1、经济数学基础作业 1（微分学部分第 1 章函数第 2 章极限、导数与微分）知识要点： 1 函数概念：函数 的两个要素定义域和对应关系。Dxfy),(要求：会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。2函数的性质：了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。3基本初等函数和函数的复合运算：记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的图形特征。掌握函数的复合与“分解” 。4极限的概念 ：知道 的意义；Axfx)(lim0知道 的充分必要条件是 且 fx)(li0 Axfx)(li0 Axfx)(lim05 .无穷小量的概念和性质：了解无穷小量的概念：在某个变化过程中，以 0 为极限的函数。例如若 ，
2、0)(li0fx则称当 时， 为无穷小量。0x)(f了解无穷小量与无穷大量的关系：无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量。知道无穷小量的性质：无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。例如 ,0limx，因此1sinx01sinlm0xx6函数连续的概念和性质：了解函数 在点 处连续的概念：)(xfy0；了解“初等函数在定义区间内连续” 的结论；会判断函数在某点的连)(li00xfx续性，会求函数的间断点。7导数的概念：牢记导数定义的极限表达式 ；知道函数在某点导数xyf0lim)(的几何意义： 表示曲线 在点 处的切线的斜率；会求曲线的切)(0xf )(xfy,0线方程，曲线 在
3、 处的切线方程： 。了解导数的经济y0 )()(0ffy意义。8微分的概念：函数 的微分：)(xfydxy9高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数 )(y10函数极限、连续、可导与可微的关系：可微 可导 连续 极限存在。11掌握求简单极限的常用方法求极限的常用方法有（1）利用极限的四则运算法则；（2）利用重要极限第一重要极限： 1sinlm0x特点：当 时，）分子、分母的极限为 0； x）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。第一重要极限的扩展形式： 1)(sinl0)(xx（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量） ；（4）利用连续函数的定义。12熟练掌握
4、求导数或微分的方法。具体方法有：（1）利用导数（或微分）的基本公式；（2）利用导数（或微分）的四则运算法则；（3）利用复合函数求导或微分法；（4）利用隐函数求导法则。作业解答：一填空题1 .xxsinlim0解：当 时，分子、分母的极限均为 0，且 1sinlm0x因此 xxsili0 1)sin1(l0xx2设 在 处连续，则 ,)(2kf k解：由函数的连续定义知：若 在 处连续，则 。)(xfy0)0(lim0fx因为 )(lim0xf1)(li20k因此，若 在 处连续，则 1。)(xf k3曲线 在（1，2）的切线方程是 y解： 根据导数的几何意义有，曲线 在（1，2）的切线方程是：
5、xy)(xy而 21)1(x故切线方程是： ，即)(2y3xy4设 则 。,5)1(2xxf )(f解：先求 的表达式令 ，则 ，t1t因为 ,52)(xxf则 4)(2ttt则 4)(2xf5设 则 ,sin)(xf)2(f解： 2f2xf ,cossin)(isin)( xxf ,sinc)(c xx= ,sinco2x2)( f二单项选择题：1当 时，下列变量为无穷小量的是（ ）xA. B. )1ln( 12xC. D. xesin解：无穷小量的概念：在某个变化过程中，以 0 为极限的函数。A 中：因为 时， ，故 时， 不是无穷小x)1l(xx)1ln(x量； B 中：因为 时， ，故
6、 时， 不是无穷小量12x12xC 中：因为 时， ， ，故 时， 不是无穷小量。x01exxeD 中：因为 时， ，故当 时， 是无穷小量。sinixsin因此正确的选项是 D。2下列极限计算正确的是（ ） 。A. ， B. 1lim0x1lim0xC. D. ,sinl0x ,snlix解： A 不正确。注意到： ，0,因此： ，1limli00xx 1limli00xx不存在。x0liB正确。C不正确。因为 ，由无穷小量的运算质量得：,0limx1sin,1sinl0xD不正确。因为 0sinlilxx因此正确的选项是 B。3设 则 （ ） .,2lgydyA . B. x1dx10ln
7、C D0ln解： 因为 xxdxyl)2(l因此正确的选项是 B。4函数 在点 处可导，则（ ）是错误的 .)(f0A . 函数 在点 处有定义 B 但x ,)(0Axflim)(0xfC函数 在点 处连续 D函数 在点 处可微。)(f0 0解：注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：可微 可导 连续 极限存在。正确的选项是 B。5若 ，则 （ ） .xf)1()(fA . B2 21xC Dx解：令 ，则t1t因为 ，则 ，xf)(f1)(2x因此正确的选项是 B。三解答题1. 求下列极限：（1） ； 123lim21x解：该极限属 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算“0= 1
8、23li21xx )1(2lim1xx= = li1x（2） 865li2x解：该极限属 型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算“0)4(23lim865li2 xxxxli2x1（3） ；x1li0解：该极限属 型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法则计算“xx1lim0)1(li0xx= =)(li0x 21lim0x（4） 4235xli解：该极限属 型，注意到“)0(1lix分子、分母同除以 ，再利用四则运算法则计算2x= =4352xlim2435xxli 320（5） xxsin3lm0解：该极限属 型，注意到：“1)(sinlm0)(xx分子、分母分别除以 ，利用重
9、要极限公式计算5,3= =xxsinlm0x.5sil0（6） )2si(4l2x解：该极限属 型，利用重要极限公式计算“0= )2sin(4lm2xx )2sin(lxx= =4.i1lx2 设 0,sin,)(xabxf问：（1）当 为何值时， 在 处有极限存在？b,)(f（2）当 为何值时， 在 处连续？ax0解：（1）因为要使 在 处有极限存在，则要 和)(f )(xf0lim)(xf0存在且相等，因为=)(xf0lim)1sin(bx0=1xx因此当 ， 取任意实数时，函数 在 处有极限存在。1ba)(f0x（2）因为要使 在 处连续，则要 = )(f0lim)(xf0f= )0f结
10、合（1）知：当 时， 在 处连续。1ba)(xf03 求下列导数或微分：（1） ，求 ； 22logxxyy解： 利用导数代数和运算法则2ln1l2)(l)(2xxxx（2） ,求 y；dcxbay解： 2)()()(dcxcxba= =2)(cxa2)(（3） 求 ；51xyy解： 21)(= )53()(12xx= 2)(3（4） ,求 ；xeyy解： )()( x= 21xex知识要点：导数的基本公式：xaexcxa1)(lnlog)(ln01xxxx2sin1)(cotsin)(cosi知识要点： 2)(vu知识要点： )(,)(1xufyxx知识要点： vuex)(,12= )(21
11、xe（5） ，求 ；byaxsindy解： )(sin)( bxeea= xacosi= )s(xedbadxycin（6） ，求 ；ex1y解： ，23y=)(1xe2113)(xex= 2123xdxexdy)(212（7） ，求 ；2cosy解： )(2xey= (sin2= 2i21xex（8） ，求 ；nxynsiiy解： )()(= )(cossii1 nxxn知识要点： xexcos)(sin知识要点： xex)(1231知识要点： 1)()sinix知识要点： xx21)(sincoddx)i(2= nxxncossi1（9） 求 ；),l(2yy解： )1(122 xx= )(122x= =x122 21（10） 求 。,321sinxyxy解： 26121sinx)2()(si xy= 061in2l 531sin x=5231sin)(cosl xxx= 65231sin2 1l x4 下列各方程中 是 的隐函数，试求 或yxyd（1） 求,132x解： 方程两边对 求导数得： ,1)3()(2x0)(yxy32xydxdx2知识要点： 122)()()(lnx知识要点： axxln)(,1612332
