1、第二章 一维波动方程的分离变量法第 1 页 共 20 页数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章 一维波动方程的分离变量法2第二章 一维波动方程的分离变量法引 言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。2.1 齐次方程混合
2、问题的 Fourier 解2 .1 .1 定解问题考虑长为 ，两端固定的弦的自由振动l200,txtuaxltlul 其中 ， 为已知函数。x分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数 实现了变ixtixtyaeeXTt量分离。于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即 ,uxtXTt首先：将 代入齐次方程，得 。所求特解应,uxt 2axTt为非零解，于是 ， 不解为零。两边同除以 ，有XTt 21tXxa等式左端只是 的函数（与 无关） ，等式右端只是 的函数（
3、和 无关） ，于是tx t左右两端要相等，就必须共同等于一个既与 无关，又与 无关的常数。设为xt第二章 一维波动方程的分离变量法3，有， 20Ttat 0Xx能分离变量的关键：方程是齐次方程。其次： 将 代入边界条件： ，,uxt TtlTt这时必须有 ， 0X0lt能分离变量的原因：边界条件是齐次边界条件。最后：就完成了用分离变量法求解泛定方程（数理方程）的第一步。总结：分离变量目标：分离变量形式的非零解 ,uxtXTt结果：函数 满足的常微分方程和边界条件以及 满足的常微Xx t分方程。， ， 00Xl条件：泛定方程和边界条件都是齐次的。第二步：求解本征值问题分析：关于 的常微分方程的定
4、解问题Xx特点：微分方程中含有特定常数 ，定解条件是一对齐次边界条件。并非对于任何 值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解；只有当 取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解 。Xx定义： 的这些特定值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。函数的常微分方程定解问题，称为本征值问题。Xx. 若 ， 特征方程为 ，则 。0 0Xx20通解为 。12xxCe利用边界条件： ，则 0X1200XC第二章 一维波动方程的分离变量法4 ， 则0Xl120llXlCe若齐次方程 数列式 ，则只有零解。10llllee lle， 10C2C结论： 不是本征值。. 若 ，则 ,
5、 通解为 00XxXxAB利用边界条件： ，则 。 A ， 则 。 0Xl0B方程只有零解，所以 不是本征值。. 若 ，则 ，特征方程为xX20通解为 sincosXxAB利用边界条件： ，则 00 ， 则 ，XlsinAl因为 ，所以 。即本征值 ， 0Al2nl1,3n， ， 无穷多个21l2l相应的本征函数就是 。sinXxl这样求得的本征值有无穷多个，于是将本征值，本征函数记为 , 。nXx第三步：求特解，并叠加出一般解。求得本征值问题后，对每一个本征值 的方程 ，可以求n20Ttat第二章 一维波动方程的分离变量法5得相应的 。nTt2nl2 0aTtTtl，其中 ， 为任意常数，也
6、得到了满足泛cossinnaTCtDtllnCD定方程和边界条件的特解为，,cssisinnnauxtttxlll1,23n过程说明：1.这样的特解有无穷多个。2.每一个特解都满足齐次方程，齐次边界条件。3.一般说来，单独任何一个特解不可能也恰好满足定界问题中的初始条件。即一般无法找到常数 ， ，满足nCD， 。sinxlcosnaxll4.偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的任意有限个特解叠加起来，仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解，是否满足初始条件？5.把全部无穷多个特解叠加起来 1,cossinsit naauxCtDtxlll只要函数有足够的收敛性（如可以逐项求二阶偏微商） ，则这
