1、11987-2005 年考研线性代数试题汇编题后方括号内的数字分别表示数学（一） ，数学（二） ，数学（三） ，数学（四） 。例如一，二表示此题在数学（一） ，数学（二）中均有。1987 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）设三维向量空间的一组基底为 = （1，1， 0） ， = （1，0，1） ， = （0，1，1） ，23则向量 = （2，0，0）在此基底下的坐标是 。二 选择题（每小题 3 分）（1）设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 且|A| = a 0，则| | = 。AA（A）a (B) (C) a (D) a 11nn三 本题满分 4 分设 AB = A+2B，且 A = ，求
2、 B。4103四 本题满分 8 分问 a, b 为何值时，线性方程组 无解，有唯一解，有无穷多解；并求12343124321axxb)(0有无穷多解时的通解。1988 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）由 4 维列向量构成 4 阶方阵 A =（ ） ，B =（ ）且|A| = 4，|B| = 432,432,1，则|A+B| = 。二 选择题（每小题 3 分）（1） n 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是 。21,.2（A）存在一组不全为零的数 使 0,k.,s21 s21k.（B） 中的任意两个向量均线性无关s21,.（C） 中存在一个向量不能用其余向量线性表示s（D） 中的
3、任意一个向量都不能用其余向量线性表示s21,.三 （本题满分 6 分）设 AP=PB 且 B= ，P= ，求 。101205A,四 （本题满分 8 分）设 A = 与 B = 相似，求（1）x,y 的值；（2）满足 的可逆阵x1020y BAP1P。1989 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）设矩阵 A= ，I= ，则逆矩阵 = 。 一041101)2IA(二 选择题（每小题 3 分）（1）设 A 是 4 阶矩阵，且 A 的行列式|A|= 0，则 A 中。（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）有一列向量是其余向量的线性组合（D）任一列向量是其余向量的线性组合 一三
4、（本题满分 6 分）问 为何值时，线性方程组3有解，并求出解的一般形式。 一3246321xx四 （本题满分 8 分）假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明（1） 为 的特征值；1（2） 为 A 的伴随矩阵 的特征值。 一 | *1990 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）已知向量组则该向量的秩是。 一二 选择题（每小题 3 分） ),7654(),3(),542(),31( （1）已知 是非齐次线性方程 AX=b 的两个不同的解， 是对应的齐次线性方程组21, 21AX=0 的基础解系， 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解（一般解）必是。k（A） 2)(1121（B） )
5、(12121k（C） )(212121（D） 一)(212121k三 本题满分 6 分设四阶矩阵 B= ，C= ，且矩阵满足关系式10201344E，其中 E 为四阶单位矩阵， 表示 C 的逆矩阵， 表示 C 的转置矩阵，T1C)BE(A1T将上述关系式化简并求矩阵 A。 一四 （本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型 为标准型。 一3231212321 844xxxf 1991 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）设 4 阶方阵 A= ，则 A 的逆阵 =。 一10251二 选择题（每小题 3 分）（1）设 n 阶方阵 A，B，C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则
6、必有。（A）ACB=E （B）CBA=E（C） BAC=E （D）BCA=E 一三 （本题满分 8 分）已知 。),b,)a,(),a,(),(),( 53184211531201 4 （及 （1） a,b 为何值时， 不能表示成 的线性组合？32（2） a,b 为何值时， 有 的唯一的线性表示式？并写出该表示式。4321,四 （本题满分 6 分）设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1。 一1992 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）设 其中 0, 0(i , j=1,2,n),则矩阵 A 的秩 r(A)=。 一,)ba(jinAiajb二 选择题
7、（每小题 3 分）5（1）要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为。T2T1 )1,0(s,)(s（A） （B）2 102（C） （D） 一10 04三 （本题满分 7 分）设向量组 线性相关，向量组 线性无关，问：321, 432,（1） 能否由 线性表示？证明你的结论；（2） 线性表示？证明你的结论。 一3214，能 否 由四 （本题满分 7 分）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 ，对应的特征向量依次为 ，对3,2,1 321,应的特征向量依次为 ，又向量 。TTT1 914),()(),( T)3,(（1）将 线性表示；（2）求 （n 为自然数） 。 一3,用 A1993
