1、第 1 页共 20 页高三数学三角函数题型大全一、求值化简型1、公式运用例( 2004 淄 博 高 考 模 拟 题 )（1）已 知 tan=3,求 ： 的 值 。22cos41sin（2）已 知 tan+sin=m, tan-sin=n ( ,),Zk求 证 ： .co（1）解： 241cos82318)cos2(813)si21(3s4si322 co8)2cos(83)sin21(cos4in322 4sinc452sin522ta5（2）证明：两式相加，得 两式相减，得otanmm所以 si2co举一反三（2004.湖南理）（本小 题满分 12 分）1、已知 的值.1cottansi2)
2、,4(,1)4sin()si( 求解：由 )cosi24n,4s21in(得 又.21cos.5),24(所 以于是 2sincocosincos1ttani2.35)3()6t()c(s 2、（2013 年西城二模）如图，在直角坐标系 中，角 的顶点是原点，始边与 轴正半轴重合，终边交单xOyx位圆于点 ，且 将角 的终边按逆时针方向旋 转 ，交单位圆于点 记A,)623B,(),(21yxB（）若 ，求 ；32（）分别过 作 轴的垂线，垂足依次 为 记 ,Ax,CDAO的面积为 ， 的面积为 若 ，求角 的值1SBOD2S12第 2 页共 20 页（）解：由三角函数定义，得 ， 2 分1c
3、osx2cs()3x因为 ， ，,)623所以 3 分sin1cos所以 5 分2 3126()sin32x（）解：依题意得 ， 1sinyi()y所以 ， 7 分1cosin224Sx 9 分2 12|()s()sin()343y 依题意得 ， sinsi整理得 11 分co0因为 ， 所以 ，6223所以 ， 即 13 分42、三角形中求值例（2013 年高考北京卷（理） ）在ABC 中,a=3,b=2 ,B=2A.6(I)求 cosA 的值; (II)求 c 的值.【答案】解:(I)因为 a=3,b=2 , B=2 A. 所以在ABC 中,由正弦定理得 .所以6 326siniA.故 .
4、 2sinco23Acos3(II)由(I)知 ,所以 .又因为B=2A,所以6s23in1cosA.所以 . 21cos3BA2siB在ABC 中, . 53ini()incosin9CAB所以 . s5iacA【举一反三】第 3 页共 20 页（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）设 的内角ABC的对边分别为 , .,ABCabc()()abc(I)求(II)若 ,求 .31sin4C【答案】三角不等式（2013 年高考湖南卷（理） ）已知函数 .2()sin)cos().(sin63xfxxg(I)若 是第一象限角,且 .求 的值;3()5
5、fg(II)求使 成立的 x 的取值集合.()fxg【答案】解: ( I) . 53sin)(sin3i2cos12sin3 fxxf51coin)(,54co,0(,5sin g且(II) 2)6si(21si31sin3) xxxgxfZkkk ,62,6 二、图像和性质型1、求范围 型sin()yAxB第 4 页共 20 页例（2008 北京卷 15）已知函数 （ ）的最小正周期为 2 ()sin3sin2fxx0（）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()fx03，解：（） 1cos2()sin2f x31sin2cos2xxsin26x因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()f0
6、所以 ，解得 21（）由（）得 ()sin26fx因为 ，03 所以 ，7266x 所以 ，1sin1 因此 ，即 的取值范围为 30i262x ()fx302，二次函数型例（2008 四川卷 17）求函数 的最大值与最小值。2474sinco4scoyx【解】： 274sincoyxx21cs2siin7nix1i6由于函数 在 中的最大值为2zu1，max0最小值为第 5 页共 20 页2min16z故当 时 取得最大值 ，当 时 取得最小 值sxy10sin21xy62、求单调区间例2014四川卷 已知函数 f(x)sin .(3x 4)(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 是第二
7、象限角，f cos cos 2 ，求 cos sin 的值( 3) 45 ( 4)解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为 ，kZ， 2 2k ， 2 2k 由 2k3x 2k ，kZ， 2 4 2得 x ，kZ . 4 2k3 12 2k3所以，函数 f(x)的单调递增区间为 ，kZ. 4 2k3，12 2k3 (2)由已知，得 sin cos (cos2 sin 2 )，( 4) 45 ( 4)所以 sin cos cos sin (cos2 sin 2 )， 4 4 45(cos cos 4 sin sin 4)即 sin cos (cos sin )2(sin cos )45
8、当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，得 2k ，k Z，34此时，cos sin .2当 sin cos 0 时，(cos sin )2 .54由 是第二象限角，得 cos sin 0，此时 cos sin .52综上所述，cos sin 或 .2523、和图像结合例（2008 广东卷 16）（本小题满分 13 分）已知函数 ， 的最大 值是 1，其 图像经过点 ()sin()0)fxA， xR132M，（1）求 的解析式；（2）已知 ，且 ， ，求 的值()f 2， ， 3()5f2()f()f【解析】（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而 ，1A()sinfx1,M1sin3
