1、统计学 第十一章 时间序列分析第 1 页目 录第十一章 时间序列分析 _2第一节 时间序列的有关概念 _3一、时间序列的构成因素 _3二、时间序列的数学模型 _4第二节 时间序列的因素分析 _4一、图形描述 _4二、长期趋势分析 _5三、季节变动分析 _8四、循环波动分析 _12第三节 随机时间序列分析 _14一、平稳随机过程概述 _14二、ARMA 模型的识别 _15三、模型参数的估计 _19英文摘要与关键词 _21习 题 _21统计学 第十一章 时间序列分析第 2 页第十一章 时间序列分析通过本章的学习，我们应该知道：1.时间序列的数学模型及含义2.如何进行长期趋势分析3.如何进行季节变动
2、分析4.如何进行循环变动分析5.ARMA 模型的识别与参数估计统计学 第十一章 时间序列分析第 3 页时间序列分析是一种广泛应用的数量分析方法，主要用于描述和探索现象随时间发展变化的数量规律性。时间序列分析通常分传统的时间序列分析与现代的时间序列分析两种，前者研究各种时间序列因素分解以及长期趋势、季节变动、循环变动三要素的分析；后者则主要研究 AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。第一节 时间序列的有关概念任何事物都处于不断的运动和发展变化中，为探索现象发展变化的规律性，我们需要观察现象随时间变化的数量特征。我们把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序将排列起来形成的数列，称为时间序列，第
3、二章我们提供的数据集 01 和数据集 04 也都属于时间序列。表 11.1 是从数据集摘录的部分数据。表 11.1 中国 1992-2002 年的四个指标年份 国内生产总值 (亿元) 人均国内生产总值 (元/人) 年末总人口 (万人) 人均粮食产量 (公斤)1992199319941995199619971998199920002001200226638.134634.446759.458478.167884.674462.678345.282067.589468.197314.8104790.62287293939234854557660546038655170867651818411717
4、1118517119850121121122389123626124761125786126743127627128453379.97387.37373.46387.28414.39401.74412.42405.55366.04355.89356.97可见构成时间数列包含两个基本要素：现象所属的时间及与时间所对应的指标值。一、时间序列的构成因素事物的发展受多种因素的影响，时间序列的形成也是多种因素共同作用的结果，在一个时间序列中，有长期的起决定性作用的因素，也有临时的起非决定性作用的因素；有可以预知和控制的因素，也有不可预知和不可控制的因素，这些因素相互作用和影响，从而使时间序列变化趋势呈现
5、不同的特点。影响时间序列的因素大致可分为四种：长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动。1. 长期趋势（Trend）长期趋势是指现象在相当长的一段时期内，受某种长期的、决定性的因素影响而呈现出的持续上升或持续下降的趋势，通常以 T 表示。如中国改革开放以来国内生产总值持续上升。2. 季节变动（Seasonal variation ）季节变动是指现象在一年内，由于受到自然条件或社会条件的影响而形成的以一定时期为周期(通常指一个月或季)的有规则的重复变动，通常以 S 表示。如时令商品的产量与销售量，旅行社的旅游收入等都会受到季节的影响。应注意的是在这里提到的“季节”并非通常意义上的“四季” ，季节
6、变动中所提及的主要指广义的概念，可以理解为一年中的某个时间段，如一个月，一个季度，或任何一个周期。3. 循环变动（Cyclical variation）循环变动是指现象持续若干年的周期变动，通常以 C 表示。循环变动的周期长短不一，没有规律，而且通常周期较长，不像季节变动有明显的变动周期(小于一年) 。循环变动不是单一方向的持续变动，而是涨落相间的交替波动。如经济周期。4. 不规则变动（Irregular Random variation ）不规则变动是指现象由于受偶然性因素而引起的无规律、不规则的变动，如受到自然灾害等不可抗统计学 第十一章 时间序列分析第 4 页力的影响，通常以 I 表示，
