1、第 1 页椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆 相内切，且过点 ，求这个动圆圆心2:(4)10Cxy(4,0)A的轨迹方程； M例 2. 方程 所表示的曲线是 223(1)()2xyxy练习：1.方程 对应的图形是（ ）22()(3)6xyxyA.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程 对应的图形是（ ）22(3)()10A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程 成立的充要条件是（ ）2222()(3)xyxyA. B. C. D. 1561592165xy2195xy4.如果方程 表示椭圆，则 的取值范围是 2222()()xymxym5.过椭圆
2、的一个焦点 的直线与椭圆相交于 两点，则 两点与椭圆29411F,AB,的另一个焦点 构成的 的周长等于 ；2F2AB6.设圆 的圆心为 ， 是圆内一定点， 为圆周上任意一点，线段()5xyC(,0)Q的垂直平分线与 的连线交于点 ，则点 的轨迹方程为 ；AQQM题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例 1.方程 的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的2165xy点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 ，求椭圆的方(3,0)P第 2 页程；（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 、1(
3、6,)P，求椭圆的方程；2(3,)P例 4.求经过点 且与椭圆 有共同焦点的椭圆方程；(,)29436xy注：一般地，与椭圆 共焦点的椭圆可设其方程为 ；21ab2221()xykbakb（四）定义法求轨迹方程；例 5.在 中， 所对的三边分别为 ，且 ，求满足ABC, ,abc(1,0)(,BC且 成等差数列时顶点 的轨迹；bac, A（五）相关点法求轨迹方程；例 6.已知 轴上一定点 ， 为椭圆 上任一点，求 的中点 的轨迹x(1,0)AQ214xyAQM方程； （六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线 垂直于 轴，且与椭圆 交于 两点，点 是直线 上满足lx24xy,ABPl的点，求点
4、的轨迹方程； 1PABP（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标(0,5)F32yx为 ，求此椭圆的方程； 12题型三.焦点三角形问题例 1.已知椭圆 上一点 的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为 、 ，2165xyP532F1第 3 页求 、 及 ；1PF212cosFP题型四.椭圆的几何性质例 1.已知 是椭圆 上的点，的纵坐标为 ， 、 分别为椭圆的两个焦点，2xyab531F2椭圆的半焦距为 ，则 的最大值与最小值之差为 c12PFA例 2.椭圆 的四个顶点为 ，若四边形 的内切圆恰21xyab(0),ABCDABC好过焦点，则椭圆的离心
5、率为 ；例 3.若椭圆 的离心率为 ，则 ；214xyk2k例 4.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且P2(0)ab1F2， ，则椭圆的离心率为 0125F2175F题型五.求范围例 1.方程 表示准线平行于 轴的椭圆，求实数 的取值范围；221()xymxm题型六.椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 所表示的曲线是 22(1)()xyxy例 2.求经过点 ，以 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程；,M12例 3.椭圆 上有一点 ，它到左准线的距离等于 ，那么 到右焦点的距离为2159xyP5P例 4已知椭圆 ，能否在此椭圆位于 轴左侧的部分上找到一点 ，使它到32yxyM左
6、准线的距离为它到两焦点 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能12,F找到，请说明理由。第 4 页例 5已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是1592yx)1,(AF2 P椭圆上一点求 的最小值及对应的点 的坐标23PFAP题型七.求离心率例 1. 椭圆 的左焦点为 ， ， 是两个顶点，21xyab(0)1(,0)Fc(,)Aa(0,)Bb如果 到直线 的距离为 ，则椭圆的离心率 1FAB7e例 2.若 为椭圆 上一点， 、 为其两个焦点，且 ，P21(0)xyab1F2 12PF，则椭圆的离心率为 21F例 3. 、 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，
7、 ，且1F2 2F,PQ1FP，则椭圆的离心率为 ；1PQ题型八.椭圆参数方程的应用例 1. 椭圆 上的点 到直线 的距离最大时，点 的坐标 2143xyP270xyP例 2.方程 ( )表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围；22sincosxy0题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例 1. 当 为何值时，直线 与椭圆 相切、相交、相离？m:lyxm29164xy第 5 页yxOABP例 2.曲线 （ ）与连结 ， 的线段没有公共点，求 的22xya0(1,)A(2,3)Ba取值范围。例 3.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点， 为坐标原点，)0 ,3(Pl2341xy,AB求
