上海初二八年级上数学知识点详细总结.docx

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1、1数学 (八年级上册)知识点总结第一章 实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如 等;32,7(2)有特定意义的数,如圆周率 ,或化简后含有 的数,如 +8 等;3(3)有特定结构的数,如 0.1010010001等;(4)某些三角函数值,如 sin60o等二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 就

2、叫做 a 的算术平方根。特别地,0 的算术平方根是 0。表示方法:记作“ ”,读作根号 a。a性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。2、平方根:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(或二次方根) 。表示方法:正数 a 的平方根记做“ ”,读作“正、负根号 a”。性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。开平方:求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方。0a注意: 的双重非负性:03、立方根一般地,如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(或三次方

3、根) 。2表示方法:记作 3a性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。注意: ,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33三、二次根式计算1、含有二次根号“ ”;被开方数 a 必须是非负数。2、性质:(1) )0()(2a)((2) 2)0(a(3) ( ),bab )0,(bab(4) ( ))0,(,3、化简二次根式:把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例:。(字母因式由根号内移到根号外时,必须考虑字母因式隐含的符218号)4、最简二次根式:化简后的二次根式需同时符合以下两个条件:被开方数中各因式的指数都为 1;被开方数不含分母。这样的二次根式叫

4、做最简二次根式。将一个二次根式化成最简二次根式,有以下两种情况:如果被开方数是分式或分数(包括小数) ,先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式,然后再分母有理化;如果被开方数是整式或整数,先将它分解因式或分解质因数,然后把能开方的因式或因数开出来,从而将式子化简。化二次根式为最简二次根式的步骤:把被开方数分解质因数,化为积的形式;把根号内能开方的的因数移到根号外;化去根号内的分母,若被开方数的因数中有带分数要化成假分数,小数化成分数。5、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式是同类二次根式。例: 、 、 。 (判断是不是同类二次根式:首1821

5、先,要看它们是不是最简二次根式;其次,看这些最简二次根式的被开方数是否相同)6、二次根式的加法、减法:化简,化成最简二次根式;合并同类二次根(即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并)7、二次根式的乘法、除法:先完成根号内乘除,再化简二次根式;小数化分数,3带分数化假分数;字母需考虑取值范围(不要忽视隐含条件) 。8、分母有理化:把分子和分母都乘以一个适当的代数式,使分母不含根号,这种计算叫做分母有理化。第二章 一元二次方程1、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的整式方程。2、一般式: )0(2acbXa3、一元二次方程的解法:1、开平方法:一般来说,形如 、 的一元二次方程可以用

6、开平d2 )0(2acX方法。 (三种情况:有两个不相等的实数根,等于 0,没有实数根)2、因式分解法:提取公因式、公式法(平方差、完全平方公式) 、十字相乘法、分组分解法。3、配方法:移常数项;化二次项系数为 1;配方,在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;用开平方法求解;结论。4、公式法:先把方程化为一般形式;写出方程各项的系数 a、b、c 的值(要注意它们的符号) ;计算 ;当 时,将 a、b、c 的值代入求根公式,求出方acb42042acb程的两个根;当 0y0 x 图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而

7、减小K0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大;(2)当 k0 时,y 随 x 的增大而增大(2)当 k0 时,y 随 x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 (k 0)中的常数 k。确xy定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 (k 0)中的常数 k 和 b。解这类bxy问题的一般方法是待定系数法。待定系数法:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。(1) 一次函数与一元一次方程:从“数”的角度看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值为 0。(2) 求 ax+b=0(a, b

8、是常数,a0)的解,从“ 形”的角度看,求直线 y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标。(3) 一次函数与一元一次不等式:解不等式 ax+b0(a,b 是常数,a0) 。从“数” 的角度看,x 为何值时函数 y= ax+b 的值大于 0。 (4)解不等式 ax+b0(a ,b 是常数,a0)。 从“ 形”的角度看,求直线 y= ax+b 在 x 轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围。7、一次函数与一元一次方程的关系:任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b 为常数,k0)的形式 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b(k、b 为常数,k0) 当函数值为 0 时,即 kx+

