1、随机过程综合练习题一、填空题（每空 3 分）第一章1 是独立同分布的随机变量， 的特征函数为 ，则nX,2 iX)(tg的特征函数是 。2 。)(YE3 的特征函数为 ， ，则 的特征函数为 。X)(tgbaXYY4条件期望 是 的函数， （是 or 不是）随机变量。5 是独立同分布的随机变量， 的特征函数为 ，则n,21 i )(tgi的特征函数是 。X6n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。第二章7宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。8在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为 ，以 记进)10(p)(nX行到 次试验为止 A 发生的次数， 则 是 过程。n ,21),
2、(nX9正交增量过程满足的条件是 。10正交增量过程的协方差函数 。),(tsCX第三章11 X(t), t0为具有参数 的齐次泊松过程，其均值函数为 ；0方差函数为 。12设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为 ， ， 且均为泊松过程，123它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时) ，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。13X(t), t0为具有参数 的齐次泊松过程，0。nsXtP)( ,10n14设X(t), t0是具有参数 的泊松过程，泊松过程第 n 次到达时间 Wn 的数学期望0是 。15在保险的
3、索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司若每次赔付金额是均值为 10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。16到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数 N(t)相互独立，则在 0，t内到达汽车总站的乘客总数是 （复合 or 非齐次）泊松过程17设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2min 内到达的顾客不超过3 人的概率是 第四章18 无限制随机游动各状态的周期是 。19非周期正常返状态称为 。20设有独立重复试验序列 。以 记第 n 次试验时事件 A 发生
4、，且1,nXn，以 记第 n 次试验时事件 A 不发生，且 ，若pXPn10n pXPn10有 ，则 是 链。,1Yk 1,Y答案一、填空题1 ； 2 ； 3 4 是 5 ； 6等价)(tgnEX)(atgeibt ;Yniitg1)(7时间差； 8独立增量过程；9 100)()(3412 ttt ),(min2tsX11 ； 12 t; 0(1tetft00)() )(321321tetf t13 14 15240000 16复合； 17tne!)(n 4371e182； 19遍历状态； 20齐次马尔科夫链；二、判断题（每题 2 分）第一章1 是特征函数， 不是特征函数。 （ ）)(tgi
5、),nniitg1)(2n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。 （ ）3任意随机变量均存在特征函数。 （ ）4 是特征函数， 是特征函数。 （ ）)(tgi ),21nniitg1)(5设 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有34X,（ ）12123413241423()()+()+()EEXEXEX第二章6严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。 （ ）7独立增量过程是马尔科夫过程。 （ ）8维纳过程是平稳独立增量过程。 （ ）第三章9非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。 （ ）第四章10有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。 （ ）11有限齐次马尔科夫链的所有非常返状
6、态集不可能是闭集。 （ ）12有限马尔科夫链，若有状态 k 使 ，则状态 k 即为正常返的。 （ ）0lim)(nikp13设 ，若存在正整数 n，使得 则 i 非周期。 （ ）Si,)1()(ii14有限状态空间马氏链必存在常返状态。 （ ）15i 是正常返周期的充要条件是 不存在。 （ ）)(linip16平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。 （ ）17有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。 （ ）18i 是正常返周期的充要条件是 存在。 （ ）)(limnip19若 ，则有 （ ）jijd20不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态 （ ）答案二、判断题1 2 3
7、4 56 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20三、大题第一章1 （10 分）（易）设 ，求 的特征函数，并利用其求 。),(pnBXXEX2 （10 分）（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程， ttt不,2cos)(出现正面和反面的概率相等，求 的一维分布函数 和 ， 的二维X)2/1,(xF),(tX分布函数 。)1,/;,(21xF3 （10 分）（易）设有随机过程 ，其中 A 与 B 是相互独立的随机0,)(tBAt变量，均服从标准正态分布，求 的一维和二维分布。X第二章4 （10 分）（易）设随机过程 X(t)=Vt+b，t(0,+), b
8、 为常数，V 服从正态分布N(0，1)的随机变量，求 X(t)的均值函数和相关函数。5 （10 分）（易）已知随机过程 X(t)的均值函数 mx(t)和协方差函数 B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令 Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程 Y(t)的均值函数和协方差函数。6 （10 分）（中）设 是实正交增量过程， 是一服),(TtX,0)(,0XT从标准正态分布的随机变量，若对任一 都与 相互独立，求)(,0tXt的协方差函数。),0,)(ttY7 （10 分）（中）设 ，若已知二维随机变量 的,)(tYtXtZ ),(YX协方差矩阵为 ，求 的协方差函数。21t8 （10
9、 分）（难）设有随机过程 和常数 ，试以 的相关函数表示随),(Tta)(t机过程 的相关函数。tXattY),()第三章9 （10 分）（易）某商店每日 8 时开始营业，从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增加在 8 时顾客平均到达率为 5 人/时，11 时到达率达到最高峰 20 人/ 时，从 11 时到 13 时，平均顾客到达率维持不变，为 20 人/时，从 13 时到 17 时，顾客到达率线性下降，到 17 时顾客到达率为 12 人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在 8：309：30 间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多
10、少? 10 （15 分）（难）设到达某商店的顾客组成强度为 的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为 ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。p11 （15 分）（难）设 X1(t) 和 X2 (t) 是分别具有参数 和 的相互独立的泊松过程，12证明：Y(t)是具有参数 的泊松过程。12 （10 分）（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户定居即 。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为 1/6，一户三人的概率为21/3，一户两人的概率为 1/3，一户一人的概率为 1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方