8、 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB分析：若直接用点斜式设 的方程为 ，则要求l )3(0k的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因此要l讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 的方l程为 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而3myx简化了运算。解：设 ， ：12(,)(,)ABxyl3myx)(3|)|(|2 21212 yOPSOB 把 代入椭圆方程得： ，即3myx 042y， ，06)4(2y3621my3221m48432)(18| 2221 xmy 3)1(4394222 m3122m第 6 页 ，此时 32S 1322m36令直线的倾角为 ，则
9、6tan即 面积的最大值为 ，此时直线倾斜角的正切值为 。OAB326例 4.求直线 和椭圆 有公共点时， 的取值范围cosin2xy23xy。 (0)（二）弦长问题例 1.已知椭圆 ， 是 轴正方向上的一定点，若过点 ，斜率为 1 的直线21xyAxA被椭圆截得的弦长为 ，求点 的坐标。34分析：若直线 与圆锥曲线 相交于两点 、 ，ykxb(,)0fxy1(,)Pxy2(,)Q则弦 的长度的计算公式为 ，PQ |1| 212212kkPQ而 ，因此只要把直线 的方程代入圆锥曲线2121214)(| xxx yxb方程，消去 （或 ） ，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。(,)0f
10、yy解：设 （ ） ，则直线 的方程为 ，设直线 与椭圆相交于,)Ax0l0yxl、 ，由 ，可得 ，1(,Py2(,Q021yx2203410， ，则34021x3021 2020212121 3648964)(| xxx ，即|34212x 203 ，又 ， ， ；20x00(,0)A第 7 页例 2.椭圆 与直线 相交于 两点， 是 的中点，21axby1xy,ABC若 ， 为坐标原点， 的斜率为 ，求 的值。|ABOC2,ab例 3.椭圆 的焦点分别是 和 ，过中心 作直线与椭圆交于 两点，若12045yx1F2O,AB的面积是 20，求直线方程。2ABF（三）弦所在直线方程例 1.已
11、知椭圆 ，过点 能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 ；2164xy(2,0)Pl P例 2.已知一直线与椭圆 相交于 两点，弦 的中点坐标为 ，2936xy,AB(1,)M求直线 的方程；AB例 3. 椭圆 中心在原点 ，焦点在 轴上，其离心率 ,过点 的直线 与椭EOx32e(1,0)Cl圆 相交于 两点，且 C 分有向线段 的比为 2.,ABAB（1）用直线 的斜率 表示 的面积；l(0)k（2）当 的面积最大时，求椭圆 E 的方程O第 8 页解：（1）设椭圆 的方程为 ，由 ，a 2=3b2E12byax3ce故椭圆方程 ；23xy设 ，由于点 分有向线段 的比为 212(,)(,
12、)AB(1,0)CAB ，即0321yx21)(yx由 消去 y 整理并化简得(3k 2+1)x2+6k2x+3k23b 2=0)(xkyb由直线 l 与椭圆 E 相交于 两点12(,)(,)AxBy1360)3)(4322122kbxbkk而 2222233|(1)|1|OABSyyykxkx由得: ，代入 得： .31xk|0OABS（2）因 ,2| 32|OABSk当且仅当 取得最大值,3kOAB此时 ，又 ， ；12x12x12,x将 及 代入得 3b2=5，椭圆方程 ,3k 35y例 4.已知 是椭圆 上的三点， 为椭圆的左焦点，102(,)(,)AxyBCxy214xF且 成等差数
13、列，则 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。,FA第 9 页（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线2143xym对称； ym例 2.已知中心在原点，焦点在 轴上，长轴长等于 6，离心率 ，试问是否存在直y32e线 ，使 与椭圆交于不同两点 ，且线段 恰被直线 平分？若存在，求出直l ,AB1x线 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题例 1若 ， 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求(2,3)P2F1652yx的最大值和最小值。2M分析：欲求 的最大值和最小值2可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义, 为椭圆
14、的左焦点。21FaF解： ，连接 ，延长 交椭圆于点 M1,延长 交椭21MPaM1PF1FP圆于点 由三角形三边关系知 当且仅当 与 重合时取右等号、 与 重合时取左等号。1 2F2F1M1M2o第 10 页因为 ，所以 , ；120,2aPF2max()1MPF2min()8MPF结论 1：设椭圆 的左右焦点分别为 , 为椭圆内一点，2byx120y为椭圆上任意一点，则 的最大值为 ,最小值为 ；(,)My21a12aPF例 2 , 为椭圆 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 的6P2F1652yx 2M最大值和最小值。分析：点 在椭圆外， 交椭圆于 ，此点使 值最小，求最大值方法同例2
15、2PF1。解： ，连接 并延长交椭圆于点 M1，21MPFaF1则 M 在 M1 处时 取最大值 ； 最大值是 10+ ，最小值是 。2374结论 2 设椭圆 的左右焦点分别为 ， 为椭圆外一点，12byax12,F0(,)Pxy为椭圆上任意一点，则 的最大值为 ，最小值为 ;(,)M2MP1aF2P2.二次函数法例 3求定点 到椭圆 上的点之间的最短距离。(,0)Aa12byx分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示 ，转化为 的函数求最小值。PA,xy解：设 为椭圆上任意一点，(,)Pxy222221()()1Aaxaxa由椭圆方程知 的取值范围是 ,（1）若 ，则 时，2axa2min1PAa（2）若 ,则 时in
