1、第 1 页椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆 相内切,且过点 ,求这个动圆圆心2:(4)10Cxy(4,0)A的轨迹方程; M例 2. 方程 所表示的曲线是 223(1)()2xyxy练习:1.方程 对应的图形是( )22()(3)6xyxyA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程 对应的图形是( )22(3)()10A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程 成立的充要条件是( )2222()(3)xyxyA. B. C. D. 1561592165xy2195xy4.如果方程 表示椭圆,则 的取值范围是 2222()()xymxym5.过椭圆
2、的一个焦点 的直线与椭圆相交于 两点,则 两点与椭圆29411F,AB,的另一个焦点 构成的 的周长等于 ;2F2AB6.设圆 的圆心为 , 是圆内一定点, 为圆周上任意一点,线段()5xyC(,0)Q的垂直平分线与 的连线交于点 ,则点 的轨迹方程为 ;AQQM题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线例 1.方程 的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的2165xy点的轨迹;(二)分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 ,求椭圆的方(3,0)P第 2 页程;(三)用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 、1(
3、6,)P,求椭圆的方程;2(3,)P例 4.求经过点 且与椭圆 有共同焦点的椭圆方程;(,)29436xy注:一般地,与椭圆 共焦点的椭圆可设其方程为 ;21ab2221()xykbakb(四)定义法求轨迹方程;例 5.在 中, 所对的三边分别为 ,且 ,求满足ABC, ,abc(1,0)(,BC且 成等差数列时顶点 的轨迹;bac, A(五)相关点法求轨迹方程;例 6.已知 轴上一定点 , 为椭圆 上任一点,求 的中点 的轨迹x(1,0)AQ214xyAQM方程; (六)直接法求轨迹方程;例 7.设动直线 垂直于 轴,且与椭圆 交于 两点,点 是直线 上满足lx24xy,ABPl的点,求点
4、的轨迹方程; 1PABP(七)列方程组求方程例 8.中心在原点,一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标(0,5)F32yx为 ,求此椭圆的方程; 12题型三.焦点三角形问题例 1.已知椭圆 上一点 的纵坐标为 ,椭圆的上下两个焦点分别为 、 ,2165xyP532F1第 3 页求 、 及 ;1PF212cosFP题型四.椭圆的几何性质例 1.已知 是椭圆 上的点,的纵坐标为 , 、 分别为椭圆的两个焦点,2xyab531F2椭圆的半焦距为 ,则 的最大值与最小值之差为 c12PFA例 2.椭圆 的四个顶点为 ,若四边形 的内切圆恰21xyab(0),ABCDABC好过焦点,则椭圆的离心
5、率为 ;例 3.若椭圆 的离心率为 ,则 ;214xyk2k例 4.若 为椭圆 上一点, 、 为其两个焦点,且P2(0)ab1F2, ,则椭圆的离心率为 0125F2175F题型五.求范围例 1.方程 表示准线平行于 轴的椭圆,求实数 的取值范围;221()xymxm题型六.椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 所表示的曲线是 22(1)()xyxy例 2.求经过点 ,以 轴为准线,离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程;,M12例 3.椭圆 上有一点 ,它到左准线的距离等于 ,那么 到右焦点的距离为2159xyP5P例 4已知椭圆 ,能否在此椭圆位于 轴左侧的部分上找到一点 ,使它到32yxyM左
6、准线的距离为它到两焦点 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能12,F找到,请说明理由。第 4 页例 5已知椭圆 内有一点 , 、 分别是椭圆的左、右焦点,点 是1592yx)1,(AF2 P椭圆上一点求 的最小值及对应的点 的坐标23PFAP题型七.求离心率例 1. 椭圆 的左焦点为 , , 是两个顶点,21xyab(0)1(,0)Fc(,)Aa(0,)Bb如果 到直线 的距离为 ,则椭圆的离心率 1FAB7e例 2.若 为椭圆 上一点, 、 为其两个焦点,且 ,P21(0)xyab1F2 12PF,则椭圆的离心率为 21F例 3. 、 为椭圆的两个焦点,过 的直线交椭圆于 两点,
7、 ,且1F2 2F,PQ1FP,则椭圆的离心率为 ;1PQ题型八.椭圆参数方程的应用例 1. 椭圆 上的点 到直线 的距离最大时,点 的坐标 2143xyP270xyP例 2.方程 ( )表示焦点在 轴上的椭圆,求 的取值范围;22sincosxy0题型九.直线与椭圆的关系(1)直线与椭圆的位置关系例 1. 当 为何值时,直线 与椭圆 相切、相交、相离?m:lyxm29164xy第 5 页yxOABP例 2.曲线 ( )与连结 , 的线段没有公共点,求 的22xya0(1,)A(2,3)Ba取值范围。例 3.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点, 为坐标原点,)0 ,3(Pl2341xy,AB求
