1、知识点复习知识点梳理 （一）正弦定理： （其中 R 表示三角形的外接圆半径）CcBbAa2sinisin适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形： ， ，siaR2sib2sinc ， ，inAnBR =sisicC :ab（二）余弦定理： = （求边） ，cosB= （求角）2Bao2acb2适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积： ； ；ahS21AbSsin1 ； ；CBARSsinsi2Rbc4 ； （其中 ， r 为内切圆半径）)()(cpbappr2ac（四）三角形内切圆的半径
2、： ，特别地，2Sabcb斜直（五）ABC 射影定理： ，ACos（六）三角边角关系：（1）在 中， ； ；ABCin()BiCcos()ABcosC； cs2n2i（2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab b；（3）大边对大角： A考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例 1、在ABC 中，已知 ,且=2, ,求 的长.8,4cc、例 1、解：由正弦定理，得 CcAasiniCasin2i 又 Ccaos28co28由余弦定理，得 CCb22 cs16s4入，得 )舍(4或5216ac51624ca，例 2、如图所示，在等边三角形中， 为三角形的中心，过 的
3、直线交,ABOO于 ，交 于 ，求 的最大值和最小值ABMCN21M例 2、 【解】由于 为正三角形 的中心， ，OC3a，设 ，则 ，6A23在 中，由正弦定理得： ，Asinsin()6OA ，在 中，由正弦定理得： ，36sin()aOMAON3sin()aN ，21N221si()sin()66a221(a ， ，故当 时 取得最大值 ，3342OM218a所以，当 时 ，此时 取得最小值 ,or23si42N5变式 1、在ABC 中，角 A、B 、C 对边分别为 ，已知cba,，bcaacb22,且（）求的大小；（）求 的值sin变式 1、解（） bcaacb22, bca22在AB
4、C 中，由余弦定理得1cos2cbA06（）在ABC 中，由正弦定理得 abBsini 026,acb 2360isin02cb变式 2、在 ABC中， 、 为锐角，角 AC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且51sin,si0（I）求 的值； （ II）若 21ab，求 abc、 、 的值。 变式 2、解（I） AB、 为锐角， 510sin,siAB 2 253cos1in,co15012()sisn. 0AB 4AB （II）由（I）知 34C， 2sin由 sinisiabc得 510abc，即 2,5abc又 21 21 1 , （二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用
5、例 3、如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问：点 B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？例 3、解：设 ，在AOB 中，由余弦定理得：AB22cosAO154于是，四边形 OACB 的面积为S=SAOB + SABC 23sin2B13sin(54co)253icosin(4因为 ，所以当 ， ，即0326时，56AOB四边形 OACB 面积最大例 4、在 ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为a、b 、c， 7,5,27os2sincba（1）求角 C 的大小； （2）求 ABC 的面积例
6、4、解：（1）由 27cos4,2osin42C得 4cos2C4cosC解得 21cosC 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得 c2a 2b 22ab cos C 即 7a 2b 2ab 又 ab 5 a 2b 2 2ab25 由得 ab6 S ABC 3sin21 变式 3、已知向量 ， ，且 ，其中 是(,)macb(,)acb0mn,ABCABC 的内角， 分别是角 的对边.,ABC(1) 求角 的大小；C（2）求 的取值范围.sinA变式 3、解：（1）由 得0()()0acba22bca由余弦定理得221cob 0C3C(2) 32AB =sinABsin()22sin
7、cossin33A3co21(i)sin()6A 03A56 1sin()1263sin()32A即 .iB（三）考查三角形形状的判断例 5、在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a,b,c, b=acosC,且ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为 。31（1） 判断ABC 的形状；（2） 求ABC 的面积。例 5、解：（1） b=acosC， 由正弦定理，得 sinB=sinAcosC, （#）B= ,)(CAsinB=sin(A+C),从而（# ）式变为 sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又 A，C cosA=0，A= ， ABC 是直角三角形。
8、),0(2（2） ABC 的最大边长为 12，由（1）知斜边 =12，又 ABC 最a小角的正弦值为 ， RtABC 的最短直角边为 12 =4，另一条直角3131边为 28SABC = =16412变式 4、在ABC 中，若 .BACBAcossinisn(1)判断ABC 的形状； (2)在上述ABC 中，若角 C 的对边 ，求该三角形内切圆半径的取值范围。1c变式 4、解：（1）由 ssiis可得 即 C902in0oABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径 cbar11sini2BA24内切圆半径的取值范围是,0例 7、在ABC 中，已知 ， ，试判断ABC 的形状。2a
9、bc2sinisnABC所以 ，ABC 为等边三角形。abc变式 8、在ABC 中，cos 2 ，(a，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边)，则B2 a c2cABC 的形状为 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 ，a 2 c2b 22a 2，即 a2b 2 c2，a2 c2 b22ac acABC 为直角三角形答案：B变式9、ABC 中，若sinA=2sinBcosC，sin 2A=sin2B+sin2C，试判断ABC的形状。变式 9、解:等腰直角三角形;数列知识点一：通项 与前 n 项和 的关系任意数列 的前 n 项和 ；注意：由前 n 项和 求数列通
10、项时，要分三步进行：（1）求 ，（2）求出当 n2时的 ，（3）如果令 n2时得出的 中的 n=1 时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则 ， ，2.迭乘累乘法：，则 ， ，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明
