1、历年考研数学一真题 1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设函数 在 上连续，其二阶导数 的图形如右()fx,)()fx图所示，则曲线 在 的拐点个数为y(,（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶0x导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导
2、数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2设 是二阶常系数非齐次线性微分方程213()xxyee的一个特解，则 xabc（A） （B）321,abc321,abc（C） （D）【详解】线性微分方程的特征方程为 ，由特解可知 一20r12r定是特征方程的一个实根如果 不是特征方程的实根，则对应于21的特解的形式应该为 ，其中 应该是一个零次多()xfce()xQe()项式，即常数，与条件不符，所以 也是特征方程的另外一个实根，这2r样由韦达定理可得 ，同时 是原来131(),ab*xye方程的一个解，代入可得 应该选（A ）c若级数 条件收敛，则 依次为级1n3,x数 的1()nax（）收
3、敛点，收敛点 （）收敛点，发散点(）发散点，收敛点 （）发散点，发散点【详解】注意条件级数 条件收敛等价于幂级数 在 处条1na1nax件收敛，也就是这个幂级数的收敛为 ，即 ，所以limn的收敛半径 ，绝对收敛域为 ，1()nnax1li()nnaR02(,)显然 依次为收敛点、发散点，应该选（B）3,x设 D 是第一象限中由曲线 与直线 所214,xy3,yx围成的平面区域，函数 在 D 上连续，则 （ (,)f ()Dfd） （） （）1324sin(cos,in)dfrrd1234sin(s,i)fr（） （）1324sin(cos,in)dfrdr1234sin(s,i)fr【详解】
4、积分区域如图所示，化成极坐标方程： 221121 2sicosinsinxyrrr224inii也就是 D： 3112sinsir所以 ，所以应该选(,)Dfxyd1234sin(cos,in)frrd（B） 5设矩阵 ，若集合 ，则线性方程组22114,Aabd12,有无穷多解的充分必要条件是xb（A） （B）,d,ad（C） （D）a【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 222111110043 22(,) ()()BAbdadada 方程组无穷解的充分必要条件是 ，也就是3(),)rAb同时成立，当然应该选120120(),()ad（D） 6设二次型 在正交变换 下的标准形为1
5、23(,)fxxPy，其中 ，若 ，213y123,Pe132,Qe则 在 下的标准形为123(,)fxQ（A） （B ）23y2213y（C） （D ） 122【详解】 ，132123010,QeeP01TTP21TTTfxAyy所以 10002102111TTQP故选择（A） 7若 为任意两个随机事件，则（ ）,B（A） （B） ()()PA()()PAB（C） （D ）2P()(PBA【详解】 所以)(),(),PA故选择（ C） 2(PB8设随机变量 不相关，且 ，则,XY213,EXYD（ ）2()E（A） （B） （C ） （D）3355【详解】 2 22()()()()XYEXY
6、EXEXY故应该选择（D） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 20ln(cos)imx【详解】 20012l()tanilixx10 21sincod【详解】只要注意 为奇函数，在对称区间上积分为零，isx所以22 2014sin.cod 11若函数 是由方程 确定，则(,)zxycoszexyx01(,)|d【详解】设 ，则2(,)cszFyey1(,)sin,(,),(,)zx yzFyzxFxyexy 且当 时， ，所以00z01 010(,) (,)(,)(,)| | ,yxz zz 也就得到 01(,)|d.12设 是由平面 和
7、三个坐标面围成的空间区域，则1xyz23()xyz【详解】注意在积分区域内，三个变量 具有轮换对称性，也就是,xyzdxddxyz112001236634()yzz()zDx zd 13 阶行列式 n021012 【详解】按照第一行展开，得 ，111 122()nn nDD有 12()nnD由于 ，得 16, 112()nn14设二维随机变量 服从正态分布 ，则(,)XY0(,;)N0PXY【详解】由于相关系数等于零，所以 X，Y 都服从正态分布，且相互独立11(,)(,)N则 0111010022(), ,PXYPYXPYXPYX三、解答题15 （本题满分 10 分）设函数 ，1()ln()
8、sifxaxb在 时为等价无穷小，求常数 的取值3()gxk0,k【详解】当 时，把函数 展开到三()l()sinf阶的马克劳林公式，得 23323161()()() )xfxaobxoxa由于当 时， 是等价无穷小，则有 ，0x(),fxg1023abk解得， 123,.abk16 （本题满分 10 分）设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线)(xfyI 0xI在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面0,)0x积恒为 4，且 ，求 的表达式2(f(f【详解】 在点 处的切线方程为)xy0,)00(ff令 ，得y00)(xf曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域)(f0,
9、)x0x的面积为 000142()()fSf整理，得 ，解方程，得 ，由于 ，得8y18Cxy2()f12C所求曲线方程为 84.yx17 （本题满分 10 分）设函数 ，曲线 ，求 在(,)fx23:Cxy(,)fxy曲线 上的最大方向导数C【详解】显然 1,ffyxx在 处的梯度(,)fy(,)1,fgradyxx在 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度(,)fy,的模 221()()gradfyx所以此题转化为求函数 在条件21,()Fy下的条件极值用拉格朗日乘子法求解如下：23:Cxy令 22213(,)()()()Lxyxy解方程组 ，得几个可能的极值点203()yFx