8、 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1,则线性方程组 AX=0 的通解为。 一，二二 选择题（每小题 3 分）（1）已知 Q= ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ=0,则。96421t（A） t=6 时 P 的秩必为 1 （B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1 （D） t6 时 P 的秩必为 2 一，二三（本题满分 8 分）6已知二次型 通过正交变换化成标准型)a(xx)x,(f 0232321321 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵。 一，二3215yyf四（本题满分 6 分）设 A 是 矩
9、阵，B 是 矩阵，其中 ,I 是 n 阶单位矩阵，若 AB = I,证明 B 的列向mnnm量组线性无关。 一，二五（本题满分 5 分）已知 的两个基为：3R求由基 的过渡,34,2,1;0,1,321 321321,，到 基矩阵。 二1994 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1）已知 设 ,其中 =。),12(),1(TAnAT的 转 置 ， 则是 二 选择题（每小题 3 分）（1）已知向量组 线性无关，则向量组。421,（A） 线性无关1321, （B） 线性无关4,（A） 线性无关1321,（A） 线性无关 一4,三 （本题满分 8 分）设四元组线性齐次方程组（I）为 ，又已知某线性
10、齐次方程组（）的通解为0421x。),(k),(k12017（1） 求线性方程组（I）的基础解系；（2） 问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？ 若有则求出所有的非零公共解；若没有则说明理由。 一四 （本题满分 6 分）设 A 是 n 阶非零方阵， 是 A 的伴随矩阵， 是 A 的转置矩阵，当 时，证明* T T*A|A|0。 一1995 年试题一 填空题（每小题 3 分）（1） 设三阶方阵 A,B 满足关系式 ，且 A= ，则 B=。BA61 71043一 二（2）设 A= , 是 A 的伴随矩阵，则 。 四，五543021* 1*)A(二 选择题（每小题 3 分）（1）设 A= ，
11、B= ， ，32311a 13123132aa10P，则必有。01P2（A） （B）BP21PA12（C） （D） 一，二（2）设矩阵 的秩为 为 m 阶单位阵，下属结论中正确的是。nmnI,)(R（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关8（B）A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可化为 的 形 式O)(Im（E）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解 四，五三 （本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 ，求T11321 ),0(, s的 特 征 向 量 为对 应 于 A。 一，二四 （本题满分 6 分）设
12、 A 是 n 阶矩阵，满足 的转置矩阵） ，|A|0，求|A+I|。 AnITT是阶 单 位 阵 ，是（一，二五（本题满分 7 分）设 问 a 为何值时方程组有解？并在有解时求出方程组得通解。 二321413xa六 （本题满分 8 分）对于线性方程组 ，讨论 取何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷2312x多组解。在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。 四七 （本题满分 8 分）设三阶矩阵 A 满足 其中列向量 ，),321(ii TTT )2,1(,)12,(,)321(32试求矩阵 A。 四八 （本题满分 9 分）已知向量组（I） （II） （III） ，如果各向量组的
13、秩分;,321 ;,4321 5321,别为 R（I）=R（II）=3，R（III）=4。证明：向量组 的秩为 4 。 五45321,九 ( 本题满分 10 分)已知二次型 323121232321,( xxxxf 9（1） 写出二次型 f 的矩阵表达式；（2） 用正交变换把二次型 f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵。 五1996 年试题一 填空题(每小题 3 分)（1）设 A 是 矩阵，且 A 的秩 ，而 B= ,则 r(AB)=。 一，二42)(r 3012（2）设 A= ，X= ，B= ，其中 11321 22231. .1.nnn naanxx.321. ,(i j;i,j=1,2,
14、n),则线性方程组 的解是。 iaj BXAT四（3）五阶行列式 D= =。aa1010二 选择题（每小题 3 分）（1） 四阶行列式 的值等于。4432110bab（A） 321321a（B） 44（C） )(321bb（D） 一，二4132aa（2）设 n 阶矩阵 A 非奇异（n2）, 是矩阵 A 的伴随矩阵，则。*（A） （B）|)(1*n |)(1*n10（C） （D） 四，五A|)(2*n A|)(2*n（3）设有任意两个 n 维向量组 若存在两组不全为零的数,.,.m11，和，使 ，则mk,.,.21m1和 0)k(.)k()k()k( m111 。（A） 都线性相关11.,.，和
15、（B） 都线性无关m，和（C） 线性无关m11,.,. （D） 线性相关 四，五m三 （本题满分 6 分）设 ，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， 时，A 是不可逆矩TIAss1Ts阵。 一，二四 （本题满分 8 分）已知二次型 的秩为 2。3231212321321 65),( xxcxxf （1） 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；（2） 指出方程 表示何种二次曲线。 一，二),(321f五（本题满分 6 分）求齐次线性方程组 的基础解系。 二0x543321六 （本题满分 8 分）设矩阵 A= 210y（1） 已知 A 的特征值为 3，试求 y；（2） 求矩阵 P，使 为对角矩阵。 四)P(T七 （本题满分 8 分）
