1、 上海立体几何高考试题汇总(01 春)若有平面 与 ，且 ，则下列命题中的假命题为（ ）lPl,（A）过点 且垂直于 的直线平行于 （B）过点 且垂直于 的平面垂直于 P l（C）过点 且垂直于 的直线在 内 （D）过点 且垂直于 的直线在 内 l（01）已知 a、b 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，且 a，b，则下列命题中的假命题是（ ）DA. 若 ab，则 B.若 ，则 abC.若 a、b 相交，则 、 相交 D.若 、 相交，则 a、b 相交(02 春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段 AB、CD 、EF 和 GH 在原正方体中相互异面的有 对。3(02)若正四棱
2、锥的底面边长为 ,体积为 ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小cm3234c是 30(03 春)关于直线 以及平面 ，下列命题中正确的是 ( ).lba,NM,(A) 若 ,则/b/(B) 若 ,则,(C) 若 ,且 ,则alal(D) 若 ,则 DNM/,(03) 在正四棱锥 PABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60，则异面直线 PA 与 BC 所成角1CB1AA的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）arctg2(03)在下列条件中，可判断平面 与 平行的是 （ ）A、 都垂直于平面 r.B 内存在不共线的三点到 的距离相等.Cl，m 是 内两条直线，且 l，m.Dl，m 是两
3、条异面直线，且 l，m ，l ， m. D(04 春)如图,在底面边长为 2 的正三棱锥 V-ABC 中,E 是 BC 的中点,若VAE 的面积是 ,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为 41 (结果用反三角函数表示) arctg(04) 在下列关于直线 l、m 与平面 、 的命题中,真命题是( )(A)若 l 且 ,则 l. (B) 若 l 且 ,则 l.(C) 若 l 且 ,则 l. (D) 若 =m 且 lm,则 l. B(05 春)已知直线 及平面 ，下列命题中的假命题是 n、 （A）若 ， ，则 . （B）若 ， ，则 ./l/ll/nln（C）若 ， ，则 . （D）若 ， ，则 .
4、Dmn/(05)有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三角形的三a2 边长分别为 3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四 棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取 值范围是 0a 315(06 春)正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 . 316(06 文)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 A(06 理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上 ”是“这四个点在同一平面上”的 答（ ） A（A）充分非必要
5、条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件(07 文) 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ，1CBA90， ， 则 异 面 直 线 与 所 成 角 的211BC大 小 是 （结果用反三角函数值表示） 6arcos(07 理 )在 平 面 上 ， 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有 相 交 、 平 行 、 重 合 三 种 已 知 是 两 个，相 交 平 面 ， 空 间 两 条 直 线 在 上 的 射 影 是 直 线 ， 在 上 的 射 影 是12l， 12s， 12l，直 线 用 与 ， 与 的 位 置 关 系 ， 写 出 一 个 总 能 确 定 与 是 异12
6、t， 1s2t l面 直 线 的 充 分 条件： ，并且 与 相交（ ，并且 与 相交）21/s1t2/1t21s2(01 春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如图） ，设容器的高为 米，盖子边长为 米ha（1）求 关于 的函数解析式；h（2）设容器的容积为 立方米，则当V 为何值h时， 最大？求出 的最大值V（求解本题时，不计容器的厚度）解（1）设 为正四棱锥的斜高h由已知 ,ha4122解得 )0(12（2） )(3hhaV易得 )1(因为 ，所以2hh61V等式当且仅当 ，即 时取得。1故当 米时， 有最大值， 的最大值为 立方米1hV61(01
7、 春) 在长方体 中，点 、 分别 、 上，且 ， 。1DCBAEF1BDBAE1DF1（1）求证： ；AEFC平 面1（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角） ，则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。试根据上述定理，在 ， ， 时，求平面 与平面 所成的角的大小。4B3D51AEFBD1（用反三角函数值表示）证（1）因为 ，所 在平面 上的射影为AC1平 面C1BA1B1由 ，得 ，BEBA1,平 面E同理可证 F因为 AC11,所以 EA平 面解（2）过 作 的垂线交 于 ，ABDCG因为 ，所以G1
