浓度问题题库教师版.doc

1、6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 1 of 136-2-3 溶液浓度问题教学目标1、明确溶液的质量,溶质的质 量,溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他 类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题知识精讲浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知 识点而言它包括小学所学 2 个重点知识：百分数，比例。一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐” ，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出 现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质

2、+溶剂2、 10%=10+与三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达： AB与 与与注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角， 浓 度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：:乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙z-y x-zz-yx-z乙乙乙乙乙y%乙乙乙乙乙x%乙乙乙乙z%6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 2 of 133、列方程解应用题也是解决浓 度问题的重要方法例题精讲模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题（一） 两种溶液混合一次【例 1】 某种溶液由 40 克食盐浓度

3、15%的溶液和 60 克食盐浓度 10%的溶液混合后再蒸发 50 克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【解析】 两种配置溶液共含食盐 4015%+6010%=12 克，而溶液质量为 40+60-50=50 克，所以这种溶液的浓度为 1250=24%.【巩固】 一容器内有浓度为 25的糖水，若再加入 20 千克水，则糖水的浓度变为 15，问这个容器内原来含有糖多少千克？【解析】 容器内原含糖 7.5 千克。【巩固】 现有浓度为 10的盐水 8 千克，要得到浓度为 20的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？【解析】 需蒸发掉 4 千克水，溶液的 浓度变为 20。【例 2】 有浓度为 20的

4、盐水 300 克，要配制成 40的盐水，需加入浓度为 70的盐水多少克？【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线相连；（见图 1）直线两侧标着两个浓度的差，并化成 简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“ 比”的理解应上升到“份” ，3 份对应的为 300 克，自然知道 2 份为 200 克了。需加入 浓度为 70的盐水 200 克。【巩固】 现有浓度为 10的盐水 20 千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为 30的盐水，可以得到浓度为 22的盐水？【解析】 10%与 30%的盐水重量之比为（30%-22% ）：（22%-10%）

5、=2：3，因此需要 30%的盐水 2023=30 克。【巩固】 千克浓度为 的溶液和多少千克浓度为 的溶液能混合成 的溶液？430%10%26%【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为 ，所以 应该用 千克的26:3264:1416-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 3 of 13的溶液来混合.10%【例 3】 甲种酒精溶液中有酒精 千克，水 千克；乙种酒精溶液中有酒精 千克，水 千克；要配制6993成 的酒精溶液 千克，问两种酒精溶液各需多少千克？57【解析】 甲种酒精浓度为 ，乙种酒精浓度为 ，根据浓度三角，()10%4(3)10%75可知两种酒精的质量之比为： ，由于配成的酒精

6、溶液共 7 千克，因(5):(04)5:2此需要甲种酒精 千克，乙种酒精 千克.52【例 4】 将 75的酒精溶液 32 克稀释成浓度为 40的稀酒精，需加入水多少克？【解析】 稀释时加入的水溶液浓度为 0（如果需要加入干物质， 浓度为 100），标注数值的方法与例 1 相同。 （见图 2），328728，需加水 28 克。【巩固】 （难度等级 ）浓度为 10，重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8的糖水？【解析】 浓度 10，含糖 8010 8（克），有水 80-872（克）.如果要变成浓度为 8，含糖 8 克，糖和水的总重量是 88100（克），其中有水 100-892（

7、克）.还要加入水 92- 72 20（克）.【例 5】 （难度等级 ）买来蘑菇 10 千克，含水量为 99，晾晒一会儿后，含水量为 98，问蒸发掉多少水份？【解析】 方法一：做蒸发的题目，要改 变思考角度，本题就应该考虑成“98的干蘑菇加水后得到 99的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变 成“混合配比”的问题了。但要注意，10 千克的标注应该是含水量为 99的重量。将 10 千克按 11 分配，102=5 ，蒸发掉 5 千克水份。方法二：晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本 题可以抓住这个不变量来解原来鲜蘑菇里面其它物 质的含量为 千克，晾