10、，112,(,),(,)进行比较，可得，在点 或 处，方向导数取到最1xy2,xy大，为 93.18 （本题满分 10 分）（1）设函数 都可导，利用导数定义证明(),uxv；()()vxv （2）设函数 都可导，12(),()nuxux，写出 的求导公式()f f【详解】 （1）证明：设 )(xvuy()(xvuy)()()()x vxuvx)( xuxvuy)(由导数的定义和可导与连续的关系 00limli()()()xxyuvxvux（2） 12()nf 1212()()()()n nuuxxxux 19 （本题满分 10 分）已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为2zyx02(,)
11、A，计算曲线积分02(,)B22()()Lyzdxydydz【详解】曲线 L 的参数方程为 2cosin,xtyzt起点 对应 ，终点为 对应 02(,)At0(,)B2t22 22)(sinco(scos)(s)(cos)Lyzdxydxydztttttd 20si.td20 （本题满分 11 分）设向量组 为向量空间 的一组基，123,3R1 2331,()kk（1）证明：向量组 为向量空间 的一组基；1（2）当 为何值时，存在非零向量 ，使得 在基 和基123,下的坐标相同，并求出所有的非零向量13, .【详解】 （1） ，12312301(,),k因为 ，且 显然线性无关，204021
12、1kk123,所以 是线性无关的，当然是向量空间 的一组基123,3R（2）设非零向量 在两组基下的坐标都是 ，则由条件123(,)x123x可整理得： ，所以条件转化为线3130()()kk性方程组存在非零解132130,x从而系数行列式应该等于零，也就是 123123010(,)(,kk由于 显然线性无关，所以 ，也就是 123, 020k此时方程组化为 ，11223123,()xx由于 线性无关，所以 ，通解为 ，其中12, 120x1230Cx为任意常数C所以满足条件的 其中 为任意不为零的常数0C21 （本题满分 11 分）设矩阵 相似于矩阵 0231Aa1203Bb（1）求 的值；
13、,ab（2）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵P1A【详解】 （1）因为两个矩阵相似，所以有 ， trBA也就是 3245aba（2）由 ，得 A，B21001503()EB的特征值都为 125,解方程组 ，得矩阵 A 的属于特征值 的线性无关0()x12的特征向量为 ；12301.解方程组 得矩阵 A 的属于特征值 的线性无关的特征5()Ex35向量为 31令 ，则12310,P105.PA22 （本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为20ln,()xf对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记为次数Y求 的分布函数；（1） 求 的概率分布；（2） 求数学
14、期望 .EY【详解】 （1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于 3 的概率为3128()lnxPd显然 Y 的可能取值为 4,且22171734868() (),kkkPC（2）设 22 32 21 11()()() ,()nnnn xSxx x 22771664848()()()kknEYPS23 （本题满分 11 分）设总体 的概率密度为X10,(;)xfx为其中 为未知参数， 是来自总体的简单样本12,nX（1）求参数 的矩估计量；（2）求参数 的最大似然估计量【详解】 （1）总体的数学期望为 112()()EXxd令 ，解得参数 的矩估计量： ()X（2）似然函数为 1212 11
15、0,()(,;) nnnxLx 为显然 是关于 的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使()尽可能大就可以，所以参数 的最大似然估计量为 12min(,).nx2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1 ）若反常积分 收敛，则（ ） 。+01()abdxA. 且abB. 且C. 且 1D. 且 【答案】C【解析】 ，而+1+001=()()()abababdxdxdx 当 时收敛，而此时 不影响，10adx，而 当 时收敛，+11
16、()()babdxx+1abdx1此时 不影响，因此选择 C.bx（2 ）已知函数 ，则 的一个原函数是（ ） 。2(1),)lnxf()fxA. 2(,)l1)xFB. 2(,)ln)xxC. 2(1,)l)FD. 2(,)ln1)xx【答案】D【解析】对函数 做不定积分可得原函数，()f，因此选择 D.1lnllnxdxdxC（3 ）若 是微分方程2222(),()1yyx的两个解，则 =（ ） 。)pxqqxA. 2(1B. 3)xC. 21D. x【答案】A【解析】将 代入微分方程可得：22(1)yx2 224()()1()xpxqx而将 代入微分方程可得：1y2 2224()()1(
17、)xxpxqx将这两个式子相加可得： 228()1p两个式子相减可得： 2201xx因此可得 22222()4)()4(1)()3(1)qx xxx为故选择 A.（4 ）已知函数 ，则（ ） 。,0()11,2,fxxnnA. 是 的第一类间断点0x()fB. 是 的第二类间断点C. 在 处连续但不可导()fxD. 在 处可导0【答案】D【解析】 ，因此在 处连续，0 1lim()li()lim0()nnxffxf0x，而 ，而0li()1xf001()li()lilinxxff x，因此n，而左右两边的极限均为 1，因此 ，故11()xn 0lim()1xf在 可导，选择 D.0（5 ）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ） 。,ABABA. 与 相似TB. 与 相似1C. 与 相似TATBD. 与 相似11【答案】C【解析】因为 与 相似，因此存在可逆矩阵 ，使得 ，于是P1AB有：，即 ，111()()()TTTPAPABT，因此 ，1，因此 ，11111()1AB而 C 选项中， 不一定等于 ，故 C 不正确，选择 C.TPATB