7、这种变动一般无法作出解释。二、时间序列的数学模型时间序列各影响因素之间的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成时间序列的分解模型，我们可以从时间序列的分解模型中将各因素分离出来并进行测定，了解各因素的具体作用如何。通常我们采用加法模型和乘法模型来描述时间序列的构成。加法模型的表达式为：Y=T+S+C+I，式中 Y 表示时间序列的指标数值， T、S 、C 、I 分别表示长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动，使用加法模型的基本假设前提是各个影响因素对时间序列的影响是可加的，并且是相互独立的。而乘法模型的表达式为：Y=TSCI ，使用乘法模型的基本假设前提是各影响因素对时间序列的影响是相互不独立
8、的。第二节 时间序列的因素分析时间序列的形成受到多个因素的影响，影响因素可以归纳为四个方面：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。本节主要介绍前三种影响因素的测定分析方法。首先我们可以通过图形对序列的特点作初步的认识，识别其简单的统计规律一、图形描述作图是显示统计数据基本变动规律最简单、最直观的方法，下面我们先介绍几种常见的时间序列图形。1. 平稳时间序列与非平稳时间序列时间序列的平稳性是我们建模的重要前提，在检验时间序列的平稳性时，必须要考虑其均值和方差，如果一个序列的统计特性不随时间的变化而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化，那么这个时间序列为平稳时间序列，如图 11.1 所示。
9、2034056078095101520253035404505606570F图 11.1 化学反应产出量不具有平稳性即序列均值或协方差与时间有关的序列称之为非平稳序列，如图 12.2 所示。2040608010195819519601961REF统计学 第十一章 时间序列分析第 5 页图 11.2 美国电冰箱月度需求2. 仅包含长期趋势下图是我国 1992-2002 年间 GDP 的发展趋势，图形呈现持续上升趋势。图 11.3 我国 GDP 发展趋势3. 既包括长期趋势，又包括季节变动图 12.4 是根据某地区农业生产资料的季度销售额作出的，图中既有缓慢地上升趋势，又有季节的波动。图 11.4
10、 某地区农业生产资料季度销售额的波动二、长期趋势分析长期趋势是时间序列中主要的构成因素，它是指现象在一段时期内持续上升或下降的发展趋势。研究长期趋势的意义主要体现在三方面：（1）有利于认识现象随时间变化的趋势，掌握现象活动的规律；（2）有利于对现象未来的发展作出预测；（3）有利于从时间序列中剔除它的影响，进而更好地分析其他因素的影响。时间序列的长期趋势可表现为线性趋势和非线性趋势，非线性趋势可以理解为无数线性趋势的组合，在研究方法上基于线性趋势分析方法。因此本部分我们仅研究最简单、最基础的线性趋势。测定长期趋势的方法很多，常用的有移动平均法和趋势线法。（一）移动平均法（Moving Avera
11、ge Method）移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间序列的方法。由于序列平均数有抽象数量差异的作用，所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变动趋势。通过移动平均法的定义易见其核心是扩大时间间隔计算序时平均数，我们有必要更进一步的认识时间间隔的选取及新数列的形成问题。1. 时间间隔的选取应根据现象的特点和资料的情况来决定。一般来说，如果现象发展的资料呈现出统计学 第十一章 时间序列分析第 6 页一定的周期性，应以周期的长度作为移动间隔的长度
12、；如果是季节资料，应采用 4 项移动平均；如果是月份资料，应采用 12 项移动平均，只有这样才能削弱周期或季节的影响。2. 新数列中每一数值应有与之对应的时间。如果进行的是奇数项移动平均，计算的序时平均数应放在中间时期所对应的位置上，边移动边平均，每一项序时平均数都有与之对应的时间；如果进行是偶数项移动平均（如 4 项或 12 项） ，序时平均数同样也应放在中间时期所对应的位置上，但由于时间间隔为偶数，序时平均数所对应的时期应介于两个时间之间，不能构成时间序列，所以我们需要对相邻的序时平均数再进行一次平均。移动平均后得到的时间序列值又称趋势值。【例 11.1】我国 19901999 年粮食产量
13、序列见表 11.1，对其进行 3、4、5 年的移动平均，并作图观察。【解】表 11.1 移动平均数计算表作图如下：图 11.5 3、4、5 年的移动平均图示通过以上例题，我们可以发现：（1）移动平均项数越多，平均的结果越平滑；（2）新数列的项数比原数列要少。教师：Excel 的“数据分析” 功能中有“移动平均” ，但其实使用函数更为方便。无论是用手工计算还是用“移动平均”工具对于偶数项的移动平均都要进行二次平均，好烦吧？你能不4 年移动平均年份 粮食产量（万吨） 3 年移动平均 一次平均 二次平均 5 年移动平均1990 44624.0 1991 43529.0 44139.60 44516.
