1、2017 北京各区一模第 29 题：新定义问题1.东城29设平面内一点到等边三角形中心的距离为 d，等边三角形的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足 rdR 的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系 xOy 中，等边ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(0，2)，B（ ，1） ，C( ， 1).3（1）已知点 D（2，2） ，E（ ，1） ，F（ ，1）.32-在 D，E，F 中，是等边 ABC 的中心关联点的是 ；（2）如图 1，过点 A 作直线交 x 轴正半轴于 M，使AMO=30.若线段 AM 上存在等边ABC 的中心关联点 P（m，n）
2、 ，求 m 的取值范围；将直线 AM 向下平移得到直线 y=kx+b，当 b 满足什么条件时，直线 y=kx+b 上总存在等边ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图 2，点 Q 为直线 y=1 上一动点，Q 的半径为 .21当 Q 从点（4， 1）出发，以每秒 1 个单位的速度向右移动，运动时间为 t 秒.是否存在某一时刻 t，使得Q 上所有点都是等边ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的 t 的值；如果不存在，请说明理由.图 1 图 2解析：（1）E,F; 2 分（2）解：依题意 A（0，2） ，M（ ，0）.3可求得直线 AM 的解析式为 .2xy经验
3、证 E 在直线 AM 上.因为 OE=OA=2，MAO =60，所以OAE 为等边三角形，所以 AE 边上的高长为 .3当点 P 在 AE 上时， OP2.3所以当点 P 在 AE 上时，点 P 都是等边ABC 的中心关联点.所以 0m ; 4 分 b2; 6 分34（3）t= 8 分25-或2.西城29在平面直角坐标系xOy中，若点 P和点P1关于y轴对称，点 P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y 轴，直线l 的二次对称点.（1）如图1，点A(1，0). 若点B是点A关于y 轴，直线l 1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ； 点C(-5，0)是点A关于y 轴，直线 l2：
4、x=a的二次对称点，则a的值为 ； 点D(2，1) 是点 A关于y轴，直线l 3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；（2）如图2，O的半径为1.若O 上存在点M，使得点M是点M关于y 轴，直线l 4：x = b的二次对称点，且点M 在射线 (x0)上，b的取值范围是 ；（3）E( t, )是x 轴上的动点， E的半径为2，若E上存在点N，使得点N 是点N关于y轴，直线l 5: 的二次对称点，且点N 在y轴上，求t的取值范围.31yx图1 图2解析：（1）点B的坐标为（3，0）；a的值为-2.xyA12341234-1-2-3-4-5 -3-2 5O xyO 5-2-3-1-5-4-3-2-1
5、 43214321直线 l3 的表达式为 .3 分2yx（2） b1； 5 分（3）将点N关于y 轴的对称点记为点P， 点P和点N 关于直线l: 对称， 31yx 直线 和y轴关于直线l : 对称，13+=xyyx 点P在直线 上，直线 和直线 关于y轴对称，31yx31yx点N在直线 上， 符合题意的点N是 与E 的公共点.31yx（i）当直线 与E相离时，则不存在符合题的点N .（ii）当直线 与E相切时，如图所示.31yx则符合题意的点N是直线 与E 相切时的切点，31yx记直线 与x轴交于点R( ,0),31y若点 E在点 R的左侧，由 E1N1=2，可得 R E1=4, OE1=4
6、- ,3 .43t若点 E在点 R的右侧，由 E2N2=2,可得 R E2=4, OE2=4 + ,3 .43t（iii）当直线 与E相交时，31yx-4+ t4+ 时，综上，t 的取值范围是：-4+ t 4+3. 8 分3.海淀29在平面直角坐标系 xOy 中，若 P，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与 x 轴， y 轴平行，则称该菱形为点 P，Q 的“ 相关菱形” 图 1 为点 P，Q的“相关菱形”的一个示意图 QPy xO图 1已知点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 的坐标为（b，0） ，（1）若 b=3，则 R（ ，0） ，S（5，4） ，T（6，4）中能够成为
7、点 A，B 的“相关菱1形”顶点的是 ；（2）若点 A，B 的“相关菱形”为正方形，求 b 的值；（3） 的半径为 ，点 C 的坐标为（2，4） 若 上存在点 M，在线段 AC 上存BA在点 N，使点 M，N 的“相关菱形 ”为正方形，请直接写出 b 的取值范围xy1234567 1234567891023456123456O解析：（1） S； - 2 分（2）过点 A 作 AH 垂直 x 轴于 H 点 点 A，B 的“相关菱形”为正方形， ABH 为等腰直角三角形 A（1，4） ， BH=AH=4. b = 或 5 - 5 分3（3） b0 或 3b8 - 8 分 xy1234567 123
8、456789102323456CAO4.朝阳29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(0 ，m )，且 m0，点 B 的坐标为(n，0) ，将线段 AB 绕点 B 旋转 90，分别得到线段 B P1，B P2，称点 P1，P 2 为点 A 关于点 B 的“伴随点” ，图 1 为点 A 关于点 B 的“伴随点”的示意图(1)已知点 A(0，4)，当点 B 的坐标分别为(1，0)，(-2，0)时，点 A 关于点 B 的“伴随点”的坐标分别为 ；点（x，y）是点 A 关于点 B 的“伴随点” ，直接写出 y 与 x 之间的关系式；(2)如图 2，点 C 的坐标为(-3，0)，以 C 为