8、晒后蘑菇里面其109%0.1它物质的含量还是 0.1 千克，所以晾晒后的蘑菇有 千克.85【巩固】 （难度等级 ）浓度为 20的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40的糖水，需加多少克糖？.【解析】 浓度为 20，含糖 40208（克），有水 40- 8 32（克）.如果要变成浓度为 40，32 克水中， 应6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 4 of 13该含有的糖为：32（140%） 32 （克），需加糖 （克）1231283（二）两种溶液混合多次【例 6】 甲容器有浓度为 2的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入甲.再往乙倒入水，

9、使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？【解析】 （1）现在甲容器中盐水含盐量是：1802 2409 25.2（克）.浓度是 25.2（180 240） 100= 6.（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，即两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有 25.2 克盐.因为后来倒入的是水，所以盐 只在原有的盐水中.在倒出盐 水 240 克后，乙的浓度仍是 9，要含有 25.2 克盐，乙容器还剩下盐 水 25.29280（克）， 还要倒入水 420-280140（克）.【例 7】 甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水 60 千克，含糖

10、率为 ，乙桶有糖水 40 千克，含糖率4%为 ，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？20%【解析】 由于两桶糖水互换的量是对等的，故在 变化过程中，两桶中糖水的量没有改变，而两桶中糖水的含糖率由原来的不等变化为相等，那么变化后的含糖率为： ，甲桶中原来的含糖率为604%206401.4，所以互相交换了： (千克)41. 2【例 8】 甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精的含量为 40。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多

11、少升？【解析】 乙中酒精含量为 40，是由若干升 纯酒精（100）和 15 升水混合而成，可以求出倒入乙多少升 纯酒精。1532 10 升 62.5，是由甲中剩下的 纯酒 精（1110）1 升，与 40的乙混合而成，可以求出第二次乙倒入甲 升3215)01(【巩固】 甲杯中有纯酒精 克，乙杯中有水 克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水1215混合第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为 ，乙杯中纯酒50%精含量为 问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？5%【解析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有： ( ) (克) ，2%156-2-3.溶液浓度问题.题库

12、教师版 page 5 of 13则甲杯中剩纯酒精 (克) 1257由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为 ，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯25%中剩余溶液的量的比为 ，0%:0:1所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是 克74【巩固】 甲容器中有纯酒精 11 立方分米，乙容器中有水 15 立方分米第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器这样甲容器中的纯酒精含量为 ，乙容器中的纯酒精含量为 那么，第二次从乙容器倒入甲容器62.525%的混合液是多少立方分米？【解析】 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操

13、作的前后 浓度不变，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为 ，而在此次倒入之前，甲容器中是 纯酒精，浓度为，根据浓 度倒三角， ，所以乙容器内倒入甲容器中的溶10%10%62.5:.251:液的量与甲容器中剩下的量相等而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有 立方分米，所以甲容器中剩下1(%)05的有 立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是 6 立方分米156【巩固】 有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含 酒精的液体先将乙杯的50一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？【解析】 第一次将乙杯的一半倒入甲杯，倒入的溶液的量与

14、甲杯中原有液体的量相等，浓度为 ，所以50%得到的甲杯中的溶液的浓度为 ；第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，倒入的50%2溶液的量与乙杯中剩余液体的量相等，而两种溶液的浓度分 别为 和 ，所以得到的溶液的502浓度为 ，即这时乙杯中酒精溶液的浓 度是 50%237. 37.【例 9】 (2008 年西城实验考题)将含农药 的药液，加入一定量的水以后，药液含药 ，如果再30%24%加入同样多的水，药液含药的百分比是_【解析】 开始时药与水的比为 ，加入一定量的水后， 药 与水的比为 ，由于在操作开始前后3:7 24:76:19药的重量不变，所以我 们把开始 时药与水的比化为 ，即，原来 药占