14、90 1992 44265.8 44481.20 44488.43 44502.66 44515.541993 45648.8 44808.23 45271.63 44880.03 44923.101994 44510.1 45606.90 46818.55 46045.09 46308.001995 46661.8 47208.47 47760.63 47289.59 47338.261996 50453.5 48844.13 49440.48 48600.55 48454.401997 49417.1 50366.70 50484.68 49962.58 49720.101998 5122
15、9.5 50495.07 1999 50838.6 统计学 第十一章 时间序列分析第 7 页能想个办法一次解决问题？（二）趋势线法趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。线性趋势方程的一般公式为：（11.1）btay式中： 表示时间序列 y 的长期趋势值；t 为时间标号；a、b 为待定参数y两个待定参数可以通过最小二乘法求出。根据最小二乘原理，对时间序列配合一条趋势线，使之满足： 。由此条件，我们可以推导出 a、b 的计算公式：min2解得：（11.2）tbyany22)(教师：这个公式是否觉得面熟？它和我们第九章中的公式（9.16）其实是一回事，只不
16、过那里的 x，这里变成了 t。最小二乘法可用来建立线性趋势方程，也可用来建立非线性趋势方程。【例 11.2】利用例 11.1 的数据，建立时间序列的直线趋势方程，并画出效果图。表 11.2 直线趋势方程计算表年份 时间标号 t 粮食产量( 万吨)y 2tty 趋势值 y1990 1 44624.0 1 44624 42968.061991 2 43529.0 4 87058 43890.231992 3 44265.8 9 132797.4 44812.41993 4 45648.8 16 182595.2 45734.571994 5 44510.1 25 222550.5 46656.74
17、1995 6 46661.8 36 279970.8 47578.911996 7 50453.5 49 353174.5 48501.081997 8 49417.1 64 395336.8 49423.251998 9 51229.5 81 461065.5 50345.421999 10 50838.6 100 508386 51267.59总计 55 471178.2 385 2667559 2222 0)()()()(intbtatyntbaytabyty统计学 第十一章 时间序列分析第 8 页【解】根据公式（11.2）计算得： tytbatnyt17.9285.4085.4205.
18、 17.923.716910)(22 作图如下：图 11.6 实际值与预测值的对比图示时间标号 t 的设定比较灵活，可以顺序设为 1，2，；也可使时间数列的中间时期为原点，使，从而方便计算，在使用这种方法时需注意：当时间序列有奇数项数值时，t 的取值为：-3，-02，-1， 0，1，2，3，当时间序列含有偶数项数值时， t 的取值为：，-5，-3 ，-1，1，3，5教师：如果大家用 Excel 中的分析工具中 “回归”来做趋势线就不需要这么麻烦了，把年份当 t 就可以了。三、季节变动分析季节变动是指现象在一定时期内形成的有规律的周期性变动，这种变动各年强度大体相同且重复出现。测定季节变动的目的
19、在于了解现象季节变动的规律，能进行预测。季节变动的测定主要是计算一系列季节指数，又称季节比率，其设计思想是：以总平均水平为对照物，用各季节的平均数与之比较，来反映季节变动高低程度。季节指数是各季(月) 平均数与全时期总平均数的比率，它由一系列数值组成，个数由资料的时间间隔决定，且季节指数之和也与所掌握资料有关。如掌握资料为月份资料，则有 12 个季节指数，季节指数之和为 1200%，如为季度资料，则有 4 个季节指数，季节指数之和为 400%。下面我们从时间序列是否包含长期趋势方面来介绍测定季节变动的方法。（一）不包含长期趋势的时间序列按季（月）平均法若时间序列中不包含长期趋势和循环变动，则直
20、接利用原序列进行同期平均和总平均，消除不规则变动，计算出季节指数，常用按季(月) 平均法。基本步骤如下：1. 计算同月（或同季）的平均数2. 计算全部数据的总月（总季）平均数3. 计算季节指数（S） 统计学 第十一章 时间序列分析第 9 页【例 11.3】美国 Magnavox 牌彩电 1976 年至 1983 年月度销售量资料如下：表 11.3 按季（月）平均法计算表年份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月 十一月 十二月 合计1976 16.1 14.4 14.2 15.1 15.5 14.3 13.8 14.7 17.2 18.4 20.2 19.9 193.81
