米时,发现手表慢了 10 分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分钟,就等于晚出发 10 分钟,如果按原速走下去,就要迟到(105)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(105)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少 9 分钟,由此可知,行 1 千米,跑步比步行少用9(105) 分钟。所以 步行 1 千米所用时间为 19(105) 0.25(小时)15(分钟)跑步 1 千米所用时间为 159(105) 11(分钟)跑步速度为每小时 11160

24、5.5(千米)答:孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距18圆形植树 棵树=圆形周长棵距闭合环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数方形周长棵距三角形 棵树=三角形周长棵距面积植树 棵数面积(棵距行距)【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?解 1362168169(棵)答:一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400

25、 米,在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树?解 4004100(棵) 答:一共能栽 100 棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场,每边长 220 米,每隔 8 米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯?解 22048106(个)答:一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米,问至少需要多少块地板砖?解 96(0.60.4)960.24400(块)答:至少需要 400 块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔 50 米有一个电杆,每个电杆上安装 2 盏路

26、灯,一共可以安装多少盏路灯?解 (1)桥的一边有多少个电杆? 50050111(个)(2)桥的两边有多少个电杆? 11222(个)(3)大桥两边可安装多少盏路灯?22244(盏)答:大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差(几倍1)较小的数例 1 爸爸今年 35 岁

27、,亮亮今年 5 岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?解 3557(倍) (35+1)(5+1)6(倍)答:今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍,明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。9例 2 母亲今年 37 岁,女儿今年 7 岁,几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍?解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37730(岁)(2)几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍?30(41)73(年)列成综合算式 (377)(41)73(年)答:3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍,父子今年各多少岁?解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加(32)岁

28、,今年二人的年龄和为 493255(岁)把今年儿子年龄作为 1 倍量,则今年父子年龄和相当于(41)倍,因此,今年儿子年龄为 55(41)11(岁)今年父亲年龄为 11444(岁)答:今年父亲年龄是 44 岁,儿子年龄是 11 岁。例 4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才 4 岁” 。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将 61 岁” 。求甲乙现在的岁数各是多少?(可用方程解)解这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:过去某一年 今 年 将来某一年甲 岁 岁 61 岁乙 4 岁 岁 岁表中两个“”表示同一个数,两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄

29、差总相等:461,也就是 4,61 成等差数列,所以,61 应该比 4 大 3 个年龄差,因此二人年龄差为 (614)319(岁)甲今年的岁数为 611942(岁)乙今年的岁数为 421923(岁)答:甲今年的岁数是 42 岁,乙今年的岁数是 23 岁。11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】 (顺水速度逆水速度)2船速(顺水速度逆水速度)2水速顺水速船速+水速逆水速水速2逆水速船速-水速顺水

30、速水速2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时,水流速度为每小时 15 千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?解 由条件知,顺水速船速水速3208,而水速为每小时 15 千米,所以,船速为每小时 32081525(千米)10船的逆水速为 251510(千米)船逆水行这段路程的时间为 3201032(小时)答:这只船逆水行这段路程需用 32 小时。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时,返回原地需 10 小时;乙船逆水行同样一段距离需 15 小时,返回原地需多少时间?解由题意得 甲船速水速3601036甲船速水速3601

31、820可见 (3620)相当于水速的 2 倍,所以, 水速为每小时 (3620)28(千米)又因为, 乙船速水速36015,所以, 乙船速为 36015832(千米)乙船顺水速为 32840(千米)所以, 乙船顺水航行 360 千米需要 360409(小时)答:乙船返回原地需要 9 小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时 576 千米,风速为每小时 24 千米,飞机逆风飞行 3 小时到达,顺风飞回需要几小时?解 这道题可以按照流水问题来解答。(1)两城相距多少千米? (57624)31656(千米)(2)顺风飞回需要多少小时? 1656(57624)2.76(小时)列成综

32、合算式 (57624)3(57624)2.76(小时)答:飞机顺风飞回需要 2.76 小时。12 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥:过桥时间(车长桥长)车速火车追及:追及时间(甲车长乙车长距离)(甲车速乙车速)火车相遇:相遇时间(甲车长乙车长距离)(甲车速乙车速)【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米,一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米?解 火车 3 分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。(1)火车 3 分钟行多少米? 90032700(米)(2)这列火车长多少米? 27002400300(米)列成综合算式 90032400300(米)答:这列火车长 300 米。例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥,用了 2 分 5 秒钟时间,求大桥的长度是多少米?解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒,所走的路程是(8125)米,这段路程就是(200 米桥长) ,所以,桥长为

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