1、内 容 简 介1. 小波分析的数学基础小波分析的数学基础2. 小波分析的发展历程小波分析的发展历程3. 小波变换小波变换4. 小波分析应用小波分析应用5. 主要参考文献主要参考文献1. 小波分析的数学基础小波分析的数学基础集合论上定义的三大空间：距离空间、赋范线性空间、 Hilbert空间。相关概念及理论：空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。距离空间： 定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间；定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间；赋范线性空间： 定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空
2、间称为赋范线性空间；定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间；如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的；Hilbert空间： 完备的内积空间就是 Hilbert空间。1.1 距离空间的定义 设 R表示一个非空集合，若任意两元素 ,都按一定的规则与一个实数 相对应，且 满足以下三公理：（ 1） ，当且仅当： 时等号成立；（非负性）（ 2） ；（对称性）（ 3）对 R中任意三元素 ，有： （三角不等式）则称 为 和 的距离，称 R为距离空间。1.2 赋范线性空间定义设 为实数（或复数）线性空间，若任意的 ，都有一个非负的实数 与之对应，且满足：（ 1） ；（ 2） (齐性
3、 );（ 3） （三角不等式）。则称 为 的范数，称 为线性赋范线性空间。1.3 Hilbert空间定义内积空间定义：设 是数域（实或复）， 是 上的线性空间。若对任意的 ，都有唯一的数 与之对应，且满足：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 且则称 为 的内积，称 为内积空间。其中（ 1），（ 2）是对第一变元线性性；（ 3）为共扼对称性；（ 4）为正定性。Hibert空间定义 ：若内积空间 按范数 完备，则称 为 Hibert空间。1.4 小波分析的数学基础q 首先，小波变换以空间理论为基础的；q 小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小波构造及运算规则都与 Hilbert空间理论密不可分；
4、q 小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。2. 小波分析的发展历程小波分析的发展历程Fourier变换： 1807年由 Fourier提出，时域到频域的域变换；1909年 A.Haar提出 Haar函数系 ，正交、对称、紧支撑，但不光滑；1936年 Littlewood-Paley提出对频率按 进行划分；1946年， Gaber提出 窗口 Fourier变换 ；1948年 Shannon建立 信息论 ，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；1974年， Guido Weiss和 R.Coifman 研究函数空间 原子分解 及重构；1981年 Morlet 首先提
5、出 小波分析 的概念；1984年 J.Morlet和物理学家 A.Grossman第一次提出 “Wavelet”一词；1985年 Meyer证明了一维小波基的存在， 1986年国际上掀起小波研究的热潮；1987年 Meyer和 Mallat合作提出 多分辨分析 的框架；1988年 Debauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（ b），发表著名长文；1990年崔锦泰和王建忠构造了单正交 样条小波基 ；1992年经典小波的基本理论已成熟，国内 1991年发表第一篇小波论文。2.1 Heisenberg 不确定原理Heisenberg不确定原理限制了时频能量的同时集中！Heisenberg不确定
6、理：如果 ，时间的根方差为 ，频率的根方差为 则：即 :时 频局域化只能在均方意义下获得：这种局域化可表示为 Heisenberg Box:2.2 傅立叶分析Fourier 变换把信号从时间域变到频率域，在时间域内难以观察的现象和规律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续 Fourier变换定义如下：FT时 频相平面图time AmplitudeFourier 变换的缺陷： 在时域表示中不能直接利用信号的频域信息；在频域表示中，也不能直接利用信号的时域信息 ,傅立叶分析没有时 频局域化能力。2.3 窗口傅立叶分析窗口 Fourier变换在 点附近局部地测量了频率为 的正弦分量 ，使 Foureier在时域与频域内均有局域化功能。连续窗口 Fourier变换如下：积分核：窗口 Fourier变换的缺陷： 一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。
