1、第 1 页 共 16 页2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题一、选择题:18 小题每小题 4分，共 32分1若函数 在 处连续，则1cos,0()xfxab（A） （B） （C） （D）2ab120ab2ab2二元函数 的极值点是（ ）(3)zxy（A） （B） （C） （D）0,)03(,)3(,)1(,)3设函数 是可导函数，且满足 ，则(fx(0fx（A） （B） 1)1()f（C） （D）()f )4 若级数 收敛，则 （ ）21sinl()kk（A） （B） （C） （D）1 125设 为 单位列向量， 为 阶单位矩阵，则En（A） 不可逆 （B） 不可逆TE TE
2、（C） 不可逆 （D） 不可逆2 26已知矩阵 ， ， ，则 0121010C（A） 相似， 相似 （B） 相似， 不相似,C,B,A,B（C） 不相似， 相似 （D） 不相似， 不相似7设 ， 是三个随机事件，且 相互独立， 相互独立，则 与 相互, ,C,ABC独立的充分必要条件是（ ）第 2 页 共 16 页（A） 相互独立 （B） 互不相容,B,AB（C） 相互独立 （D） 互不相容C8设 为来自正态总体 的简单随机样本，若 ，则12,()nX (,1)N1niiX下列结论中不正确的是（ ）（A） 服从 分布 （B） 服从 分布 21()nii221n2（C） 服从 分布 （D） 服从
3、 分布21()niiX2 2()X2二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24分. 把答案填在题中横线上）9 32(sin)xdx10差分方程 的通解为 1ttty11设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为 .()1QCe12设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知 ，(,)fxy (,)(1)yydfxedxed，则 (0,)f13设矩阵 ， 为线性无关的三维列向量，则向量组102A123,的秩为 123,14设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若X12PXPXa3PXb，则 0ED第 3 页 共 16 页三、解答题15 （本题满分 10分）求极限 03limxted16
4、 （本题满分 10 分）计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界324(1)DydxDyx区域17 （本题满分 10分）求 21limlnnkk第 4 页 共 16 页18 （本题满分 10分）已知方程 在区间 内有实根，确定常数 的取值范围1ln()kx(0,1)k第 5 页 共 16 页19 （本题满分 10分）设 ， 为幂级数 的和函数0111,()(,23),nnaa (Sx0nax（1）证明 的收敛半径不小于 0nx（2）证明 ，并求出和函数的表达式()()0(1,)Sx第 6 页 共 16 页20 （本题满分 11分）设三阶矩阵 有三个不同的特征值，且123,A31
5、2.（1）证明： ；()r（2）若 ，求方程组 的通解123,Ax21 （本题满分 11分）设二次型 在正交变换 下的标准形2212313132(,)8fxxaxxxQy为 ，求 的值及一个正交矩阵 21yaQ第 7 页 共 16 页22 （本题满分 11分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密,XYX102PXY度为 201(),yf他（1）求概率 ；PYE（2）求 的概率密度ZX第 8 页 共 16 页23 （本题满分 11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 次测量，该物体的n质量 是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 该n12,nX
6、 2(,).N工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计(1,2)iiZ 12,nZ参数 （1）求 的概率密度；iZ（2）利用一阶矩求 的矩估计量；（3）求参数 最大似然估计量第 9 页 共 16 页2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学三试题答案一、选择题:18 小题每小题 4 分，共 32 分1解： ， ，要使函数在00011cos2lim()lilimxxxfaa0li()(0)xfbf处连续，必须满足 所以应该选（A）2b2解： ， ，2(3)3zyxyxy23zxy222,zxyxy解方程组 ，得四个驻点对每个驻点验证 ，发现只有在230zxyy 2ACB点 处满足 ，
7、且 ，所以 为函数的极大值点，所以1(,)230ACB20AC1(,)应该选（D）3解：设 ，则 ，也就是 是单调增加函2()gxf()()gxfx2()fx数也就得到 ，所以应该选（C）2114 解：iv 时n22211siln() ()kkkoonnn显然当且仅当 ，也就是 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级(1)01数收敛，从而选择（C） 5解：矩阵 的特征值为 和 个 ，从而Tn0的特征值分别为 ；,2,TTTEE0,1； ； 显然只有 存在零特征值，所以不可逆，应2,1 1 31 TE第 10 页 共 16 页该选（A） 6解：矩阵 的特征值都是 是否可对解化，只需要关心 的,
8、B123,1 2情况对于矩阵 ， ，秩等于 1 ，也就是矩阵 属于特征值 存在两A021EA2个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 C对于矩阵 ， ，秩等于 2 ，也就是矩阵 属于特征值 只有一B021EA2个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 不相似故选择（B） ,C7解： ()()()()()()()()PABCABPCBPAPCAB CB显然， 与 相互独立的充分必要条件是 ，所以选择（C ） ()()8解：（1）显然 且相互独立，所以2()(0,1)(1),2,i iXNXin服从 分布，也就是（A）结论是正确的；21()nii2n（2） ，所以（C）结论也是正确的；2221 (1)()()(1)nii SXn （3）注意 ，所以（D）结论也是21,()0,(1)NnXNX正确的；（4）对于选项（B）： ，211 1()(,2)(0,)()()nn nX所以（B）结论是错误的，应该选择（B）