8、BD1平 面设 与 所成的角为 ，则 即为平面 与平面 所成的角AGC1AEFBD1由已知，计算得 49D如图建立直角坐标系，则得点 ，(0,)，),3()5,0(),349(1CAG，,4,因为 与 所成的角为1所以 251|cosCAGar由定理知，平面 与平面 所成角的大小为EF251arcos(01) 在棱长为 a 的正方体 OABCOABC中，E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点，且 AE=BF.（1）求证：AFCE；（2）当三棱锥 BBEF 的体积取得最大值时，求二面角 BEFB 的大小.（结果用反三角函数表示）（1）利用空间直角坐标系证明；（2）arctan2(02 春) 如图
9、，三棱柱 OAB-O1A1B1，平面OBB1O1平面 OAB，O 1OB=60，AOB=90， 且 OB= OO1=2，OA= 3。求 ： （ ） 二 面 角 大 小 ；（ ） 异 面 直 线 与 所 成 角 的 大 小 。（ 上 述 结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 ）解 （1）取 OB 的中点 D，连结 O1D，则 O1DOB。平面 OBB1O1平面 OAB，O 1D平面 OAB过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E，连结 O1E，则 O1EAB。DEO 1 为二面角 O1-AB-O 的平面角。由题设得 O1D=3，DE=DBsin OBA=21/7.在 RtO1DE 中，tgDE
10、O 1=7,DEO 1=arctg7.即二面角 O1-AB-O 的大小为 arctg7.(2)以 O 点为原点，分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴、过 O 点且与平面 AOB 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0） ，O1（0，1，3 ） ，A（3 ，0，0） ， A1（3 ，1，3 ） ，B（0，2，0） 。设异面直线 A1B 与 AO1 所成角为 ，(02)如图，在直三棱柱 中， ， ，D 是线段 的49,ABA中点，P 是侧棱 上的一点，若 ，求 与底面 BDOP所成角的O大小。 （结果用反三角函数值表示）解法一如图,以 点为原点建立空间直角坐标系O由题意，
11、有 )4,23(),0(B设 ，则,3zP,3,42zD因为 OB098z因为 平面 AOB是 OP 与底面 AOB 所成的角POB83arctgtg解法二 取 中点 E，连结 DE、BE ，则BO平面D z O A D B P O A y B x O A E D B P O A B O A D B P O A B 是 BD 在平面 内的射影。BEOB又因为 DP由三垂线定理的逆定理，得 EP在矩形 中，易得 BRtt得,BE89（以下同解法一）(03 春)已知三棱柱 ，在某个空间直角坐标系中， 1CA1A1B其中 .,0,0,23,1nmmAB 0,mC(1) 证明：三棱柱 是正三棱柱； 1
12、B(2) 若 ，求直线 与平面 所成角的大小.nCA1（2） 4(03)已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，A 1A平面 ABCD，AB=4 ，AD=2. 若 B1DBC ，直线 B1D与平面 ABCD 所成的角等于 30，求平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的体积.解连结 BD，因为 B1B平面 ABCD，B 1DBC，所以 BCBD.在BCD 中，BC=2，CD=4，所以 BD= .32又因为直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30，所以B 1DB=30，于是 BB1= BD=2.3故平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 SABCDBB1= .38(04
13、春)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PMBB 1 交 AA1 于点 M,PNBB1 交 CC1 于点 N.(1) 求证：CC 1MN;(6 分)(2) 在任意DEF 中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DFEFcosDFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.(8 分)证明：(1) CC 1BB1, CC1PM, CC1PN,且 PM、PN 相交于点 P,CC1平面 PMN. MN 平面 PMN, CC1MN. 解：(2)在钭三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有S =S +S
14、2S S cos 21AB21BC2A1A其中 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角 CC1平面 PMN,平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角为MNP 在PMN 中,PM 2=PN2+MN22PNMNcosMNP, PM2CC = PN2CC + MN2CC 2(PNCC 1)(MNCC1) cosMNP 111由于 S = PNCC1, S = MNCC1, S =PMBB1 及 CC1=BB1, 1BC1AC1AB则 S =S +S 2S S cos 21A21211B1C(04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长 分别为 x、y(