7、样得到的仍然是齐次 在齐次边界条件的解。这种形式的解称为一般解。不 于 ,uxt的通解，因为一般解不只是满足偏微分方程，而且满足齐次边界条件。如何选择一般解中的叠加系数 和 ？nCD， 1sinCxl1cosnaxll第四步：利用本征函数的正交性定叠加系数。第二章 一维波动方程的分离变量法6理论依据：本征函数的正交性 ， 。00lnmXxdn在 两端同除以 ，逐项积分有1sinCxlsixl001iinil ldCdlll 01sinilnmCxdl201silnx012colnlx012co2lnCxd1si02nnlllC 2nC0silnxdl同理，由 ，两边同乘以 并积分会1sinal
8、linmxl02silnDxdll则 nla这样，由初始条件中的 和 ，就可得到叠加系数 和 ，从而求xnCD得了整个问题（定解问题）的解。本征函数正交性说明：定解问题边界条件为一，二，三类三种类型时，本征函数正交性， ，均成立。00lnmXxdn2.1.2 小结：1 利用分离变量求数理方程定解问题的步骤 分离变量条件：方程，边界条件均是齐次的。结果：一个或多个含有待定常数的齐次 ，齐次边界条件 求解本征值问题求出全部特解，并进一步叠加出一般解。第二章 一维波动方程的分离变量法7 利用本征函数正交性定叠加系数。严格的说，上面得到的还只是形式解，对具体问题，还须验证 ，xx就非常重要。2 分离变
9、量法成功的条件（理论上）：本征问题有解。定解问题的解一定可按本征函数展开（本征函数的全体是完备的） ，也叫 Fourier 解法。本征函数一定只有正交性。2.1.3 分析解答解的物理意义特解,cossinsinnaauxtCtDtxlllsinsinAtx其中 ， ， ，nlnlconnDinC 代表一个驻波（standing wave） ，弦两端固定，自由振动会形成,nuxt驻波（）正波： 1cos2txuAT反波： 2t驻波 12cosstxuATTtXx ：弦上各点的振幅分布。sinAx ：相位因子t ：驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，于初始条n第二章 一维波动方程的分
10、离变量法8件无关。 ：波数，单位长度上波的同期数n ：初相位，由初始条件决定在 ，即 ， 的各项上，振动的振幅为 ，nxmnmxl0,12n 0称为波节。包括弦的两个端点在内，波节共有 个。在 ，即 ， 的各12nxm212nmlx0,12mn点上，振动振幅的绝对值恒为最大，称为波峰，波峰共有 个。n整个问题的解是这些驻波的叠加。因而分离变量法也叫驻波法。就两端固定的弦来说，固有频率中有一个最小值，而 ，称为基频。1al其它固有频率都是 的整数倍。 ， ，称为倍频。11n2,3基频决定弦所发声音的音调。 ，当弦的质料一定即 一定时，通过改变弦的 ,就可调节 。T1解中基频和倍频的叠加系数 和
11、的相对大小决定了声音的频谱分布nCD（音色） 。和数 与弦的总冲量成正比，决定了声音的 度。21nnC弦的总冲量 是经两端反射的能。22001l luudxTdxt附：1 分离变量法总结：定解条件是思想，边界条件齐次化。四个步骤循序解，特征值问题是关键。第二章 一维波动方程的分离变量法92 本征函数正交性： ，00lnmXxdn0sii2l mll即 20sinl lxd一个正弦或余弦平方的任意多个全周期的积分等于该区间长度的一半。例 1.用分离变量法求解混合问题 200,sin2,00txtuaxltltlluxxx分析：解：1.分离变量。 设 ，代入泛定方程有,uxtXTt2 0XxTta
12、xTt两边同时除以 有t 2xat即 20TatXx2. 解本征值问题 00xXl若 ，特征方程 ， .则0212xxXCe120C第二章 一维波动方程的分离变量法101200llXlCe1lllle ， ，于是 不是特征值。1020若 ,则 ，通解为XxXxAB,B0lA也不是特征根。若 ，则 ，特征方程为 0Xx20通解为 sincosABx0，Xlsin0lAln2l1,2n故 本征值为2nl本征函数为 ， sinXxl1,2n3 求特解，并叠加出一般解对每一个 ，有 ，n20Ttat2 0naTtTtl，其中 ， 为任意常数。cossinnnTtCtDtllnCD泛定方程的特解是，,cssisinnnaauxtttxlll1,2n本征解的叠加，得一般解为
