1、 数理统计练习题1设 是总体 的样本， 已知， 未知，则不是统计量的是432,X),(2N2（ ）.（A） ； （B ） ；41541iiX（C） ； （D） .1X412ii解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选 C.2设总体 为来自 的样本，则 （ ）.nXpBX,),1(21 nkXP（A） ； （B） ；p1（C） ； （D） .knkn)( knknC)(解： 相互独立且均服从 故 nX21 ,iipBX1),(即 则),(pB()()knknkPn 选 C.3设 是总体 的样本， 和 分别为样本的均值和样本标准差，nX,21 )1,0(NXS则（ ）.（A） ； （B）
2、 ；)(/tS)1,0(（C） ； （D） .112nnnt解： ， B 错iiX10E)1,(2nNXX)()(22nSn)()(1)(22 Sn. A 错.1tX 选 C.4设 是总体 的样本， 是样本均值，记 n,21 ),(2NX21S，ni ni niiii XSXSX11 12232 )(,)(,)( ，则服从自由度为 的 分布的随机变量是（ ）.iiS24t（A） ； （B） ；1/nST 1/2nST（C） ； （D）X/3X/4解： )1()(221nnii)1,0(Nn)(1)(22tnXTnii)1(/)(22 ntST 选 B. 5设 是来自 的样本， 为其样本方差，则
3、 的值为（ 621,X ),(2N2S2DS）.（A） ； （B ） ； （C） ； （D ）4345145.52解： 2126,(,)6XNn )(2S由 分布性质： 即1052SD42510 选 C. 6设总体 的数学期望为 是来自 的样本，则下列结论中正确的XnX,21是（ ）.（A） 是 的无偏估计量；1（B） 是 的极大似然估计量；（C） 是 的一致（相合）估计量；1X（D） 不是 的估计量 .1X解： 是 的无偏估计量.1EX 选 A. 7设 n,21 是总体 的样本， ， 是样本均值， 是2,DXE2S样本方差，则（ ）.（A） ； （B） 与 独立；2,XN2S（C） ； （D
4、） 是 的无偏估计量.)1()1(22nSn2解：已知总体 不是正态总体 （A） （B ） （C）都不对. 选 D. 8设 nX,21 是总体 的样本，则（ ）可以作为 的无偏估计量.),0(2N2（A） ； （B） ；nii1 niiX1（C） ； （D） .nii1 nii1解： 222)(,0iiiii EEXE12)(nni 选 A. 9设总体 服从区间 上均匀分布 ， 为样本，X,)0(nx,1则 的极大似然估计为（ ）（A） ； （B）,max1n ,min1nx（C） （D）| |解： ,()20xf其 它似然正数 niixfxL11),();,( 1,|1,2(20inxn其
5、它此处似然函数作为 函数不连续不能解似然方程求解 极大似然估计 在 处取得极大值 )(L)(nX |,|max1nnXX 选 C. 10设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中12,n正确的是（A） 是 的无偏估计量 . （B） 是 的极大似然估计量.1X1X（C） 是 的相合（一致）估计量 . （D） 不是 的估计量. （ ）解： ，所以 是 的无偏估计，应选（A ）.1E111设 为正态总体 的一个样本， 表示样本均值，则 的2,nx (,4)Nx置信度为 的置信区间为（A） /2/24(,).uxun（B） 1/2/2,.x（C） (,).uxn（D） /2/2(,).un解：
6、因为方差已知，所以 的置信区间为/2/2(,)Xun应选 D.12设总体 X N ( , 2 ),其中 2 已知，则总体均值 的置信区间长度 L 与置信度 1- 的关系是(a) 当 1- 缩小时，L 缩短.(b) 当 1- 缩小时， L 增大 .(c) 当 1- 缩小时，L 不变.(d) 以上说法均错.解：当 2 已知时，总体均值 的置信区间长度为当 1- 缩小时，L 将缩短，故应选（a)13设总体 X N ( 1 , 12 ), Y N ( 2 , 22 ) ,X 和 Y 相互独立，且 1 , 12 ， 2 , 22 均未知,从 X 中抽取容量为 n1 =9 的样本，从 Y 中抽取容量为 n
7、2 =10 的样本分别算得样本方差为 S12 =63.86， S22=236.8 对于显著性水平 =0.10（0 1）,检验假设H0 : 12 = 22 ； H1 : 12 22 则正确的方法和结论是 (a) 用 F 检验法,查临界值表知 F0.90(8 ，9)=0.40, F0.10(8,9)=2.47 结论是接受 H0(b) 用 F 检验法,查临界值表知 F0.95(8,9)=0.31, F0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝 H0(c) 用 t 检验法,查临界值表知 t0.05(17)=2.11 结论是拒绝 H0(d) 用 2 检验法,查临界值表知 2 0.10(17)=24.67
8、结论是接受 H0解：这是两个正态总体 均值未知时，方差的检验问题，要使用 F 检验法。在假设 H0 : 12 = 22 是双侧检验问题，选(b)14机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为 n1 和 n2 的样本，并且已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是(a) H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 (b) H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 (c) H0 : 12 = 22 ； H1 : 12 22 (d) H0 : 12 = 22 ； H1 : 12 22 分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C)15在求参数