8、 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB分析:若直接用点斜式设 的方程为 ,则要求l )3(0k的斜率一定要存在,但在这里 的斜率有可能不存在,因此要l讨论斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线 的方l程为 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而3myx简化了运算。解:设 , :12(,)(,)ABxyl3myx)(3|)|(|2 21212 yOPSOB 把 代入椭圆方程得: ,即3myx 042y, ,06)4(2y3621my3221m48432)(18| 2221 xmy 3)1(4394222 m3122m第 6 页 ,此时 32S 1322m36令直线的倾角为 ,则
9、6tan即 面积的最大值为 ,此时直线倾斜角的正切值为 。OAB326例 4.求直线 和椭圆 有公共点时, 的取值范围cosin2xy23xy。 (0)(二)弦长问题例 1.已知椭圆 , 是 轴正方向上的一定点,若过点 ,斜率为 1 的直线21xyAxA被椭圆截得的弦长为 ,求点 的坐标。34分析:若直线 与圆锥曲线 相交于两点 、 ,ykxb(,)0fxy1(,)Pxy2(,)Q则弦 的长度的计算公式为 ,PQ |1| 212212kkPQ而 ,因此只要把直线 的方程代入圆锥曲线2121214)(| xxx yxb方程,消去 (或 ) ,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。(,)0f
10、yy解:设 ( ) ,则直线 的方程为 ,设直线 与椭圆相交于,)Ax0l0yxl、 ,由 ,可得 ,1(,Py2(,Q021yx2203410, ,则34021x3021 2020212121 3648964)(| xxx ,即|34212x 203 ,又 , , ;20x00(,0)A第 7 页例 2.椭圆 与直线 相交于 两点, 是 的中点,21axby1xy,ABC若 , 为坐标原点, 的斜率为 ,求 的值。|ABOC2,ab例 3.椭圆 的焦点分别是 和 ,过中心 作直线与椭圆交于 两点,若12045yx1F2O,AB的面积是 20,求直线方程。2ABF(三)弦所在直线方程例 1.已
11、知椭圆 ,过点 能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 ;2164xy(2,0)Pl P例 2.已知一直线与椭圆 相交于 两点,弦 的中点坐标为 ,2936xy,AB(1,)M求直线 的方程;AB例 3. 椭圆 中心在原点 ,焦点在 轴上,其离心率 ,过点 的直线 与椭EOx32e(1,0)Cl圆 相交于 两点,且 C 分有向线段 的比为 2.,ABAB(1)用直线 的斜率 表示 的面积;l(0)k(2)当 的面积最大时,求椭圆 E 的方程O第 8 页解:(1)设椭圆 的方程为 ,由 ,a 2=3b2E12byax3ce故椭圆方程 ;23xy设 ,由于点 分有向线段 的比为 212(,)(,
12、)AB(1,0)CAB ,即0321yx21)(yx由 消去 y 整理并化简得(3k 2+1)x2+6k2x+3k23b 2=0)(xkyb由直线 l 与椭圆 E 相交于 两点12(,)(,)AxBy1360)3)(4322122kbxbkk而 2222233|(1)|1|OABSyyykxkx由得: ,代入 得: .31xk|0OABS(2)因 ,2| 32|OABSk当且仅当 取得最大值,3kOAB此时 ,又 , ;12x12x12,x将 及 代入得 3b2=5,椭圆方程 ,3k 35y例 4.已知 是椭圆 上的三点, 为椭圆的左焦点,102(,)(,)AxyBCxy214xF且 成等差数
13、列,则 的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。,FA第 9 页(四)关于直线对称问题例 1.已知椭圆 ,试确定 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线2143xym对称; ym例 2.已知中心在原点,焦点在 轴上,长轴长等于 6,离心率 ,试问是否存在直y32e线 ,使 与椭圆交于不同两点 ,且线段 恰被直线 平分?若存在,求出直l ,AB1x线 倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。题型十.最值问题例 1若 , 为椭圆 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求(2,3)P2F1652yx的最大值和最小值。2M分析:欲求 的最大值和最小值2可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆
14、的左焦点。21FaF解: ,连接 ,延长 交椭圆于点 M1,延长 交椭21MPaM1PF1FP圆于点 由三角形三边关系知 当且仅当 与 重合时取右等号、 与 重合时取左等号。1 2F2F1M1M2o第 10 页因为 ,所以 , ;120,2aPF2max()1MPF2min()8MPF结论 1:设椭圆 的左右焦点分别为 , 为椭圆内一点,2byx120y为椭圆上任意一点,则 的最大值为 ,最小值为 ;(,)My21a12aPF例 2 , 为椭圆 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求 的6P2F1652yx 2M最大值和最小值。分析:点 在椭圆外, 交椭圆于 ,此点使 值最小,求最大值方法同例2
15、2PF1。解: ,连接 并延长交椭圆于点 M1,21MPFaF1则 M 在 M1 处时 取最大值 ; 最大值是 10+ ,最小值是 。2374结论 2 设椭圆 的左右焦点分别为 , 为椭圆外一点,12byax12,F0(,)Pxy为椭圆上任意一点,则 的最大值为 ,最小值为 ;(,)M2MP1aF2P2.二次函数法例 3求定点 到椭圆 上的点之间的最短距离。(,0)Aa12byx分析:在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示 ,转化为 的函数求最小值。PA,xy解:设 为椭圆上任意一点,(,)Pxy222221()()1Aaxaxa由椭圆方程知 的取值范围是 ,(1)若 ,则 时,2axa2min1PAa(2)若 ,则 时in