11、确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问
12、题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列 中， ， ，求 .总结升华：1. 在数列 中， ，若 为常数，则数列 是等差数列；若不是一个常数，而是关于 的式子，则数列 不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如 的解析式，而 的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得 .举一反三：【变式 1】已知数列 ， ， ，求 .【变式 2】数列 中 ， ，求通项公式 .类型二：迭乘法求数列通项公式2设 是首项为 1 的正项数列，且 ，求它的通项公式 .总结升华：1. 在数列 中， ，若 为常数且 ，则数列 是等比数列；若 不是一个常数，而是关于 的式子，则数列 不是
13、等比数列.2若数列有形如 的解析关系，而 的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得 .举一反三：【变式 1】在数列 中， ， ，求 .【变式 2】已知数列 中， ， ，求通项公式 .类型三：倒数法求通项公式3数列 中， , ，求 .总结升华：1两边同时除以 可使等式左边出现关于 和 的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列 的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列 ，而 恰是等差数列.其通项易求，先求 的通项，再求 的通项.2若数列有形如 的关系，则可在等式两边同乘以 ，先求出 ，再求得 .举一反三：【变式 1】数列 中， ， ，求 .【变式 2】数列 中， , ，求 .类型四：待定系数法求通
14、项公式4已知数列 中， ， ，求 .总结升华：1一般地，对已知数列 的项满足 ， （ 为常数，）,则可设 得 ，利用已知得 即，从而将数列 转化为求等比数列 的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如 （k、b 为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得 .举一反三：【变式 1】已知数列 中 ， ，求【变式 2】已知数列 满足 ,而且 ，求这个数列的通项公式.类型五： 和 的递推关系的应用5已知数列 中， 是它的前 n 项和，并且 , .(1)设 ,求证：数列 是等比数列；(2)设 ，求证：数列 是等差数列；(3)求数列 的通项公式及前
15、 n 项和.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式 1】设数列 首项为 1，前 n 项和 满足.（1）求证：数列 是等比数列；（2）设数列 的公比为 ，作数列 ，使 ，求 的通项公式.【变式 2】若 , ( )，求 .【变式 3】等差数列 中，前 n 项和 ，若 .求数列的前 n 项和 .类型六：数列的应用题6.在一直线上共插 13 面小旗，相邻两面间距离为 10
16、m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式 1】某企业 2007 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 倍，则该企业 2007 年年度产值的月平均增长率为（ ）A B C D【变式 2】某人 2006 年 1 月 31 日存入若干万元人民币，年利率为 ，到 2007年 1 月 31 日取款时被银行扣除利息税（税率为 ）共计 元，则该人存款的本金为（ ）A1.5 万元 B2 万元 C3
17、 万元 D2.5 万元【变式 3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 个月内累积的需求量 （万件）近似地满足 .按比例预测，在本年度内，需求量超过 万件的月份是( )A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D9 月、10 月【变式 4】某种汽车购买时的费用为 10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9 千元，汽车的维修费平均为第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【变式 5】某市 2006 年底有住房面积 1200 万平方米，计划从 2007 年起，每年拆除 20 万平方米
18、的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%.（1）分别求 2007 年底和 2008 年底的住房面积；（2）求 2026 年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到 0.01）高考题萃1设数列 的前 项和为 .（）求 ；（）证明： 是等比数列；（）求 的通项公式.2设数列 的前 项和为 已知 ， ， （）设 ，求数列 的通项公式；（）若 ， ，求 的取值范围一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数 yax 2bx c 的图象、一元二次方程 ax2bxc 0 的根与一元二次不等式ax2bxc0 与 ax2bxc 0 0 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(
19、a0)的根有两相异实根 xx 1 或xx 2有两相同实根xx 1 无实根ax2bxc0(a0) x|xx2 x|xx 1 R一元二次不等式的解集ax2bxc0) x|x1xx2 若 a0 时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解1不等式 x(1 2x)0 的解集是 ( )A. B. C( ，0) D. ( ，12) (0，12) (12， ) (12， )答案：B2不等式 9x26x 10 的解集是( )A.Error! B. C.Error! DR 13答案：B 3若关于 x 的方程 x2mx 1 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是( )A(1,1) B(2,2) C(，
20、2)(2，) D(，1) (1，)解析：选 C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即m240，解得 m2 或 m2.4已知集合 A xR|x2|3，集合 B xR|(xm)(x 2)0，且 AB(1，n) ，则m_，n_.解析：因为|x2|3，即5x1，所以 A(5,1) ，又 AB，所以 m1，B( m,2)，由AB( 1，n )得 m1，n 1.答案：1 15不等式 1 的解集为_1x 1解析：由 1 得 1 0，即 0，解得 x1，或 x2.1x 1 1x 1 x 2x 1答案：x| x1，或 x2解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标相同一元二次不等式的解法典题导入例 1 解下列不等式：(1)0x 2x2 4；(2)x 24ax5a 20( a0)