9、b=0 就与一元一次方程完全相同结论:由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0(k、b 为常数,k0)的形式所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为 0 时,求相应的自变量的值从图象上看,这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值7、反比例函数定义:一般地,形如 ( 为常数, )的函数称为反比例函数。xkyok还可以写成xky1反比例函数解析式的特征:等号左边是函数 ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 (也叫y k做比例系数 ) ,分母中含有自变量 ,且指数为 1.kx7比例系数 0k自变量 的取值为一切非零实数。x函数 的取值是一切非零实数。y反比例函数的图

10、像图像的画法:描点法 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) 描点(有小到大的顺序) 连线(从左到右光滑的曲线)反比例函数的图像是双曲线, ( 为常数, )中自变量 ,xky0k0x函数值 ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐0y渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 或 ) 。xy反比例函数 ( )中比例系数 的几何意义是:过双曲线 xkykxky( )上任意引 轴 轴的垂线,所得矩形面积为 。0k k反比例函数性质如下表:的取值 图像所在象限 函数的增减性ok一、三象限 在每个象限内, 值随 的增大而减小

11、yx二、四象限 在每个象限内, 值随 的增大而增大反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 )k“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。xy第四章 几何证明一、几何证明中常用的证明方法:1、证明两直线平行利用平行线的性质和判定,利用平行线的判断定理及其推论来证明,这是证明两直线平行最基本的方法,关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。 2、证明两线段相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定 ( 1)如果两线段分别在两个三角形中,那么可证这两个三角形

12、全等,有时可能缺少直接条件,要证明两次全等; (2)有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等 ,那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有:平行线、垂线、中线、连结线段等。 (3)如果两线段是一个三角形的两边,可证它们所对的角相等、等角对等边; (4)证明两条线段都等于第三条线段,即以第三条线段为媒介。 3、证明两角相等利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 4、证明两直线互相垂直利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。*5、证一线段等于另一线段的 2 倍或一半利用加倍法或拆分法 常常要作辅助线。添辅助线:由于证明的需要,可以在原来的图上添画一些线,即添

13、加辅助线来完成一些几何证明,辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法:利用三角形的主8要线段构造全等三角形 。二、全等三角形1、定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。(2):全等三角形的周长相等、面积相等。(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全

14、等(可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等的基本思路:方 法 指 引证 明 两 个 三 角 形 全 等 的 基 本 思 路 :( 1) : 已 知 两 边 -找 第 三 边 (SSS)找 夹 角 ( SAS)(2):已 知 一 边 一 角 -已 知 一 边 和 它 的 邻 角找 是 否 有 直 角 (HL)已 知 一 边 和 它 的 对 角找 这 边 的 另 一 个 邻 角 (ASA)找 这 个 角 的 另 一 个 边 (SAS)找 这 边

15、 的 对 角 (AAS)找 一 角 (AAS)已 知 角 是 直 角 , 找 一 边 (HL)(3):已 知 两 角 - 找 两 角 的 夹 边 (ASA)找 夹 边 外 的 任 意 边 (AAS)练 习三、勾股定理1、勾股定理的定义直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 22cba2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 ,那么这个三角形是直角三角形。22ba3、勾股数:满足 的三个正整数,称为勾股数。22几何主要定义:(1)角9角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。(2)相交线与平行线同角或等角的补

16、角相等,同角或等角的余角相等;对顶角的性质:对顶角相等垂线的性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;线段垂直平分线定义:过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线;线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线;平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;平行线的特征:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;平行公理:经过直线外一点有

17、且只有一条直线平行于已知直线。(3)三角形三角形的三边关系定理及推论:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于;三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;三角形的外角和定理推理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;角形的三条角平分线交于一点(内心) ;三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心) ;10三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;全等三角形的判定:边角边公理(SAS)角边角公理(ASA)角角边定理(AAS)边边边公理(SSS)斜边、直角边公理(HL)等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形;直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互为余角;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) ;直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形;如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理) 。公式:

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