15、 份，水占 份；加入一定6:1量的水后，药还是 份，水变为 份，所以加入了 份的水，若再加入 份的水，则水变为 份，6195524药仍然为 份，所以最后得到的药水中药的百分比为： ()02【巩固】 在浓度为 40的酒精溶液中加入 5 千克水，浓度变为 30，再加入多少千克酒精，浓度变为50？【解析】 再加入 8 千克酒精，溶液 浓度变为 50。【例 10】 有 、 两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取 升混合在一起，得到一瓶浓度为 的盐AB136%水，他又将这份盐水与 升 瓶盐水混合在一起，最终浓度为 那么 瓶盐水的浓度是 2A32%B6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 6 of

16、 13【解析】 根据题意， 瓶盐水的浓度为 ，那么 瓶盐水的浓度A32%628B是 36%284【例 11】 甲种酒精纯酒精含量为 ，乙种酒精纯酒精含量为 ，混合后纯酒精含量为 如果7258%62%每种酒精取的数量比原来都多取 升，混合后纯酒精含量为 第一次混合时，甲、乙1563.2两种酒精各取了多少升？【解析】 如果甲、乙两种酒精各取 升混合，那么混合后的溶液共 30 升，浓度为 ，758由于第二次混合后的浓度为 ，则可知第一次混合后的体积与 升的比值为：63.25%30则第一次混合后的体 积为 升又知，第一次(65%3.2):(.)7: 42混合时甲、乙两种酒精的体 积 之比为： 则第一次

17、甲酒精取了(58):(72%6):5升，乙酒精取了 升41524230【巩固】 （2008 年“我爱数学夏令营”数学竞赛）若干升含盐 的溶液与若干升含盐 的溶液混7058%合后得到含盐 的溶液。如果每种溶液各多取 升，混合后就得到含盐 的溶液，那62%1563.2么第一次混合时含盐 的溶液取了 升。70【解析】 第一次两种溶液所取的体积比为 ；由于两种溶液各取 15 升，将混(628%):(62):合成含盐为 的溶液 30 升，拿这 30 升溶液与开始时混合而成的含盐 的(58)4 62溶液混合，将得到含盐 的溶液，可知 这两种溶液的体积之比为3.，(64%3.2):(62):5所以第一次混合

18、而成的溶液体积为 升，所以第一次混合时含盐 的溶液取了301870%升。182【巩固】 纯酒精含量分别为 、 的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为 如果每种酒精60%35 40都多取 克，混合后纯酒精的含量变为 求甲、乙两种酒精原有多少克？245%【解析】 原来混合时甲、乙的 质量比是： ，10现在混合时甲、乙的质量比是： 32645由于原来甲、乙的质量差 现 在甲、乙的质量差，所以原来甲的质量是该质量差的 倍， 现 143在甲的质量是该质量差的 倍于是多取的 克与 对应2320153所以，质量差 (克)，5016-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 7 of 13原来甲的质量是 克

19、，原来乙的质量是 克1244126【例 12】 甲瓶中酒精的浓度为 ，乙瓶中酒精的浓度为 ，两瓶酒精混合后的浓度是 如果70%0%6%两瓶酒精各用去 升后再混合，则混合后的浓度是 问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少56.25升？【解析】 根据题意，先从甲、乙两瓶酒精中各取 5 升混合在一起，得到 10 升浓度为 的酒精溶液；再将5两瓶中剩下的溶液混合在一起，得到浓度为 的溶液若干升再将这两次混合得到的溶液混.合在一起，得到浓度是 的溶液根据 浓度三角，两次混合得到的溶液的量之比 为：6，所以后一次混合得到溶液 升这 40 升浓度为6.25%:51:4240的溶液是由浓度为 和 的溶液混合得到的，

