1、第四章 矩阵练习题参考答案1. 解: (1) 21806AB 4301213012BA 240(2) cbacbacAB3222 22211acbc baacbc 22223 acABcbbbacb 2解：(1) . 4312503212102(2) . 823054434335(3) 所以.,01,102 BBE中 .10)(10 nEnn(4) cossiicosiicosinc nncossiicosini(5) 11231(5)2,3230,3.(6) 原式= 1212211,axybyaxyabxycc(7) 11A402A12nEkA时 时(8) 所以.0,0, 32 BBBE中
2、.02)1()( 1221 nnnnnn ECA 3(1) 1052481322A26338822fEE(2) 21753A 012522 AEf4.解：(1) 设 , ,abacbdabXXAcdcd由 0AXc， abda 任取。,(2) .XAEAX0231E12133,x设 131223,xx313232112000AXxxx 1230令 0313232123 xcabcbxcxa cbcax320(3) 同样设12133,Xx25231231 30xAXxXA，. 121123213212 0,0 xxx 中5. 解：设 , 由于 , 考虑到 , 121212nnnxxX naaA2
3、1 AX位于 i 行 j 列的元为 ，右边 位于 i 行 j 列的元素 .AijxaXjix当 ij 时， 得， .ijjix0)(ijijx()ij只能是对角矩阵.12nxXx6. 解：设 （ ） ，12nrnaEAaE 12rn，且121212rrrXX 令 ,ijijAX为 型 才 能 分 块 相 乘 应 有inijijjAXijaEX左 边 第 块 行 块 列 为右 边 第 块 行 块 列 为 .ija 为与 A 同型的准对角形矩阵.0,ijxi时 r21X7.解：(1) 设 ,.ijnxAa1231210,0naEa 212100naaEA由 , 得 , 2112,23.kn其 余
4、.,31,02ntat.1*0aA (2) (i 行).1212000,000iiij ijjjjnniaAEEAaaa (j 列)两式相等, 对应元素相等, 得 ,且 ,(ki), ,(sj )ijaki 0jsa(3)由于 A 与所有 n 级矩阵可换，故 可 换与 nEA1312,的第一行元素除 a11外其余元素全为零 0.E1的第二行除 外其余元素全为 0.2 12的第三行除 外其余元素全为 0.A133的第 n 行除 外其余元素全为 0.En1an所以 .EaaA110018. 证明： .ACBACB.BA9证明： .22 2211“, ,0,24EE1若 则 得 4. .2, 4BE
5、BA若 则10证明：若 A 为实对称矩阵，若 A2=0,则 A=0.若 为列 的 元 素行中 第那 么那 么不 防 设 satsst 2,0,0222111 0.nnsksksstsnaa，矛盾，所以 .20A0A11证明： ABABB ,“ .中中中中 ,“12证明：设 ， , 则 . 所以由CBA,CCBA得, . 21,21.,即 为 所 求B13令 ,21112 2233112121, nnnn nnxxxxDDxx ，所以21,ijijijkijnxaAxs.21ij jiijnaDx14. 设 A 是 nn 矩阵, 证明存在一个 nn 非零矩阵 B 使得 AB=0 的充要条件是|A
6、|=0.证明： ,则 .“0iB取 为 的 一 个 非 列 0.0, AAXi 中中中 ,0X有 非 零 解 12,nxxx令.,21 BAn中中15设 A 是 nn 矩阵, 如果对于任意的 n 维向量 x, 均有 Ax=0, 证明 A=0.证明：考虑 AE. 分别取条件中的 x 为 E 的每一列 ,则 , 所以 AE=0.i0,12.iEn又 AE=A, 得 A=0.16. 设 B 是一个 rr 矩阵, C 为一个 rn 矩阵, 且 R(C)=r, 证明:(1) 如果 BC=0，则 B=0。(2) 如果 BC=C, 则 B=E.证明：(1) 考虑齐线方程组,C Tx=0, 有 r 个未知量,
7、而 R(C)=R(CT)=r=未知量个数, 所以CTx=0只有零解. 由 BC=0, CTBT=0, 所以 BT的各列元素均为零,得 BT=0, B=0.(2) 若 BC=C, 则(B-E)C=0, 由(1)得 BE=0，B=E. 17. 证明：R(A+B)R(A)+R(B).证明：设 （I）,B 的行向量为 （） ，而12,sA的 行 向 量 为 s21,（） ，那么sBC的 行 向 量 为.11,r22,r mr设 为（）的极大无关组，那么 R(A)=R(I)=r. 设 （）为1,iir () 1,jjp（）的极大无关组，那么 R(B)=R(II)=p. 令 为向量组(IV), 由于1,i
8、ir 1,jjp(III)可由(I)和(II)线性表出，所以(III)可由()线性表出，又 (IV)只含有 r+p 个向量，所以R(IV) r+p, 得R(A+B)=R(C)=R(III) R() r+p=R(A)+R(B).18. 设 A,B 为 nn 矩阵，证明：如果 AB=0, 则 R(A)+R(B) n.证明：设 R(A)=r,那么，线性方程组 AX=0 的基础解系可设为 .rn21,设 B 的各列为 1,2,m. 由 AB=0，得 Aj=0, 即 j 是 AX=0 的解,所以 1,2,m.可由线性表示，于是rn21,R(1,2,m.) R( )=n-r, R(A)+R(B) r+n-
9、r=n.rn21, 19. 证明：如果 Ak=0, 那么, .121 kAEA证明：由 Ak=0,得212121k kKkE A ,从而0k.121 kAEA20. 解(1) *,dbcaacbd1(2) , 首先|A|=3, 再考虑 A 的伴随矩阵的元素:120A.;1,3211;2,1,03221,2,331A.103213A(3) 4613520362102 233221 AAA即, .*4356 4651*1A(4) A= , 123106224311,.1026A,12,312121 134430EOAA , .45A B .11112213434 2300521EoAoB.1672672011703053245A (5)法 1： , .E42A1法 2： 102011011 01200120 1140211402|0411EA .A133061()5427501061:(,)43253AE 解175010213463 1075129384069 .159284306195A(7) ,1231357020AA.12310A10278(8) ,12321035786AA.1321310AA0257341(9)010120134034276 210121010340352120 5102733521102
