1、高等代数习题库第一章 行列式1. 决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性.(1) 134782695 (2) 217986354 (3) 9876543212. 如果排列 的反序数为 ，排列 的反序数是多少?121nx k12nx3. 写出 4 阶行列式中所有带有负号并且包含因子 的项.3a4. 按定义计算行列式(1) ; (2) 00210nn 00210nn5. 设 ，不计算行列式，求展开式中 的系数.2()31xf 3x6. 求 ，这里 是对所有 元排列求和.12121212nn njjjjjnjjaa 12nj7. 证明： 111112122222112 ()()()()()()(
2、)()()()jnn jjnnnnnjndatattatttd tttatdtatt 8. 计算下列行列式.(1) ; (2) ; (3) 2467321051xyx1234(4) ; (5) 11xy22222222(1)()(3)()()()aabbccdd(6) ; (7) ; (8) 0173689425134570156221439. 已知 阶行列式n121212nnnaaD 为常数，若 的值为 ，求下列行列式的值:12,nb c21121212nnnnabab 10. 设 是 阶行列式，若 的元素间满足关系：DD(,1,)ijjia则称 是一个反对称行列式. 求证：当 是奇数时,
3、阶反对称行列式的值为零.n11. 计算下列 阶行列式n(1) ； (2) ； 112031n 1232n(3) ；xaaxaaa(4) ；1231(0,12,)11inaan (5) ； (6) ；221aa 111()()nnnaa(7) ； (8) 00xyxyy 1231231nnaaaaa12. 证明(1) ；1111122222bcabca(2) 2001;(0)xyzzyxzz(3) 1010;()001n(4) .cos1002cos0cos012n13. 计算下列行列式的值(1) ;11 11121112 222 ;(0,1,2)nn nnnnniiabaababn (2) ;
4、 (3) ;32452131nn xaaax(4) 221122;(0)ninnnxaaxx(5) ; (6) ;122121nnnxx aabxabbx(7) ； xyyzzxyz(8) 750020750214. 利用 Laplace 定理计算(1) ; (2) 12103011 111 1n nn nababcdcd 15. 利用 Laplace 定理证明11 11,11,1,1,1, ,0k kkknkkkknkknknnkkaaaa aa 16. 设 都是实数，且1212,;,nnab .计算行列式 的值，其中0,12,ijbijn D112122121nnnnababDabab17
5、. 用克拉默法则解下列方程组(1) ; (2) 1234123468xx 1234123425xx(3) ; (4) 512345123418423xxxx 1234354601xx18. 设水银密度 与温度 的关系为ht2301atat由实验测定得以下数据： | 03.6.573.1.52tCCh求 时水银密度(准确到小数两位).15,40tC19 在几何空间中有不在同一直线上的三点 和1122(,)(,)Mxyzxyz，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.323(,)Mxyz20. 设 123:0,:,Lxy是三条不同的直线，若 交于一点，试证： 123, 0第二章 矩 阵1. 设 是
6、 阶矩阵， 是一个数，试问 与 有什么关系？Ankdet()kAet()2. 设 ，计算 .3112,20B,B3. 计算(1) ; (2) ; (3) ;213010ncosini(4) ; (5) ; (6) ;431257343125710n(7) ; (8) 121abxxyyc11n4. 求所有与矩阵 可交换的矩阵.A1001()2;()35. 证明：若 阶矩阵 与所有的 阶矩阵可交换,那么 一定是数量矩阵.nAnA6. 在中学代数中,有平方差公式 ,现设 是两个 阶2()abab,Bn矩阵,问对于矩阵是否有 成立? 为什么?2()BB7. 用 表示 行 列的元素为 1,而其余元素全
7、为零的 矩阵,而ijEj .证明：()ijnAa(1) 如果 ,那么当 时 ,当 时 ;12A1k0ka20ka(2) 如果 ,那么当 时 ,当 时 且 ;ijij iijjija(3) 如果 与所有的 阶矩阵相乘可交换,那么 一定是数量矩阵,即 .nAAE8. 如果 ,证明： 当且仅当 .1()2ABE2A2BE9. 矩阵 称为对称的,如果 ,证明：如果 是实对称阵且 ,那么T 20.010. 矩阵 称为反对称的 ,如果 ,证明:任一 矩阵都可以表示为一ATAn对称阵与一反对称阵之和.11. 设 是 阶矩阵,则 主对角线上元素之和 称为矩()ijan12naa阵 的迹,记为 . 设 为 阶矩
8、阵, 是常数,求证：trBk(1) ；()trABtr(2) ；k(3) .()()tt12. 求证：(1) 上(下) 三角阵的逆矩阵也是 (下)三角阵；(2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵；(3) 反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.13. 设 ,用初等变换的方法求 ,通过求 来回答下面的问1230456A1A1题：可逆的上三角阵 12120nnbbB的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?14. 解矩阵方程.(1) ;2310102X(2) ,其中 .2AE10A15. 若 阶矩阵 都可逆,问 也可逆吗?为什么?nB,B16. 把下列矩阵化为它的等价标准形.(1) ; (2) 21304A0123A
9、17. 设 ,求可逆矩阵 与 ,使得 .1201APQ0rEA18. 求 ,设1(1) ; (2) ;(3) ;2301A120A11A(4) ; (5) ;2341106A13205786A(6) 2102A19. 若 为 阶矩阵, 可逆,求证： 也可逆.,BnnEABnEBA20. 对 阶矩阵 ,求证： .*()21. 求证：若 ,则 .2*2|n22. 计算下列分块矩阵的乘法.23. 设有分块矩阵 ,其中 为可逆矩阵,求 的逆矩阵.0ACBC24. 设 为 阶方阵,求证：,ABn|ABA25. 设 ,求证:2|B26. 设 是 4 阶矩阵, , 求 的值.A|A1*|4|A27. 设 是 阶方阵且 ,求证: 是可逆矩阵 .n2nE28. 若 ,求证下列行列式的值为零.311212 212nnnnxyxy 29. 设 都是 阶矩阵,求证：,ABCD|MABCDABCDCABD30. 设 分别是 和 矩阵.证明：,nm|nmEABE31. 设 分别是 和 矩阵, .证明：,ABn0|nm32. 设 分别是 阶方阵,证明：若 都是可逆矩阵,则, ,AB也是可逆矩阵,并求其逆矩阵.BA(提示： ).000EABEBA33. 设 都是 阶方阵, 是可逆矩阵, 且 . 求证：,CDnC