20、这两种溶液的量的比为：70%，所以其中浓度为 的溶液有 升，浓度为.0:6.2:370%523的溶液有 升所以原来甲瓶酒精有 升，乙瓶酒精有 升6341525310【例 13】 甲 种 酒 精 4 千 克 ， 乙 种 酒 精 6 千 克 ， 混 合 成 的 酒 精 含 纯 酒 精 如 果 甲 种 酒 精 和 乙 种 酒 精 一6样 多 ， 混 合 成 的 酒 精 含 纯 酒 精 甲 、 乙 两 种 酒 精 中 含 纯 酒 精 的 百 分 比 各 是 多 少 ？1%【解析】 (法 1)不妨设甲、乙两种酒精各取 千克， 则混合后的 浓度为 ，含纯酒精 千41%4261%4.8克；又知， 千克甲酒精

21、与 千克乙酒精，混合后的 浓度为 ，含纯酒精 千2克相差 千克， 说明 千克乙酒精中含 纯酒精 千克，则乙酒精中纯酒精6.2481.362.3的百分比为 ，那么甲酒精中纯酒精百分比 为 .0 61256(法 2)甲、乙两种酒精各取 千克， 则混合后的浓度为 ，而这种混合溶液，再混上 千克的乙612酒精就能获得 的混合溶液，由于混合的 质量比是 ，由十字交叉法，乙溶液的 浓度为%8:24，又因 为同样多的甲种酒精溶液和乙种溶液能配成 的溶液，626146 1%所以甲溶液浓度为 .156%【例 14】 (2008 年第六届“走美”六年级初赛) 、 两杯食盐水各有 40 克，浓度比是 在 中加AB3

22、:2B入 60 克水，然后倒入 中_克再在 、 中加入水，使它们均为 100 克，这时浓度A比为 7:3【解析】 在 中加入 60 克水后， 盐水浓度减少为原来的 ，但溶质质量不变，此 时两杯盐水中的盐的质BB25量比仍然为 ， 中的盐占所有盐的质量的 ，但最终状态下 中的盐占所有盐的质量:23B的 ，也就是 说 中的盐减少了 ，所以从 中倒出了 的盐水到 A，即 253710 2105414克6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 8 of 13模块二、列方程解浓度问题【例 15】 使用甲种农药每千克要兑水 20 千克，使用乙种农药每千克要兑水 40 千克。根据农科院专家的意见，把

23、两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共 5 千克，要配药水 140 千克，其中甲种农药需药_千克。【解析】 设甲种农药 x 千克， 则乙种农药（5-x ）千克。列方程：(120)(5140)x2653.【例 16】 甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的 倍将 克甲瓶盐水与 克乙瓶盐水混31030合后得到浓度为 的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？15%【解析】 设乙瓶盐水的浓度是 ，甲瓶盐水的浓度是 ，有 ，x%x%(1)5x解得 ，即甲瓶 盐水的浓 度是 0x30【例 17】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为 的硫酸溶液 600 千克，乙容器中装8有浓度为 的硫酸溶

24、液 400 千克各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中40%的硫酸溶液的浓度一样？【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改 变，根据 这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量甲容器中纯硫酸的质量为 (千克)；6084乙容器中纯硫酸的质量为 (千克) ；160两容器中纯硫酸的质量和为 千克，2硫酸溶液的质量和为 千克两容器中溶液互换后浓度为 ，8%.8所以应交换的硫酸溶液的量为： (千克)60.40240另解：假设各取

25、 千克放入对 方容器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即x，解得 ，即各取 240 千克(60):60:424x【例 18】 甲容器中有浓度为 的盐水 克，乙容器有浓度为 的盐水 克分别从甲和乙中取20%4010%60出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互 换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为 ，而甲容器中原来浓度为 ，所以相互倒了40260140614206-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 9 of

26、13(克) 402%14201240另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓 度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第 7 讲相关例题) 中两种合金的质量比是相似的假设相互倒了 克，那么甲容器中是由 克 的盐水和 克 的盐水混合，x40x2%x10乙容器中是由 克 的盐水和 的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以20%60x1，解得 40:6xx24【例 19】 十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为 和 ，浓度分别为 和 （AB%xy） ，将两

