1、数学（理科）试题 A 第 1 页 共 11 页2018 届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A
2、C B B A A D D B A C C二填空题1310 144 154 16 1三、解答题17（1）解法 1：由已知，得 cos2cosaBbA由正弦定理，得 ，1 分siniinAC即 2 分si()2BC因为 ，3si()si分所以 4sin2icosA分因为 ，所以 5 分i0C12因为 ，所以 6 分A3解法 2：由已知根据余弦定理，得 1 分2222acbbca即 3 分2bcab数学（理科）试题 A 第 2 页 共 11 页所以 5 分221cosbcaA因为 ， 所以 6 分03（2）解法 1：由余弦定理 ， 22cosabA得 ，7 分24bc即 8 分()3因为 ，92c
3、b分所以 223()()4c即 （当且仅当 时等号成立）114bbc分所以 6ac故 周长 的最大值为 12ABCb6分解法 2：因为 ，且 ， ，2sinisincRBCa3A所以 ， 8 分43b43所以 9 分2sinac4322sin3B104i6B分因为 ，所以当 时， 取得最大值 203B3abc6故 周长 的最大值为 12ACabc6分18（1）证明：连接 ，交 于点 ，设 中点为 ， DCOPF连接 ， OFE因为 ， 分别为 ， 的中点，A FOPACB DE数学（理科）试题 A 第 3 页 共 11 页所以 ，且 ，OFPA12因为 ，且 ，DEPA所以 ，且 1 分DE所
4、以四边形 为平行四边形，所以 ，即 2 分FOEFABDA因为 平面 ， 平面 ，所以 PABCCP因为 是菱形，所以 因为 ，所以 平面 4 分D因为 ，所以 平面 5DEFAPA分因为 平面 ，所以平面 平面 6PCCE分（2）解法 1：因为直线 与平面 所成角为 ， ABDo45所以 ，所以 745A2分所以 ，故 为等边三角形CBC设 的中点为 ，连接 ，则 MABC以 为原点， ， ， 分别为 轴，建立空间直ADPxyz， ，角坐标系 （如图）xyz则 ， ， ， ，20,，P01,3，C2,，E0,， ， ， ，1，9 分设平面 的法向量为 ，1,xyzn=则 即0,PCEAn11
5、320.z则 所以 101,y令1,2.xz,n分设平面 的法向量为 ，CDE2,xyzmMz yxPACB DE数学（理科）试题 A 第 4 页 共 11 页则 即 令 则 所以 11 分0,DECm22,30.zxyz21,x23,0.yz1,30m设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，P所以 36cos, 4nm所以二面角 的余弦值为 12 分DCE46解法 2：因为直线 与平面 所成角为 ，且 平面 ，PAB5PABCD所以 ，所以 745A 2分因为 ，所以 为等边三角形2BC因为 平面 ，由（1）知 ，PD/PAOF所以 平面 OF因为 平面 ， 平面 ，所以 且 ABCDBOFC在
6、菱形 中， 以点 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 （如图）Bxyzxyz则 ，(0,)(,12)(0,)(3,0)(,1)PE则 91CECD分设平面 的法向量为 ，1(,)xyzn则 即0,PCEn11203.令 ，则 ，则法向量 10 分1y1,.yz,n设平面 的法向量为 ，D2(,)xyzm则 即0,CE230,.令 ，则 则法向量 11 分21x2,0.yz1,3zOyxPACB DE数学（理科）试题 A 第 5 页 共 11 页设二面角 的大小为 ，由于 为钝角，PCED则 36cos, 42nm所以二面角 的余弦值为 12 分PE19解：（1）由已知数据
7、可得 1 分24568345, 4xy因为 2 分51()(3)1016iiixy，3 分，523)()( 22512 ii4 分522221()(1)01iiy所以相关系数 5 分1221()690.515()niiini ii ixyr因为 ，所以可用线性回归模型拟合 与 的关系 60.75ryx分（2）记商家周总利润为 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪Y安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元7分安装 2 台光照控制仪的情形：当 X 70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=3000-1000=2000 元，当 3070 时，只有 1
