1、初中数学几何经典题1、三角形 ABC 中,AD 为中线,P 为 AD 上任意一点,过 p 的直线交 AB 于 M.交 ac 于 N,若AN=AM，求证 PM/PN=AC/AB 证明：过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 分别于 M,N点；再分别过 M,M两点分别作 AC 的平行线分别交 AD(或延长线）于 P,A两点。由 MN平行 BC 得：AC/AN=AB/AM, 即 AC/AB=AN/AM.且 MP=NP由三角形 ANP 全等三角形 AMP 得：MA=AN.所以，AC/AB=AM/AM由三角形 AMA相似三角形 AMP得：AM/AM=MP/AM,即 AM/AM=MP/AM所以：AC/
2、AB=MP/AM由三角形 MPP 相似三角形 ANP 得：MP/AN=MP/PN而 AN=AM所以：MP/AM=MP/PN所以：AC/AB=MP/PN 1 题图 2 题图2、在三角形 BCD 中,BC=BD,延长 BC 至 A,延长 BD 至 E,使 AC=BE,连接 AD,AE,AD=AE,求 BCD为等边 证明：过点 A 作 CD 的平行线交 BE 的延长线于 F 点。则BDC=F= BCD=A，即A= F.又因为：四边形 AFDC 是梯形所以：AC=DF=FE+DE而 AC=BD+DE所以：BD=FE又因为：AD=AE,BDA=FEA所以：三角形 ABD 和三角形 AFE 全等所以：B=
3、 F所以：B= BCD=BDC=60所以：三角形 BCD 是等边三角形。3、三角形 ABC 中若圆 O 在变化过程中都落在三角形 ABC 内(含相切), A 为 60 度,AC 为8,AB 为 10,X 为未知数,是 AE 的长.圆 O 与 AB,AC 相切,圆 O 与 AB 的切点为 E, X 的范围是？解：如图，当元 O 与三角形 ABC 三条边都相切时，x 的值最大。此时：过 B 作 BD 垂直 AC,则可求得 BD=5(3),DC=3根据勾股定理求得 BC=2(21)设元 O 与边 AB,BC,CA 的切点分别为 E,F,G,且 AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组：x+y=10,
4、x+z=8,y+z=2(21),解这个方程组得：x=9-(21)因此：x 的范围是（0，9-21 4、已知三角形 ABE 中 C 、D 分别为 AB、BE 上的点，且 AD=AE，三角形 BCD 为等边三角形，求证 BC+DE=AC 证明:过 D 点作 BE 的垂线 DF,交 AB 于 F 点，过 A 点作 BE 的垂线 AH,H 是垂足，再过 F点作 AH 的垂线 FG,G 是垂足。则：四边形 DHGF 是矩形，有 FG=DH.而由ADE 是等腰三角形得知 DH=HE,所以：FG=(1/2)DE.又由于角 B=60，所以：BAH=30所以：FG=(1/2)AF所以：AF=DE而在直角BDF
5、中，由于B=BDC=60所以：CDF=CFD=30所以：CF=CD=BC所以：BC+DE=CF+AF即：BC+DE=AC5、已知在三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上的一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 与F,求证 AF=EF 证明：如图，连接 EC,取 EC 的中点 G,AE 的中点 H，连接 DG,HG则：GH=DG所以：角 1=2 ，而1=4， 2=3=5所以；4=5所以：AF=EF.6、在ABC 中，D 是 BC 边中点，O 是 AD 上一点，BO,CO 的延长线分别交 AC,AB 于 E,F求证：EF 平行 BC。证明：分别过 B,C 两点作 AD
6、 的平行线分别交 CF,BE 的延长线于 M,N 两点。则：四边形 MBCN 是平行四边形。由 MBAO CN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）而 BM=CN所以：OF/FM=OE/EN所以：MN EF而 MN BC所以：EFBC.7、已知：在ABC 和ABC中，AB=AB, AC=AC.AD，AD分别是ABC 和ABC的中线，且 AD=AD.求证：ABCABC证明：分别过 B,B点作 BEAC,BE AC.交 AD,AD的延长线于 E,E点。则：ADCEDB, ADCEDB所以：AC=EB,AC=EB； AD=DE, AD=DE.所以：BE=BE