15、单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总 面积 8cm2. 问x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?【解】由题意得xy+ x2=8,y= = (0x4 ).41x4822于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2( )=( + )x+ 4 .x23x164当( + )x= ,即 x=84 时等号成立.3162此时, x2.343,y=2 2.828.故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省.(05 春)已知正三棱锥 的体积为 ，侧面与底面所成的二面角的大小为 .ABCP372 60（1）证明： ；（2）求底面中心 到侧面的距离O证明（1
16、）取 边的中点 ，连接 、 ，DP则 ， ，故 平面. APD 4 分 . BCA 6 分解 （2）如图， 由（1）可知平面 平面 ，则是侧面与底面所成二面角的平面角.PDA过点 作 为垂足，则OEP, 就是点OE到侧面的距离. 9 分 P B CA O设 为 ，由题意可知点 在 上，OEhOAD ， .60PDh2, 11 分BC4,32 ，223)(hSA ， .843172 3h即底面中心 到侧面的距离为 3. O(05 文)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,AB=4,AD=2.B 1D 与平面 ABCD所成角的大小为 60,求异面直线
17、 B1D 与 MN 所成角的大小 .(结果用反三角函数值表示)解联结 B1C,由 M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点,得 B1CMN,DB1C 就是异面直线 B1D 与 MN 所成的角.联结 BD,在 RtABD 中,可得 BD=2 ,又 BB1平面 ABCD, B1DB 是 B1D 与平面 ABCD 所成的角, 5B1DB=60.在 RtB1BD 中, B 1B=BDtan60=2 ,又 DC平面 BB1C1C, DCB1C,在 RtDB1C 中, tan DB1C= ,212BCDDB1C=arctan .2即异面直线 B1D 与 MN 所成角的大小为 arctan .21(05 理
18、)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2 底面 ABCD 是直角梯形, A 为直角,ABCD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小.( 结果用反三角函数值表示)解由题意 ABCD,C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所 成的角.连结 AC1 与 AC,在 RtADC 中,可得 AC= .5又在 RtACC1 中,可得 AC1=3.在梯形 ABCD 中,过 C 作 CHAD 交 AB 于 H,得CHB=90,CH=2,HB=3, CB= .3又在 RtCBC1 中,可得 BC1= ,7在ABC 1 中,cosC 1BA= ,C1BA=
19、arccos 71异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos 3另解:如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD 1 所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系.则 C1(0,1,2),B(2,4,0), =(-2,-3,2),1BC=(0,-1,0),设 与 所成的角为 ,则 cos= = ,= arccos .DB173173异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos(06 春)在长方体 中，已知 DA=DC=4,DD1=3,求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小1CA(结果用反三角函数表示).解法一 连接 A1DA1DB1C, BA1D 是异面直线
20、 A1B 与 B1C 所成的角 4 分连接 BD,在A 1DB 中,AB=A 1D=5,BD=4 6 分2cosBA1D= 122= = 10 分539异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 arccos 12 分259解法二 以 D 为坐标原点 ,DA、DC、DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 2 分则 A1(4,0,3) 、 B(4,4,0) 、B 1(4,4,3) 、C(0,4,0),得 =(0,4,-3), =( -4,0,-3) 6 分B1设 与 的夹角为 ,1Ccos= = 10 分BA1259异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 arccos 259(06 文)在直三棱柱 中， . A0,1BCA（1）求异面直线 与 所成的角的大小；1（2）若 与平面 S 所成角为 ，求三棱锥 的体积1ACB451BC
