1、第七章 非线性控制系统分析7.1 非线性系统概述 非线性系统运动的规律，其形式多样。线性系统只是一种近似描述 非线性系统特征不满足迭加原理1) 稳定性 平 衡 点 灯 可 能 有 多 个 入 有 关关 ， 而 且 与 初 条 件 ， 输不 仅 与 自 身 结 构 参 数 有2) 自由运动形式，与初条件，输入大小有关。3) 自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。自振是非线性系统特有的运动形式。4) 正弦响应的复杂性(1)跳跃谐振及多值响应(2)倍频振荡与分频振荡(3)组合振荡(混沌)(4)频率捕捉 非线性系统研究方法1) 小扰动线性化处理2) 相平面法-用于二阶非线性系
2、统运动分析3) 描述函数法-用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。4) 仿真研究-利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。常见非线性因素对系统运动特性的影响：1. 死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等) 死区对系统运动特性的影响： 动 不 大 时 ） 此 时 可 能 稳 定 （ 初 始 扰 原 来 不 稳 定 的 系 统 ，振 荡 性 声 ， 提 高 抗 干 扰 能 力差 ） ， 能 滤 去 小 幅 值 噪跟 踪 阶 跃 信 号 有 稳 态 误等 效 %(eKs可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。2. 饱和(如运算放大器，学习效率等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效
3、K ， 快 速 性差限 制 跟 踪 速 度 ， 跟 踪 误 统 最 多 是 等 幅 振 荡 ）（ 原 来 不 稳 ， 非 线 性 系振 荡 性 统 一 定 稳 定 ）原 来 系 统 稳 定 ， 此 时 系(%3. 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点-使 se2) 相当于一个延迟 时间的延迟环节, 振荡性%减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ；(2)采用双片齿轮；(3)用校正装置补偿。4. 摩擦(如手指擦纸)摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)23、 良 好 润 滑、 采 用 干 扰 补 偿、 增 加 阻 尼 ， 减 少 脉 冲
4、， 提 高 平 衡 性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性5. 继电特性：对系统运动的影响： 1)K(2 %3) se A一 、 二 阶 系 统 可 以 稳 定、 理 想 继 电 特 性 等 效 ： 一 般 地 ， 很 多 情 况 下 非 线 性 系 统 会 自 振带 死 区 )、 带 死 区 继 电 特 性 等 效 ： 快 态 影 响 （ 死 区 +饷 ） 的 综 合 效 果 振 荡 性、 一 般 继 电 特 性 ： 除 3、 2中 听 情 况 外 ， 多 出 一 个 延 迟 效 果 （ 对 稳 定 性 不 利 ）7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)1. 相平面相轨迹二阶非线性系
5、统运动方程： 定常非线性运动方程(),()xtftx即：,dxfxt()xt以 为 纵 标 ， 为 横 标 ， 构 成 一 个 平 面 （ 二 维 空 间 ）称 之 为 相 平 面 （ 状 态 平 面 ）系 统 运 动 时 ， ， 以 为 参 变 量 在 相 平 面 上描 绘 出 的 轨 迹 称 为 相 轨 迹 （ 可 以 描 述 系 统 运 动 ） 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图象。 二维空间(平面)上表示点的运动的概念，可以扩展到 N 维空间中去。状 态 ： 系 统 运 动 的 状 况状 态
6、变 量 ： 表 征 系 统 状 态 的 变 量状 态 平 面 （ 相 平 面 ） ： 由 状 态 变 量 张 成 的 平 面状 态 轨 迹 （ 相 轨 迹 ） ： 系 统 运 动 时 状 态 变 量 在 状 态 平 面 上 描 绘 出 的 运 动 轨 迹1. 相平面：由 构成的，用以描述系统运动特性的平面。,c相轨迹： 随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述-相轨迹例：系统方程为 求相轨迹方程。20nx (=)解： 2ndxxt2n21nxc22nA令得： 椭圆方程221nx系统特征方程： 20ns特征根： （中心点）1,2nj平衡点（奇点）： 0ex自控演示实
7、验 x-y 记录仪所画的相轨迹：2. 二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）自由运动方程 范围 极点位置 奇点名称20nxx0110 中 心 点 稳 定 焦 点 稳 定 节 点 不 稳 定 节 点 不 稳 定 节 点 鞍 点注：1).奇点=平衡点=各阶导数为 0 之点;2).实极点数值=特殊相轨迹的斜率;3). 右 移时 x0 左 移时 x时 一 般 垂 直 通 过例 1.系统方程为： 作相轨迹20nx解：原方程 20nddx即：-2nnxdt 横 轴 （ 平 衡 点 集 合 ） 斜 率 为 -的 直 线 族3. 利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出一类二阶非线性系统的相轨迹。例
8、2.系统运动方程： ，作出其相轨迹。0x解：原方程： (1)2解(1)： 2(1)(0sXs稳定焦点1,23.5j解(2)： ()(0ss鞍点120.6 ;1.6作图，可见初始条件0 时自由运动结果总发散（向负方向）例 3.系统运动方程： ，作相轨迹。0xsign解：原方程： 1(3)14x 平 衡 点 ： 平 衡 点 ：1 1,2 ,0(4):xsj 令令对 3都 是 中 心 点 （ 相 轨 迹 为 圆 ）对作图：见下页： 2222(1)0 (1)() ()dxxdxAA可见：系统自由运动总是稳定的：奇点为一线段-1，1 ，依初始条件 不同，0x最终可以稳定在-1，1之间任一点上。例 4.系
9、统运动方程为 求出全部平衡点，并分析其特性。sin0x解：令 0ix平衡点 0,2,.exk当 sin(1):ekxAA时 ： 时 -在平衡点附近变化时， 是小量，与 等价。sinx原方程为 1,2,0xsj （ 中 心 点 ） （ 鞍 点 ）平衡点颁布及其附近的相轨迹：4. 相轨迹作图法（解析法，等斜线法， 图弧法）(1) 等倾斜线法：系统方程为： (,)dxf令 相 轨 迹 的 斜 率得出等斜线方程： (,)fx相 平 面 上 此 方 程 对 应 曲 线 点 上 的相 轨 迹 斜 率 为 等 值 给定不同的 值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应的 短线，可以构成相轨迹切线的方向场。由此可画出非线性运动的相轨迹。4. 等倾斜线法例 1，系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。解：对线性部分： ()(1kCssTU2()()TsCckuI0Mxhchu ： .Tck(1)(1)dcdTckMA =1(kMcT等 倾 斜 线 方 程 ， 水 平 线 ）： ，同上讨论可得：11kkcT 20 1 -3 -2 32： 12 1 20 2-1 -2： -2 -1 0 11 21TKM： 0c(1)T画出等斜线并作出相轨迹见 3 号图：系统自由运动分析： (1) 自由运动收敛，最终达到稳定。(2) 最终平衡位置 ,h
