1、高考中立体几何问题的热点题型特级教师 石朝华1立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计算能力解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力热点题型主要有平面图形的翻折、探索性的存在问题等；2思想方法：(1)转化与化归( 空间问题转化为平面问题) ；(2) 数形结合( 根据空间位置关系利用向量转化为代数运算) 热点一 空间点、线、面的位置关系以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体) 为载体，
2、通过空间平行、垂直关系的论证命制试题，主要考查公理 4 及线面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等典题 1 如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA 1AC 2，BC1，E ，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证： C1F 平面 ABE；(3)求三棱锥 EABC 的体积(1)证明在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BB 1底面 ABC，AB平面 ABC，所以 BB1AB.又 AB
3、BC，BCBB 1B ，所以 AB平面 B1BCC1.又 AB平面 ABE，所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明 证法一：如图 ，取 AB 中点 G，连接 EG，FG .因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FG AC，且 FG AC.12因为 AC A1C1，且 ACA 1C1，所以 FG EC1，且 FGEC 1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形所以 C1F EG.又 EG平面 ABE，C 1F平面 ABE，所以 C1F 平面 ABE.证法二：如图，取 AC 的中点 H，连接 C1H，FH.因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HF AB.又 E， H
4、 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1 綊 AH，所以四边形 EAHC1 为平行四边形，所以 C1H AE.又 C1HHFH，AEAB A，所以平面 ABE 平面 C1HF.又 C1F平面 C1HF，所以 C1F 平面 ABE.(3)解 因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB .AC2 BC2 3所以三棱锥 EABC 的体积V SABC AA1 12 .13 13 12 3 331证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题2计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，若不能直接用公式时，注意进行体积的转化一
5、个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需要说明理由) ；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线 DF平面 BEG.(1)解： 点 F，G，H 的位置如图所示(2)解： 平面 BEG 平面 ACH.证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BC FG，BCFG.又 FG EH，FGEH，所以 BC EH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE CH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE 平面 ACH，同理 BG 平面 ACH，又 BEBGB
6、，所以平面 BEG 平面 ACH.(3)证明： 连接 FH，与 EG 交于点 O，连接 BD.因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 DH平面 EFGH.因为 EG平面 EFGH，所以 DHEG.又 EGFH，DHFHH，所以 EG平面 BFHD.又 DF平面 BFHD，所以 DFEG，同理 DFBG ，又 EGBGG，所以 DF平面 BEG.热点二 立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是
7、否存在典题 2 2017山东济南调研 如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形平面 ABC 平面AA1C1C，AB 3，BC5.(1)求证： AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1BC 1 B1 的余弦值；(3)在线段 BC1 上是否存在点 D，使得 ADA 1B？若存在，试求出 的值BDBC1(1)证明 在正方形 AA1C1C 中，A 1AAC.又平面 ABC平面 AA1C1C，且平面 ABC平面 AA1C1CAC，AA 1平面 AA1C1C.AA 1平面 ABC.(2)解 由 (1)知，AA 1AC，AA 1AB ，由题意知，在ABC 中， AC4，
8、AB3，BC5，BC 2AC 2AB 2，ABAC.以 A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，于是 (4,0,0) ， (0,3，4)，A1C1 A1B (4，3,0) ， (0,0,4)B1C1 BB1 设平面 A1BC1 的法向量 n1(x 1，y 1，z 1)，平面 B1BC1 的法向量 n2(x 2，y 2，z 2)Error!Error!取向量 n1(0,4,3)由Error!Error!取向量 n2(3,4,0)cos .n1n2|n1|n2| 1655 1625由题图可判断二面角 A
9、1BC 1B 1 为锐角，故二面角 A1BC 1B 1 的余弦值为 .1625(3)解 假设存在点 D(x，y，z) 是线段 BC1 上一点，使AD A1B，且 ，BD BC1 (x ，y3，z )(4，3,4)，解得 x4，y33，z4， (4 ，33 ，4)AD 又 ADA 1B，03(33)160，解得 ，925 0,1，925在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA 1B，此时 .BDBC1 9251对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等2对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数热点三 空间向量在立体几何中的应用 在高考中主要考查通过建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算证明空间中的线、面的平行与垂直关系，计算空间角(特别是二面角) ，常与空间几何体的结构特征，空间线、面位置关系的判定定理与性质定理等知识综合，以解答题形式出现，难度中等常见的命题角度有：考查角度一 计算线线角、线面角典题 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD ， PAAD2，ABBC1.2