7、, AE=AE所以：ABE ABE所以：角 E= E 角 BAD=角 BAD所以：角 BAC=角 BAC所以：ABCABC8、四边形 ABCD 为菱形，E,F 为 AB,BC 的中点，EPCD，BAD110，求FPC 的度数 解：连接 BD,交 AC 于 O 点，过 A 作 CD 的垂线，垂足为 G,过 O 作 BC 的平行线交 CD 于 H.因为：角 DAB=110，GAB=90所以：DAG=20。由AOD= AGD=90 知 AOGD 四点共元，所以DOG=DAG=20由 OHBCAD 知：HOC=DAC=(1/2)BAD=55所以：GOH=90-20-55=15而：OHG= BCD=11
8、0所以：OGH=180-15-110=55由于：不难证明FPC=OGH (过程略）所以：FPC=559、已知：E 是正方形 ABCD 内的一点，且DAE=ADE=15，求证：EBC 是等边三角形证明：过 E 点作 AB 的平行线 EP,交 BC 于 P 点，交 AD 于 Q 点，以 D 为角顶点，DA 为角的一边，向正方形 ABCD 内作ADF=30 ，角的一边交 EP 于 F 点。设 DQ=3，则：FQ=1, DF=2, AD=23， PC=PB=AQ=3, 由角平分线定理得：QE/EF=QD/DF,即：QE/(1-QE)=(3)/2解得：QE=2(3)-3所以：PE=PQ-QE=2(3)-
9、2(3)-3=3在EPC 中由勾股定理得：EC=（PE+PC）=23而：BE=CE所以:BC=BE=CE=23即：EBC 是等边三角形。10、在三角形 ABC 中,经过 BC 的中点 M,有垂直相交于 M 的两条直线,它们与 AB,AC 分别交于 D、E，求证，BD+CEDE证明：如图，延长 EM 到 E,使 EM=ME,则：DE=DE,由BEM CEM 得：CE=BE在BED 中，有 BD+BEDE等量代换得：BD+CEDE11、AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN 把MCN 翻折，使点 C 落在 AB 上设其落点 （1）.如
10、图一，当是 AB 的中点时，求证：PA/PB=CM/CN（2）.如图二当 P 不是 AB 中点时，结论 PA/PB=CM/CN 是否成立？若成立，请给出证明（1）、证明：因为 P 是 AB 中点，所以：AP/PB=1,因为：P 点是 C 点沿直线 MN 折叠的落点，所以：MN 垂直平分 PC,所以：CM=MP,由 AP=BP 得 ACP=BCP=45所以：CM=MN所以：CM/CN=1所以：PA/PB=CM/CN（2）、结论仍然成立。证明：过 P 点分别作 AC,BC 的垂线 PE,PD.E,D 是垂足。过 C 作 CF 垂直 AB,F 是垂足。则：SAPC=(1/2)AC*PE=（1/2)A
11、P*CFSBPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF而 AC=BC所以：PE/PD=AP/BP由MCN=MPN=90 知 MCNP 四点共元所以：PME=PND所以：RTPEMRTPDN所以：PE/PD=PM/PN而 PM=MC,PN=NC所以：PE/PD=MC/NC所以：AP/BP=MC/NC12、三角形 ABC 中，BC=5，M 和 I 分别是三角形 ABC 的重心和内心，若 MI 平行于 BC,则AB+AC 的值是多少？解：设内心到三边的距离为 r，BC 边上的高为 AE=h,如图。因为 MIBC,AM=2MD所以：h=3r而：SABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/
12、2)rSABC=S ABI+SBCI+SACE=(1/2)r(AB+AC+5)所以：(15/2)r=(1/2)r(AB+AC+5)解得：AB+AC=1013、已知圆 O 是三角形 ABC 的外接圆 CD 是 AB 边上的高，AE 是圆 O 的直径。求证：AC*BC=AE*CD证明：以 E 为圆心，以 BC 长为半径画弧交元 O 于 F 点。连接 EF,FA.则：EF=BC,AFE=90所以：EAF=DAC （弦相等，弦所对的圆周角相等）所以：RTADCRTEFA所以：AC/AE=CD/EF 即 AC*EF=AE*CD而：EF=BC所以：AC*BC=AE*CD14、已知：D.E 位ABC 内的两