8、台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=13000-21000=1000 元，当 50X70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=23000-11000=5000 元，当 30X70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y=33000=9000 元，故 的分布列为YY1000 5000 9000P02 07 01所以 元 1110.250.79.146E分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪12分20解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 1 分C1212cac又 ，得 ，即 ，所以椭圆 的方程为 22+abc2=3c4bC2134yxa把点 代人
9、 中，解得 2 分61,3C2a所以椭圆 的方程为 3 分 2143yx（2）解法 1：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， lkl+2ykx由 得 4 分2,34ykx23410x设 ， ，则有 ， ，5,Axy,ByA2134Bkx分所以 26834Bk所以 6 分221,k数学（理科）试题 A 第 7 页 共 11 页因为 ，所以 在线段 的中垂线上，MOAOA所以 ，因为 ，所以 ，即 71y2Mykx1Mxk,1k分设 ，又直线 垂直 ，所以 ，即 8(,0)HxlH1Hxk分所以 ，即 91Hxk1,0k分又 ，所以 ， 10,F21249,3kBk1,1FHk因为 ，所以 ，
10、10 分1H 22 0434k解得 11 分283k所以直线 的方程为 12 分l263yx解法 2：设直线 的斜率为 ，则直线 方程 ， lkl+2ykx由 得 ，4 分2,134ykx23410x设 ， ，则有 ， 5 分,Axy,ByA2134Bkx所以 26834Bk所以 ， 6 分2129,kFk1,HFx因为 ，所以 ，解得 710BH234k29034k2941Hkx分数学（理科）试题 A 第 8 页 共 11 页因为 ，所以 ，解得 8 分MOA222MMxy1My所以直线 的方程为 9H194k分联立解得 10 分2,194,ykxk2901Mky由 ，解得 11 分20Mk
11、y283所以直线 的方程为 12 分l6yx21解：（1）函数 的定义域为 fx0,当 时， ，所以 1 分2b2lnfa2axafx 当 时， ，所以 在 上单调递增，2 分0a0x0,取 ，则 ，3 分10ex 211eaaf（或：因为 且 时，所以 ）0x020001lnlnl0efxaxaa因为 ，所以 ，此时函数 有一个零点4 分1f1fA当 时，令 ，解得 0a0fx 2x当 时， ，所以 在 上单调递减；2xff0,a当 时， ，所以 在 上单调递增a0fxfx,2要使函数 有一个零点，则 即 5f ln0aaf2e分数学（理科）试题 A 第 9 页 共 11 页综上所述，若函数
12、 恰有一个零点，则 或 6fx2ea0分（2）因为对任意 ，有 成立，12,e12fxf因为 ，maxminfxff所以 7 分maine因为 ，则 0bb所以 ，所以 lfxx1bbxfx当 时， ，当 时， ， 010f10f所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，8 分x,e,emin1fxf因为 与 ，所以 9 分1bfbfmax,eff设 ， ee2bgbf0则 2b所以 在 上单调递增，故 ，所以 g0,0gb1eff从而 10maxfebf分所以 即 ，12be10b设 ，则 =e=b当 时， ，所以 在 上单调递增00 ,又 ，所以 ，即为 ，解得 111e1b1b分因为
13、 ，所以 的取值范围为 12b,分22解：（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），1Ccos2inxy数学（理科）试题 A 第 10 页 共 11 页因为 ，则曲线 的参数方程 2 分2.xy， 2C2cosin.xy，所以 的普通方程为 3 分2C4xy所以 为圆心在原点，半径为 2 的圆 4分所以 的极坐标方程为 ，即 5 分24（2）解法 1：直线 的普通方程为 6l10xy分曲线 上的点 到直线 的距离 82CMl|2cos(+)10|2cosin104d分当 即 时， 取到最小值为 9 分cos+=1424kZ|=52当 即 时， 取到最大值为 10 分3d|+10|解法 2：直线 的普通方程为 6 分l10xy因为圆 的半径为 2，且圆心到直线 的距离 ，7 分2Cl 25|10|d因为 ，所以圆 与直线 相离852l分所以圆 上的点 到直线 的距离最大值为 ，最小值为 10 分2CMl 25rd 25rd23解：（1）当 时， 11a()|1|fx分当 时，原不等式可化为 ，解得 2 分x2x1x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时原不等式无解3 分121