9、的置信区间时，置信度为 90%是指（ ）（a） 对 100 个样品，定有 90 个区间能覆盖 （b） 对 100 个样品，约有 90 个区间能覆盖 （c） 对 100 个样品，至多有 90 个区间能覆盖 （d） 对 100 个样品，只能有 90 个区间能覆盖 答：选(b)16收集了 n 组数据 画出散布图，若 n 个点基本在一条直线附niyxi ,21),(近时，称这两变量间具有（ ）（a） 独立的关系 （b） 不相容的关系 （c） 函数关系 （d） 线性相关关系 答：选(d)17设 是总体 的样本， 是样本方差，若 ，1217,X (,4)N2S2()0.1PSa则 _.a（注： , , ,
10、 ）20.1()3.20.5()3.720.1(6)3.20.5(16)34.解： 6(4SPSa即 ，亦即 .20.1)328a18设测量零件的长度产生的误差 服从正态分布 ，今随机地测量 16 个零件，X2(,)N得 ， . 在置信度 0.95 下， 的置信区间为_.168iiX16234ii0.50.25().7,(1).3)tt解： 的置信度 下的置信区间为1/2/2(),(1)SSXtnXtn1620.5,.42,16ii n.2(1).3t所以 的置信区间为（ ）.5,1319最小二乘法的基本特点是使回归值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是。答：实际观测值；函数的极值原理。2
11、0某单因子试验，因子 A 有 2 个水平，水平 A1 下进行 5 次重复试验，在水平 A2 下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ） 。答：10数理统计的基本概念1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为 的泊松分布，从产品中抽一个容量为 的样本 ，求样本的分布.n12,nX解 样本 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为12(,)X1)()nniiiPkkPk 1!ikie，112!ine 0,i ,2,in2加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为 的指数分布，今以加工时间/为零件的数量指标，任取 件零件构成一个容量为 的样本，求样本
12、分布。n解 零件的加工时间为总体 ，则 ，其概率密度为X()E,0,().xef于是样本 的密度为12(,nX1121,0(,)0.nii xnxii efx 其 它 1,2in3证明若 ，则2()X,2EXDn证 因 ，所以 可表示为 ，其中 相互独立，n1iiX12,nX且均服从 ，于是(0,1)N2211()nnniiii iE2441 1xiiii iDXEXed(3)2.ni4已知 ，求证t2(1,).Fn证 ，则 可表示为 ，其中 且()X/ZXY2(0,1)()NYn相互独立，于是,ZY.2(1,)/Zn5设 是来自正态总体 的简单随机样本，1234, 2(0,)N，求常数 ，使
13、得 .234()()XabXab2()X解 112 10,(,)(1,52 23434 34(,)0,)(,所以当 时,201ab2234()()()XX6设 是分布 的容量为 的样本，试求下列统计量11,nnm 0,Nnm的概率分布：（1） ； （2）12iinmiiYX21niimiinXY解 ，1(0,)niiN 1(0,)niiN， ， ，2,i 2()i21()nmiiX所以（1） 1122();/nni ii immi iininXXYt（2）211(,)./i iinmnmi ii i FnX7设 是来自总体 的样本， ，11,n 2(,)N1niiX，试求统计量 的分布。*22
14、1()niiS1*nTS解 ，2(0,)nX 2()于是1(,)nN11*2/(1)()nnXXTtnSS8从正态总体 中抽取容量为 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 2(3.4,6)N5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 至少应多大？n解 15.431.430.95(.)()()66niiPXnn2)3即，查正态分表得 即 .()0.975n1.963n3457故样本容量至少应为 35。9求总体 的容量分别为 10，15 的两个独立样本均值差的绝对值大于 0.3 的概(2,3)N率。解 设 和 为两个独立样本的均值，则 ，1X2 13(20,)XN于是 即23(0,)15X
15、5(0,)3N12(0,)X212|.)|.)PP0.3.1()()/21/. .40.62874参数估计1对某一距离进行 5 次测量，结果如下：（米）.2781,36,207,5,28已知测量结果服从 ，求参数 和 的矩估计.()N解 的矩估计为 ， 的矩估计为X222*1()niiXS，1(278360758)09.5X*4.1.8S所以2809,70.2设总体 具有密度X11(),(;)0.CxCfx其 他其中参数 为已知常数，且 ，从中抽得一个样本， ，求01, 12,nX的矩估计解 1111C CEXxdx，11()解出 得1,于是 的矩估计为.CX3设总体的密度为(1),01,(;
16、).xfx其 他试用样本 求参数 的矩估计和极大似然估计.12,n解 先求矩估计：1 1121 00() ,EXxdx解出 得12,所以 的矩估计为.1X再求极大似然估计：，1 121(,;)()()nnni niLxx ，lllii，1n0iidx解得 的极大似然估计：.1()lniix4设总体 服从指数分布X(),(;)0.xef其 他试利用样本 求参数 的极大似然估计.12,n解 1()1(;),12,.nii xxiiLXe n 1lnnii0d由极大似然估计的定义， 的极大似然估计为 (1)x5设 来自几何分布12,nX，1()(),2,0kPkpp试求未知参数 的极大似然估计.解 ，1111(,;)()()niin xxnniLxplll,iipX