27、瓶溶液混合后所得的溶液浓度为 ，求证： xy %z:xzyA【解析】 甲溶液中溶质的质量为 ，乙溶液中的溶质质量为 ，则混和溶液中的溶质质量为A%xy，所以混合溶液的浓度为 ，所以 ，即 ，%AxByxByAAxBzzxBy，可 见 也可以这样 来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓()()z:xz度高，两瓶溶液混合后，浓度 变为相同，相当于甲溶液拿出了 的溶质给乙溶液，乙(%)Axz溶液则得到了 的溶质，所以 ，得到(%)Bzy()AxzBy:xzyA【例 20】 在浓度为 的盐水中加入一定量的水,则变为浓度 的新溶液.在这种新溶液中加入与前次x 10%加入的水量相等的盐,溶液浓度变为 .求 .3

28、0x【解析】 不妨设原来的盐水为 100 克，加入的水 (或)盐重 克,可列方程： ，可得 ；a10xa10.xa，可得 ；解得 ， 30%10xa.6xa401x【巩固】 (2007 年第五届“希望杯”一试六年级)一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为 ；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为 ；第三次再加入同样多的5 2%水，盐水的含盐百分比将变为 。%【解析】 抓住题中不变量-盐 的重量假设第一次加入水后盐水的重量为 克， 盐的重量为a克，第二次加水后的 总重量为 克，这样就可得出加水量是1%0.aa 0.15.5克，第三次加水后的重量是 克，这时的盐水的含盐百分比

29、是.25.2a.6-2-3.溶液浓度问题.题库 教师版 page 10 of 13【例 21】 瓶中装有浓度为 的酒精溶液 克，现在又分别倒入 克和 克的 、 两种酒精溶15%10104AB液，瓶中的浓度变成了 已知 种酒精溶液浓度是 种酒精溶液浓度的 倍，那么 种酒4AB2精溶液的浓度是百分之几？【解析】 (法 1)方程法新倒入纯酒精： (克)4%56设 种酒精溶液的浓度为 ，则 种为 根据新倒入的纯酒精量，可列方程：AxB2x，解得 ，即 种酒精溶液的浓度是 104602x0A20(法 2)浓度三角法 设 种酒精溶液的浓度为 ，则 种为 AxBx根据题意，假设先把 100 克 种酒精和 4

30、00 克 种酒精混合，得到 500 克的酒精溶液，再与 1000克 的酒精溶液混合，所以 、 两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为15%B10442%5根据浓度三角，有 ，解得 :40:1xx20%x故 种酒精溶液的浓度是 A0【例 22】 (2008 年 101 中学考题) 种酒精浓度为 ， 种酒精浓度为 ， 种酒精浓度为 ，A40B36C35%它们混合在一起得到了 11 千克浓度为 的酒精溶液，其中 种酒精比 种酒精多 3 千克，38.5B则 种酒精有 千克A【解析】 设 种酒精有 千克， 种酒精有 千克， 种酒精有 千克，则：xByCz1340%63518.%xyzz解得 ， ， ，故 种

31、酒精有 7 千克7x.y0.A【例 23】 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用现在我把 桶里的液体倒入 B桶，使其中液体的体A积翻了一番，然后我又把 B桶里的液体倒进 桶，使 桶内的液体体积翻番最后，我又将桶中的液体倒进 桶中，使 桶中液体的体积翻番此时我发现两个桶里盛有同量的液体，A而在 桶中，水比牛奶多出 1升现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个B桶里又有多少水和牛奶？【解析】 假设一开始 桶中有液体 升， 桶中有 升第一次将 桶的液体倒入 桶后， 桶有液体xyAB升， 桶剩 升；第二次将 桶的液体倒入 桶后， 桶有液体 升， 桶剩2y()yB2()xy升；第三次将 桶的液体倒入 桶后， 桶有液体 升， 桶剩 升由此(3)xA(6)y35时两桶的液体体积相等，得 ， ， 3562xyx51:1:5x现在还不知道 桶中装的是牛奶还是水，可以将稀 释牛奶的过程列成下表：桶 桶B