9、圆心， 为半径作圆，若在C 上 存 在 点 A 关2于点 B 的“伴随点” ，直接写出点 A 的纵坐标 m 的取值范围xyHA14B1 B2O图 1解析：（1）（-3，-1） ， （5，1）. （-6，2） ， （2，-2）. y=x-4 或 y=-x-4. （2）-5m-1 或 1m5 5.石景山29在平面直角坐标系 中，对“隔离直线”给出如下定义：xOy点 是图形 上的任意一点，点 是图形 上的任意一点，若存在直线(,)Px1G(,)Qxn2G满足 且 ，则称直线 是图形:0)lykbmkb kb :(0)lykxb与 的“隔离直线” 12如图 ，直线 是函数 的图象:4lyx6(0)yx
10、与正方形 的一条“隔离直线” OABC（1）在直线 ， ， 中，12313是图 函数 的图象与正方形6(0)yxOABC的“隔离直线”的为 ；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式： ；（2）如图 ，第一象限的等腰直角三角形 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶EDF点 的坐标是 ， 的半径为 是否存在 与 的“隔离直线”D(3,1)O2EF O？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；备用图 图 2yx1232345634567891023456789Oyxy =-x4123456 1233456723ACB(,)O图 1 （3）正方形 的一边在 轴上，其它三边都在
11、轴的右侧，点 是此正方1ABCDyy(1,)Mt形的中心若存在直线 是函数 的图象与正2xb2304xx（ ）方形 的“隔离直线” ，请直接写出 的取值范围1 t解析：（1） ； 112yx分（答案不唯一） 2 分3（2）连接 ，过点 作 轴于点 ，如图 ODGx在 中，Rt，21sin 3 分30 26 的半径为 ，O点 在 上D过点 作 交 轴于点 ，HyH直线 是 的切线，也是 与 的“隔离直线” 4 分EDFO在 中， ，Rt 4cos2O点 的坐标是 5 分(0,4)直线 的表达式为 DH3yx即所求“隔离直线”的表达式为 6 分4（3） 或 8 分2t 8t图 2 备用图y x12
12、3 12342312345 EFDOyx21123 2342312345FGEDHO6.丰台29在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B ，C 的覆盖矩形点 A，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B ，C 的最优覆盖矩形例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A 2B2C2D2，AB 3C3D3 都是点 A，B，C 的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3是点 A， B，C 的最优覆盖矩形（1）已知 A( 2，3) ，B(5，0)，C( ， 2)t
13、当 时，点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为_；t若点 A，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC 的表达式；（2）已 知 点 D(1， 1) E( ， )是 函 数 的 图 象 上 一 点 ， P 是mn)0(4xy点 O，D，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出P 的半径 r 的取值范围解析：（1）35；1分点 A，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 40，由定义可知，t =-3 或 6，即点 C 坐标为（-3，-2）或（ 6，-2）.设 AC 表达式为 ，bkxy 或.,32.,62 或.b,k15.,478 或 .4 分3xy5xy（2）如图 1，OD 所在的直
14、线交双曲线于点 E，矩形 OFEG 是点 O，D，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形，点 D（1，1），OD 所在的直线表达式为 y=x，点 E 的坐标为（2，2），D3B3C3A2 D212B1 C1B2A1 ABOy x-1-2124351243 65OE= ，2H 的半径 r = ，如图 2，当点 E 的纵坐标为 1 时，1= ，解得 x=4，4OE= = ，247H 的半径 r = ，1 8 分277.顺义29在平面直角坐标系 中，对于双曲线 和双曲线 ，如果xOy(0)myx(0)nyx，则称双曲线 和双曲线 为“倍半双曲线” ，双曲2mn(0)n线 是双曲线 的“倍双曲线” ，双曲线
15、 是双曲(0)yxnyx ()ynx线 的“半双曲线” （1）请你写出双曲线 的“倍双曲线”是 ；双曲线 的“半双曲线”3yx8yx是 ；（2）如图 1，在平面直角坐标系 中，已知点 A 是双曲线 在第一象限内任Oy4意一点，过点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 B，求yxAOB 的面积；图 2图 1GFDEOy x DGFEOy xPOy xNMCD（3）如图 2，已知点 M 是双曲线 在第一象限内任意一点，过点 M 与2(0)kyxy 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 的“半双曲线”于点 P，若MNP 的面积记为 ，且kx NPS，求 k 的取值范围12MNPS解析：（1）双曲线 的“倍双曲线”是 ；双曲线 的“半双曲线”是3yx6yx8yx4yx 2 分（2）双曲线 的“半双曲线”是 ，4yx2yxAOC 的面积为 2，BOC 的面积为 1，AOB 的面积为 1 4 分（3）解法一：依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，0kyx0kyx 5 分设点 M 的横坐标为 x，则点 M 坐标为 ，点 N 坐标为 ，2kx， kx， ， 6 分2kCN同理 7 分xP 124MNkSVg ， P