9、20， ，故 ；5362()cos2x第 6 页共 20 页（2）依题意有 ，而 ， ，312cos,s5,(0,)2223415sin1(),sin()53。36()()cosin5f举一反三1（2008 天津卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数 （ ）的最小值正周期是 2s(inco1)cofxxx,0R2（）求 的值；（）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合()f ()fx（）解： 24sin224sincosis12sico12xxxf由题设，函数 的最小正周期是 ，可得 ，所以 f 2（）由（）知， 4sin2xxf当 ，即 时， 取得最大值 1，所以函数 的最大值
10、kx4Zk164sinxxf是 ，此时 的集合为 2xx,2|2（2008 安徽卷 17）已知函数 ()cos)sin()i()34f x（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程()fx（）求函数 在区间 上的值域,12解：（1） ()cos)sin()si()34fxxi2incos(incos)2xx第 7 页共 20 页2213cos2insicoxxisin(2)6xT周由 (),()223kxkZxZ周函数图象的对称轴方程为 （2） 5,163xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，()sin)f12,32所以 当 时， 取最大 值 13x(fx又 ，当 时， 取最小值(
11、)122ff2x()fx32所以 函数 在区间 上的值域为()fx,3,13（2008 山东卷 17）已知函数 f(x) 为偶函数，且函数)0,0)(cos)sin( xxy f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2（）求 f（ ）的值；8（）将函数 y f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍，6纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区 间.解：（） f(x) cossin3 )(21)i(2xx2sin( - )6因为 f(x)为偶函数，所以 对 xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此 sin（- - ）sin( -
12、).第 8 页共 20 页即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),x6x6x6x6整理得 sin cos( - )=0.因为 0，且 xR,所以 cos（ - ）0.又因为 0 ，故 - .所以 f(x)2sin( + )=2cos .22x由题意得 .,2 所 以 故 f(x)=2cos2x.因为 .24cos)8（）将 f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得 图象横坐标伸长到原来的 46)6(xf倍，纵坐标不变，得到 的图象.)(f).32(cos)64(2cos64)ffxg所 以 当 2k 2 k+
13、 (kZ),3即 4k x4k+ (kZ)时， g(x)单调递减.8因此 g(x)的单调递减区间为 (kZ)384,24、（2008 湖北卷 16）.已知函数 1 17(),()cos(in)si(cos),(,).2tftgxfxfx（）将函数 化简成 （ ， ， ）的形式；()gxsinAxB0A0,2（）求函数 的值域.解：（） 1si1cos()conxxgxAA22(i)()ssiixx1in1coco.ssinAA第 9 页共 20 页17,cos,sini,2xxx1sin1cos()coinxxgxAAsin 2.4x（）由 得17周5.3周在 上为减函数，在 上为增函数，si
14、nt3,425,2又 （当 ），5ii,sini()sin4x周 17,2x即 21sin()2i()34x周故 g(x)的值域为 ,3.5、（2008陕西卷 17）（本小题满分 12 分）已知函数 2()2sinco3sin44xxf（）求函数 的最小正周期及最值；()fx（）令 ，判断函数 的奇偶性，并 说 明理由3gf()gx解：（） 2()sin(1sin)24xfi3cos2xin3的最小正周期 fxT当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值 2sin123()fx2sin13x()fx（）由（）知 又 ()2sin3f()gf1()sigxxsi2xcos2x()2co2co(
15、)g第 10 页共 20 页函数 是偶函数()gx三、解三角形型1、求基本元素【例】（2008 全国二 17）在 中， ， ABC 5cos134cosC（）求 的值；（）设 的面积 ，求 的长sinA 2ABCS. 解：（）由 ，得 ，5co13sin由 ，得 4sCsi所以 5 分3in()icossin65ABCB（）由 得 ，32CS 1i2A由（）知 ，si65故 ， 8 分AB又 ，in0s13B故 ， 2065132所以 10 分isnABC举一反三（2008 江西卷 17）在 中，角 所对应的边分 别为 ， ，BC, ,abc23tant4,2ABC，求 及2sincosiA,bc解：由 得tatn42otan42C cosi2inC1sic ，又 1s(0,)56C， 或由 得 即 ，2icosinBA2sicosin()BCsi()0BC6B由正弦定理 得()3Asiisiabc1sin23baA2、求范围
