1、- 1 -常见十三类二元一次方程组解应用题专题分类讲解要点突破：应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾: （1）理解问题 （审题，搞清已知和未知，分析数量关系）（2）制定计划 （考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）（3）执行计划 （列出方程组并求解，得到答案）（4）回顾 （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）列方程组思想：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.（1） 行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品
2、配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题.一、 行程问题（1） 三个基本量的关系： 路程 s=速度 v时间 t 时间 t路程 s速度 V 速度 V路程 s时间 t（2） 三大类型： 相遇问题：快行距慢行距原距 追及问题：快行距慢行距原距 航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度- 2 -逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度顺速逆速 = 2 水速；顺速 + 逆速 = 2 船速 顺水的路程 = 逆水的路程相遇问题: 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，
3、必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。A 车路程+B 车路程=相距路程 总路程=（甲速+乙速）相遇时间 相遇时间=总路程（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙早出发 40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.练习：学校距活动站 670 米，小明从学校前往活动站每分钟行 80 米，2 分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行 90 米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？追及问题:两物体速度不同向同一方向
4、运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它- 3 -叫做“追及的路程” ，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”.关系式是： 追及的路程速度差追及时间顺速逆速 = 2 水速；顺速 + 逆速 = 2 船速 顺水的路程 = 逆水的路程A、B 两地相距 28 千米，甲乙两车同时分别从 A、B 两地同一方向开出，甲车每小时行 32 千米，乙车每小时行 25 千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？甲、乙二人相距 6km，二人同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇。二人的平均速度各是多少？ 解：设甲每小时走 x 千米，乙每小时走 y 千米题中的两个相等关
5、系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+ = 可列方程为： 【变式】1.甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ - 4 -2. 甲以 5km/h 的速度进行有氧体育锻炼，2h 后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于 1h 追上甲，最慢不晚于 1h15min 追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？3. 从甲地到乙
6、地的路有一段上坡、一段平路与一段 3 千米长的下坡，如果保持上坡每小时走 3 千米，平路每小时走 4 千米，下坡每小时走 5 千米，那么从甲到乙地需 90 分，从乙地到甲地需 102 分。甲地到乙地全程是多少？4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点 50 米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地 100 米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.5. 两列火车同时从相距 910 千米的两地相向出发,10 小时后相遇,如果第一列车比第 1 二列车早出发 4 小时 20分,那么在第二列火车出发 8 小时后相遇,求两列火车的速度.6. 某班
7、同学去 18 千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至 A 处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是 60 千米/时,步行速度是 4 千米/时,求 A 点距北山站的距离.7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走 15 千米，则可提前 24 分钟到达某地；如果每小时走 12 千米，则要迟到 15 分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？- 5 -总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。 一只船在河中航行，水速为每小时 2 千米，它在静水中航行每小时
8、 8 千米，顺水航行每小时行多少千米？逆水航行每小时行多少千米？顺水航行 50 千米需要用多少小时？练习： 1.某船在静水中的速度是每小时 7 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么它逆水中的速度是多少？若逆水航行 3 小时，可航行多少千米？2. 某船顺水速度是每小时 17 千米，逆水航行速度是每小时 10 千米，那么此船的静水速度是每小时多少千米？水流速度是每小时行多少千米？3. 两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。- 6 -二、 工程问题三个基本量的关系：工作总量工作时间工作效率； 工作时间工作总量工作效率；工作效
9、率工作总量工作时间 甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1” 。一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用
10、线段图或列表法进行分析。- 7 -【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 1. 现要加工 400 个机器零件，若甲先做 1 天，然后两人再共做 2 天，则还有 60 个未完成；若两人齐心合作 3天，则可超产 20 个.问甲、乙两人每天各做多少个零件2. 某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测 30 台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的七分之三；现在每天实
11、际检测 40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测 25 台.问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？3. 甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时甲先花了 1 小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工 10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了 10 件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？- 8 -4.一项工程，甲单独做 12 天完成，乙队单独要做 15 天完成，丙队单独要 20 天完成，按计划要求在 7 天内完成，现在甲乙先合作若干天，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务。甲乙两队合做了多少天？丙队做了多少天？5. 甲乙两
12、个车间原计划装车床 180 台，甲车间完成计划的 112% ，乙车间完成了计划的 110% ，这样共装机床200 台，两车间各比计划多完成多少台？6. .某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售每吨获利（元） 100 250 4507. 现在该公司收购了 140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬菜 16 吨（两种加工不能同时进行） （1）如果要求在 18 天内全部销售完这 140 吨蔬菜，请完成下列表格：8. 销售方式 全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加
13、工，要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？- 9 -三：商品销售利润问题利润问题：利润=售价 进价，利润率=（售价 进价）进价100%有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？ 【变式】1. 某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件） 1200 1000售价（元/件） 1380 1200求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；3. 一.种饮料大小
14、包装有 3 种，1 个中瓶比 2 小瓶便宜 2 角，1 个大瓶比 1 个中瓶加 1 个小瓶贵 4 角，大、中、小各买 1 瓶，需 9 元 6 角。3 种包装的饮料每瓶各多少元？- 10 -3.我校七年级(1)班 55 名同学共捐款 830 元，捐款情况如右表表中捐款 2 元和 5 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由4. 甲乙两种商品的进价和是 100 元，为促销而打折出售，若甲商品打 8 折，乙商品打 6 折，可赚 50 元，若甲商品打 6 折，乙商品打 8 折可赚 19.5 元，求甲乙两种商品原定价各是多少元。5.甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50利润定价，乙服装按 40的利润定价在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？6.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和是 200 元，现因市场销售情况的变化，甲商品商品降价 15%，乙商品单价提高了 40%，调价后，两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了 12.5%。甲乙两种商品原来的单价各是多少?捐款 10 15 30 50人数 18 4