21、977 16.2 15.0 15.1 14.2 13.4 13.7 14.5 15.6 17.5 17.9 18.7 19.0 190.81978 16.7 16.3 15.3 14.5 14.5 13.9 14.6 15.8 18.0 19.3 21.4 20.3 200.61979 17.0 17.8 16.7 16.3 15.6 15.2 15.9 17.1 18.4 20.0 21.6 19.6 211.21980 17.1 17.3 16.5 16.4 15.6 15.7 16.2 17.4 18.8 20.3 21.9 19.8 213.01981 17.4 16.1 15.2 1
22、5.4 15.0 14.3 13.2 12.8 14.2 16.3 17.8 17.5 185.21982 14.8 15.0 15.1 14.8 14.6 15.3 14.9 15.5 16.2 17.0 17.8 17.8 188.81983 13.6 13.2 12.7 13.1 13.6 13.0 14.2 14.7 15.6 17.2 18.2 18.1 177.2合计 128.9 125.1 120.8 119.8 117.8 115.4 117.3 123.6 135.9 146.4 157.6 152.0 1560.6季节平均数 16.11 15.64 15.1 14.98 1
23、4.73 14.43 14.66 15.45 16.99 18.3 19.7 19 16.26季节指数(%) 99.1 96.2 92.9 92.1 90.6 88.8 90.1 95 104.5 112.6 121.2 116.9 1200【解】（1）计算同月的平均数，计算结果见上表“季节平均数”一栏（2）计算全部数据的总月平均数，即 26.18.50（3）计算季节指数(S)，即 ，计算结果见上表 “季节指数”一栏总 平 均 数各 月 平 均 数季 节 指 数从季节指数上可以判断该彩电在九、十、十一、十二月份是销售旺季，尤其在后三个月，而六月份是销售淡季。需要注意的是，如果季节指数之和不等于
24、 400%或 1200%，就需要调整，调整的方法是首先计算调整系数，然后用调整系数分别乘以各月(季) 季节指数，即得调整后的季节指数。调整系数的公式为：各 季 季 节 指 数 之 和调 整 系 数或 ： 各 月 季 节 指 数 之 和调 整 系 数 4012（二）包含长期趋势的时间序列趋势剔除法当时间序列包含长期趋势和循环变动时，用按季平均法计算季节指数就不够准确，应采用趋势剔除法。假定时间序列各影响因素以乘法模型形式存在，趋势剔除法的基本步骤如下：1. 用移动平均法、趋势线法等方法消除季节变动（S）和不规则（I ）变动，计算出长期趋势和循环变动值(TC)；2. 再从乘法模型中剔除(TC)，从
25、而得到不存在长期趋势的(SI)，即 CTYIS3. 再用按季(月)平均法消除 I，得到季节指数。统计学 第十一章 时间序列分析第 10 页【例 11.4】我国某地区 1998-2003 年各季度的农业生产资料零售额（单位：万元）资料如表 11.4，试用趋势剔除法求季节指数。表 11.4 趋势剔除法求季节指数计算表时间 农业生产资料 零售额 Y 趋势值 T Y/T1998.1 82.40 1998.2 108.00 1998.3 99.90 94.34 105.901998.4 83.00 94.95 87.411999.1 90.50 95.75 94.521999.2 104.80 97.6
26、5 107.321999.3 109.50 99.01 110.591999.4 88.60 102.83 86.172000.1 95.80 106.96 89.562000.2 130.00 107.90 120.482000.3 117.40 107.86 108.842000.4 88.20 107.38 82.142001.1 95.90 106.75 89.842001.2 126.00 106.94 117.832001.3 116.40 108.41 107.372001.4 90.70 111.34 81.462002.1 105.20 114.71 91.712002.2 140.10 117.30 119.442002.3 129.30 118.41 109.192002.4 98.50 120.31 81.872003.1 106.30 122.94 86.472003.2 154.20 125.28 123.092003.3 136.20 2003.4 110.30
