1、圆一：【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆：平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其 中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对 称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优
2、弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“ ”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径等圆：能够
3、完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3）对圆的定义的理解：圆是一条封 闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点） ，二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫
4、圆内接四边形圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于 它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆 上 d=r;点在圆内 d dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直 线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直 线上的三点,能且仅能作一
5、个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接 圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形 .(2)三角形的外心: 三角形外接 圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三 顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线 与圆有两个公共点 时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线 和圆有惟一公共点 时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3
6、)相离: 直线 和圆没有公共点 时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径 为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；d 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心
7、.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶 点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的 顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆
8、上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-r d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.
9、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补 ; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式:圆周长 C=2 R (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)180RlOCBAABCDO图 5OBCAC BAOCBA O3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧
10、的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R 表示圆的半径)2RS6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3602扇 形弓形的面积公式:(如图 5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三 角 形扇 形弓 形 SS(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三 角 形扇 形弓 形 (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇 形弓 形 R21二、例题解析【例题 1】如图 1， 是 的外接圆， 是直径，若 ，则BCAB80BC等于（ ）AA60 B50 C40 D30图 1 图 2 图3【例题 2】如图 2，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆
11、相切于点 C，若大圆半径为CBAOBCA OCA BS1 S210cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为 cm【例题 3】如图 3，ABC 内接于O，AB=BC，ABC=120，AD 为O 的直径，AD6，那么 BD_【例题 4】如图 4 已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A=70 o，c=50 o，那么 sinAEB 的值为（）A. 21 B. 3 C. 2 D. 23图 4【例题 5】如图 5，半圆的直径 ，点 C 在半圆上， 10AB6B（1）求弦 的长；AC（2）若 P 为 AB 的中点， 交 于点 E，求 的长PE P三、课堂练习1、如图 6，在O 中，ABC=40，
12、则AOC 度P BCEA（图 8）图 6 图 7 图 82、如图 7，AB 是O 的直径， AC 是弦，若ACO = 32，则COB 的度数等于 3、已知O 的直径 AB=8cm，C 为O 上的一点，BAC=30，则BC=_cm.4、如图 8，已知在 中， ， ，分别以 ， 为RtAB Rt4ABACB直径作半圆，面积分别记为 ， ，则 + 的值等于 1S212S5、如图 9，O 的半径 OA10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为_cm。图 96、如图 10，在O 中，ACB=BDC=60，AC= ，cm32（1）求BAC 的度数； （2）求O 的周长7、已知：如
13、图 11，O 的直径 AB 与弦 CD 相交于，弧 BC弧 BD，O的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F(1)求证:CDBF(2)连结 BC,若O 的半径为 4,cosBCD= ,求线段 AD、CD 的长348、如图 12，在ABC 中，AB=BC ，以 AB 为直径的O 与 AC 交于点 D，过 D 作 DFBC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F(1)求证：直线 DE 是O 的切线；(2)当 AB=5，AC=8 时，求 cosE 的值图 12四、经典考题解析1.如图 13，在O 中，已知A CBCDB6 0 ，AC3，则ABC 的周长是_.图 13 图 14 图 152.“圆材
14、埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何” 用数学语言可表述为如图 14，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE 1 寸，AB=10 寸，则直径 CD的长为（ ）A125 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸3.如图 15，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么 等于（ CDAB）AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O 的半径是 5，AB、CD 为O 的两条弦，且 ABCD，AB=6，CD=8，求 AB 与 CD 之间的距离5.如图 16，在M 中，弧 AB 所对的圆心角为 1200，已知圆的半径为 2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点 C 是 y 轴与弧 AB 的交点。（1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点，求四边形 ACBD 的最大面积图 16 CDA BOMYX
