1、二次根式的知识点汇总知识点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。知识点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，
2、即 0（ ）。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（ ） 的性质（ ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六： 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；
3、在 中，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时，无意义，而 .知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开
4、方数并将运算结果化为最简二次根式 ab= （a0，b0）； ba（b0，a0 ）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【例题精选】二次根式有意义的条件：例 1：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。 ；）（；）（；）（ 2131233x解：（1）要使 有意义，必须 ，由 得 ，0x320x32当 时，式子 在实数范围内有意义。x323（2）要使 有意义， 为任意实数均可，1x1当 x 取任意实数时 均有意义。3（3）要使 有意义，必须2x02的范围内。x11且 ， 但 不 在当 时，式子 在实数范围内有意义。2且
5、 x2小练习：（1）当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？31（2）当 x 是多少时， + 在实数范围内有意义？ x（3）当 x 是多少时， +x2 在实数范围内有意义？（4）当 时， 有意义。_1xx2. 使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)A0 B1 C2 D无数3已知 y= + +5，求 的值xy4若 + 有意义，则 =_32x5. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm最简二次根式例 2：把下列各根式化为最简二次根式：（ ） ，（ ）（ ） ，196024753103234abcab分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数
6、中不含能开得尽方的因数或因式。解： （ ） ，96164032ababab01521253 61723740742443 bacbacb，）（ ）（同类根式：例 3：判断下列各组根式是否是同类根式： 438516751；）（ 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： （ ） ；175257是 同 类 二 次 根 式，；43852167579348243166分母有理化：例 4：把下列各式的分母有理化： ；）； （）（ 23521分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化
7、，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如 与 ， 均为有理化因式。253与解： （ ）（ ）12214653532150求值：例 5：计算： 3125481）（ ）（分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 （ ）32323563023102165352） 原 式（化简：例 6：化简：baba4241）（分析：应注意（1）式 ，（2） ，所以0， a0， 可看作 可利用乘法公式来进行化简，ab22， ab4b2
8、4使运算变得简单。解： （ ） 原 式122ababa42例 7：化简练习：解：236201）（ ）（ st （ ）103ststststst3200， 而， 即原 式 |（ ） ， 而原 式2630062365化简求值：例 8：已知： 求： 的值。2323ba， ab3分析：如果把 a，b 的值直接代入计算 的计算都较为繁琐，应另辟蹊ab3，径，考虑到 互为有理化因子可计算 ，然后将求值32与 ab， 式子化为 的形式。与 解： abab323214，ab32214314321458()将 与 的 值 代 入 ，得 ： 小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径
9、，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例 9：在实数范围内因式分解： 来源:学*科*网 Z*X*X*K2x24；【提示】先提取 2，再用平方差公式【答案】 2（ x ）（ x ） x42 x23【提示】先将 x2看成整体，利用 x2 px q（ x a）（ x b）其中a b p， ab q 分解再用平方差公式分解 x23【答案】（ x21）（ x 3）（ x ）例 10、综合应用：如图所示的 RtABC 中，B=90 ，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速
10、度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【专项训练】： 一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。1、 成立的条件是：a12A B C Daa1a1BACQP2、把 化成最简二次根式，结果为：7A B C D32969393、下列根式中，最简二次根式为：A B C D4xx24x()x424、已知 t1，化简 得：112ttA B C2 D025、下列各式中，正确的是：A B772.C D2 06、下列命题中假命题是：A设 B设xx02， 则 xx12， 则C设 D设2， 则 02， 则7、与 是同类根式的是
11、：23A B C D503218758、下列各式中正确的是：A B223C D343axax1790三、1、化简 a3242、已知： 求：xy13123， xy225拓展训练一、 分式，平方根，绝对值；1. 成立的条件是_22)(a2 当 a_时， ；当 a_时， 。112a3 若 ，则 _；若 ，则 _。a2 a24 把 根号外的因式移入根号内，结果为_。1x5 把-3 根号外的因式移到根号内，结果为_。3a6 xy，那么化简 为_2)(yxy10.若 与 是同类二次根式，则 a=_，b=_。a+b4b 3a b11.求使 为实数的实数 的值为_。12a二、根式，绝对值的和为 0；1. 若
12、=0，则 =_。22)3()5(ba2b2. 如果 求 的算术平方根。aa6.在 ABC 中，a，b，c 为三角形的三边，则=_。2)(7.已知。22,2181 xyxyxy8.如果 ，则 =_。三、分式的有理化1、已知 x= ,y= ，求 x2y 2 的值。5.已知 ，求下列各式的值；3,3x ；y2 ；3x ;2+2四、整数部分与小数部分1. 的整数部分是_，小数部分是_。4.已知 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。321xxaba2五、 根式，分式的倒数；1.已知 x =4,求 x 的值。1x 1x3. 若 的值；2 192+1=0，求 4+14六、转换完全平方公式；1.已知 ，求 的值ab245ab323.已知 x，y 是实数， ，若 axy-3x=y，求 a 的值；3+4+26+9=05、已知 0 x1，化简： )1(2x4)1(2x6、化简：1、 ； 2、 ；273七、技巧性运算1. 98143121 2、计算 的结果是_5721n4、已知 ， ，那么 的值是abbc3abcabc2_5、已知 那么 的值是_xyxy95295， xy6、已知 ，求 的值1， 22