11、差。13 （10 分）（难）在时间 t 内向电话总机呼叫 k 次的概率为，其中 为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫,210,!)(kept 0次数是相互独立的，求在时间 2t 内呼叫 n 次的概率 )(2nPt14 （10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过 2 min15 （15 分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为 10000个每个流星能以陨石落于地面的概率为 0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数 W 的EW、varW 和 PW2 16 （10 分）（易）通过某十字路口的
12、车流是一泊松过程设 1min 内没有车辆通过的概率为 0.2，求 2min 内有多于一辆车通过的概率。17 （10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 min 18 （15 分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为 6 的泊松过程，订阅 1 年、2 年或 3 年的概率分别为 12、l3 和 16，且相互独立设订一年时，可得 1 元手续费；订两年时，可得 2 元手续费；订三年时，可得 3 元手续费. 以 X(t)记在0 ，t内得到的总手续费，求 EX(t)与 var X(t) 19 （10 分）（易）设
13、顾客到达商场的速率为 2 个min ，求 (1) 在 5 min 内到达顾客数的平均值；(2) 在 5min 内到达顾客数的方差；(3) 在 5min 内至少有一个顾客到达的概率 20 （10 分）（中）设某设备的使用期限为 10 年，在前 5 年内平均 2.5 年需要维修一次，后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过 1 次的概率 21 （15 分）（难）设 X(t)和 Y(t) (t0)是强度分别为 和 的泊松过程，证明：在XYX(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有 k 个事件发生的概率为。YXYXp第四章22 （10 分）（中）已知随机游动的转移概率
14、矩阵为 5.0.P求三步转移概率矩阵 P(3)及当初始分布为 13,21 000 XPX时，经三步转移后处于状态 3 的概率。23 （15 分）（难）将 2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放 3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以 X(n)表示经过 n 次交换后甲盒中红球数，则X(n)，n0为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：X(n)，n0是遍历链；（3）求。2,10,lim)(jPni24 （10 分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：)4.0,2.()0TP
15、6.02.71.8.P求下一、二个月的销售状态分布。25 （15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间 I1 ，2，7，转移概率矩阵为 2.080073.52.640.001.1.2P求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26 （15 分）（难）设河流每天的 BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I=1，2，3，4是按 BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为 4.02.0161.5.P若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间 。427 （10 分）（易）设马尔可夫链
16、的状态空间 I0 ，1，2，3，转移概率矩阵为 104/412/P求状态空间的分解。28 （15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间为 I1 ，2，3，4转移概率矩阵为2/104/13P讨论 )(1limnip29 （10 分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为 2/10/P求其平稳分布。30 （15 分）（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是 p，乙胜的概率是q，和局的概率为 r，且 p+q+r=1设每局比赛胜者记 1 分，负者记一 1 分和局记零分。当有一人获得 2 分时比赛结束以 表示比赛至 n 局时甲获得的分数，则 是nX1,nX齐次马尔可夫链 （1）写出状态空间 I；（2）
17、求出二步转移概率矩阵；（3） 求甲已获 1 分时，再赛两局可以结束比赛的概率 31 （10 分）（中）(天气预报问题 ) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关又设今天下雨而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为 ，规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态 l。因此问题是两个状态的马尔可夫链设，求今天有雨且第四天仍有雨的概率 4.,7.32 （10 分）（中）设 是一个马尔可夫链，其状态空间 I=a，b，c ，转移1,nX概率矩阵为 05/23314/P求（1） |, 0764321 cXbcaXcacXbP （2） |nn33 （15 分）（难）设马尔可夫链 的状态空间
18、 I1 ，2，6，转移概率0,n矩阵为 2/102/103/31001P试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。答案三、大题1 解：引入随机变量 （1 分）nipqXi 2,10（3 分）itXiEet)(eitit10qit（4 分）),(1pnBnii（6 分）itXEet)(niXt1)(iitXEe1nitqp)(（8 分）i)0()(iEX0)(tnitqpe01)(tinitpeqenp（10 分）2解：依题意知硬币出现正反面的概率均为 1/2（1） 当 t=1/2 时，X（1/2）的分布列为 21)(0)21(XPP其分布函数为 （3 分）102);1(xF同理，当 t=1 时 (
19、1)的分布列为 21)()(XPP其分布函数为 （5 分）210);(xF（2） 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在 t=1/2， t=1 时的联合分布列为412)(,1)2(1)(,)21( ,0,0 XPXP故联合分布函数为（10 分）21102/4),;12( 212 xandorxrxF3解：对于任意固定的 tT，X(t)是正态随机变量，故0)()(tBEAtXE221D所以 X（t）服从正态分布 （3),(tN分）其次任意固定的 221121 )(,)(, BtAtXBAtTt 则依 n 维正态随机向量的性质， 服从二维正态分布，且0)()(21tXEt（8 分）2211)(ttDD212)(,(tCov所以二维分布是数学期望向量为（0，0） ，协方差为 的二维正态分2211tt布。（10 分）4解： ， ，故 服从正态分布，bVtX)()1,0(N)(tXbtEVE22)(tDttD