13、点求证：AB+ACBD+DE+EC证明：设直线 DE 交 AB 于 F,交 AC 于 G,则：在AFG 中，有 AF+AGFD+DE+EG在BFD 中，有 BF+FDBD在EGC 中，有 EG+GCEC所以：三个不等式两边相加得 AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC即：AB+ACDE+BD+EC15、在三角形 ABC 中,BD,CE 是边 AC,AB 上的中点,BD 与 CE 相交于点 O,BO 与 OD 的长度有什么关系?BC 边上的中线是否一定过点 O？为什么？答：BO=2DO,BC 边上的中线过 O 点。证明：连接 AO,设 M,N 分别是 BO,CO 的中点，
14、连接 EM,DN,则：EM 平行并等于 AO 的一半， DN 平行并等于 AO 的一半所以：EM 平行并等于 DN所以：四边形 EMND 是平行四边形所以：MO=OD所以：BM=MO=OD所以：BO=2DO延长 AO 交 BC 于 G,延长 DN 交 BC 于 H,延长 EM 交 BC 于 Q,则：由 AG EQ DH,BM=MO=OD 得知 BQ=QG=GH=HC所以；BG=GC所以；BC 边上的中线过 O 点。16、在ABC 中，AB,BE 是ABC 的高，交于点 H，边 BC,AC 的垂直平分线 FO,GO 相交于点 O求证：OF=1/2AH,OG=1/2BH证明：连接 CO 并延长交A
15、BC 的外接圆于 M 点。则：OC 是元的直径。OF=(1/2)BM,MBC=MAC=ADB=BEA=90所以：BMAD,AMBE所以：四边形 MBHA 是平行四边形所以：BM=AH所以：OF=(1/2）AH.同理可证：OG=(1/2)BH.17、三角形中线分别为 9 12 15 求三角形面积解：过 F 点作 AE 的平行线，交 DC 于 H 点，则：FH=（1/2)AM=5, MH=3,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）而：MF=4所以：三角形 FMH 是直角三角形，即 BMDC.所以：SBCD=(1/2)*9*8=36,所以：SADC=SBCD=36 (同高等底的两个三角形面积相等
16、）所以：SABC=7218、在ABC 中A=90，ADBC 于 D，M 是 AD 的中点，延长 BM 交 AC 于 E，过 E作 EFBC 于 F。求证：EF=AE*CE证明：如图，延长 BA,FE 交于 N.因为：ADFN所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE所以：AM/NE=MD/EF而：AM=DM所以：NE=EF由于：角 NAC=NFC=90所以：AFCN 四点共圆所以：AE*EC=EF*EN所以：EF2=AE*EC19、已知 E 为平行四边形 ABCD 的边 BC 上的任一点，DE 延长线交 AB 延长线与 F，求证 SABE=SCEF。 证明:分别过 C,E 两点作 A
17、B 的垂线 CH,EG,H,G 是垂足。设 BE=m,EC=n由BFE CDE 得：BF/CD=m/n.即 BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是 BF/AF=m/(m+n) (因为 AB=CD，有 AF=BF+CD)由 RTBEG RTBCH 得：HC/GE=(m+n)/m所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1而：SAFE=(1/2)AF*GESBFC=(1/2)BF*CH所以：SBFC/S AFE=BF*HC/AF*GE=1所以：SBFC=SAFE两边同时减去 SBFE 得：SABE=SCEF。20、等腰直角三角形，角 A 为 90，D，E 两点为斜边上的动点，角 DAE=45，当 D 合 B重合或 E 和 C 重合时，线段 DE 的长度等于 BD+EC当不重合时，DEBD+CE.证明：不重合时。以 A 点为顶点，AC 为一边向 ABC 的外侧作CAB，使CAB= DAB. 截取 AB=AD.又因为：AC=AB.所以：CABBAD所以：BC=DB
