1、高考网 高考网 高中数学必修 1 必修 4 知识汇编在充满好奇、期待和紧张的心绪中，我们一起渡过了高一一个学期，一学期以来，我们在数学上倾注了大量的心血，我们有收获也有困惑，对一些问题既清晰又模糊。因此在寒假休息之余，同学们一定要抽出些许时间对学过的知识进行梳理，达到知识条理化、清晰化并及时总结常规的解题思路方法，防止解题易误点的产生，对提升数学素养将会起到较大的作用其中未尽之处请同学们自行补充。祝：同学们寒假过的充实、愉快！ 新年快乐，合家幸福！高一数学组一、集合理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键，数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具。1
2、集合 A、 B， 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；AB例如：（1）已知集合 若 ，则实数,12,52pxBx Ap 的取值范围是 。（ ）3p2 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n2，1， .2n3 ， .()IIICABC()IIIABC二、函数函数问题的切入点是函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等4 映射(1) 映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的BA像有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，B其中“值域是映射中像集
3、的子集”. (2)函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个 .xy(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.5 函数的几个重要性质：（一）对称性：（1） 如果函数 对于一切 ，都有 ，那么函数 的图象xfyRxaffxfy关于直线 对称.ax（2） 函数 与函数 的图象关于 y 轴对称.fxafy（3）函数 与函数 的图象关于 x 轴对称.y（4）函数 与函数 的图象关于原点对称.xaff（二）周期性：如果函数 对于一切 ，都有 ，那么函数 是周期函数，yRaxfxfyT=2a；特别：若 恒成立，则 .()(0)fxfxa2T高
4、考网 高考网 若 恒成立，则 .1()(0)fxaf2Ta若 恒成立，则 .()x如果 是周期函数，那么 的定义域“无界”yf ()yfx（三）翻折变换： y=|f(x)|保留函数 y=f(x) 在 x 轴上方图象，再将函数 y=f(x) 在 x 轴下方图象以 x 轴为对称轴翻折上去就得到 y=|f(x)|的图像 。 y=f(|x|) 作出函数 y=f(x)在 y 轴右边图象，再将函数 y=f(x)在 y 轴右边的图象以 y 轴为对称轴翻折过去，就得到 y=f(|x|)的图像 。6 作函数图象常用方法有三种：1 列表描点法；2 基本函数图象变换法（常见的基本函数有:正比例函数、反比例函数、一次
5、函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、对号函数） 0kyx7 在处理有关指数函数、对数函数、三角函数与整式函数相结合的方程根的问题时，通常采用数形结合的方法。8 求二次函数区间上的最值问题时你注意了 x 的取值范围吗？求最值问题的常用方法有哪些？（二次函数法、三角函数法等）9 单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的单调性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的
6、常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有： .()(|)fxfx（2）若奇函数定义域中有 0，则必有 .0（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、定号）；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法) 、特殊值法等等 .10. 抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。11. 解决抽象函数问题的基本策略是：赋值叠代、数形结合、原型启迪。12. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于 1）字母底数还需讨论呀.例：函数 的值域是 R，则 的取值范围是 。（）（。 4log250axy a
7、），（ 413. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（ ）babanca logl,logl 14. 你还记得对数恒等式吗？（ ）balog15. “实系数一元二次方程 有实数解”转化为“ ”，你是否注意到02cx 042b高考网 高考网 必须 ；当 a=0 时，“方程有解”不能转化为 若原题中没有指出是“二0 042acb次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？或已经指出，你是否注意到自变量的限制条件？例：关于 x 的方程 2kx2+(8k+1)x+8k=0 有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是 ： k-1/16 且 k 0 三、三角函数16. 在解三角问题时，
8、你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性及其它性质了吗？例：已知直线 是函数 （其中 ）的图象的一条对称轴，6x）（）（ 3sinxf 6则 的值是 。（ ）0,1517. 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半（如 的周期都是 , 2sinsiyx与但 的周期为 ， 的周期为 ）xycosin2xytan18. 函数 是周期函数吗？（都不是）2,iy19. 三角函数图像相位变换时要紧扣“针对自变量”、周期变换时要紧扣“周期的变化”例 1、 为了得到函数 的图像，只要将 的图像向 3sin2fx（ ） （ ） 3sin2fx（ ）平移 个单位即可 （左，
9、 ）6例 2、将函数 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，就可以得到3sin2fxx（ ） （ ）的图像向 （ ）3sinfx（ ） （ ）20. 在三角中，你知道 1 等于什么吗？（ 221sincoxtancota4x这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用sinco02 （例如： ，2222sicost1nanxx xta1ta45t(45)nt21. 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换（如 ,)(,)(等）()()22高考网 高考网 22. 你还记得诱导公式的口诀吗？（奇变偶不变，符号看象限奇偶指什么？怎么看待角所在的象限？）23. 你还记得三角化简的通性通
10、法吗？（弦切互化、降幂公式二倍角公式逆用、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次，即化统一的思想：统一函数名称,统一次数,统一角）24. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？( )12lrSlr与25. 引入辅助角公式： （其中 角所在的象限由 a, b 的符2sincossinaxbabx号确定， 角的值由 确定）在求最值、化简时起着至关重要作用.t四、平面向量26. 向量解题的基本思路：（1）几何法：像 、 、 、 、 、 等都具备几何意义，abcosa(cos,in)a解题时若能充分利用可起到事半功倍之效果；例：已知向量 ，向量 ，则 的最大值是 (cos
11、,in)(3,1)2b如图将 和 起点放在原点，则 和 终点都在半径为 2ab2ab的圆上，故 的最大值是 42（2）选基底：一般选已知模长、夹角且不共线的两个做基底（3）建立平面直角坐标系：只要将各点坐标顺利求出，运用向量极为方便。27.三点 A、B、C 共线证明方法：（ 1）平行向量共点法： ( 0)ABC(2) 线外一点法： 1)Oxyx宿州二中高一数学（必修一）寒假作业一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分）1、下列四个集合中，是空集的是（ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3| ,|),(2RyxC 头h
12、tp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,0| Rx 0|22设 A=a，b，集合 B=a+1，5，若 AB=2，则 AB= （ ）A、1 ，2 B、1，5 C、2 ，5 D、1，2，53函数 的定义域为 （ ）21)(xfA、1，2) (2，+ ） B、(1，+） C、1，2) D、1，+)4设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表 1 映射 f 的对应法则原像 1 2 3 4像 3 4 2 1表 2 映射 g 的对应法则原像 1 2 3 4像 4 3 1 2高考网 高考网 则与 相同的是 （ ）)1
13、(gfA B C D3)2(fg)4(fg)1(fg5、下图是指数函数 、 、 、 的图象，则 与 1 的大1 xay2 xb3 xcy4 xddcba,小关系是（ ）A Bdcad1C Dab1bc6函数 y= | lg（x-1）| 的图象是 （ ）7. 已知 ， ， ，则 三者的大小关系是 （ ）3.0log2a3.0b2.0ccba,A、 B、 C、 D、caabc8函数 y=ax2+bx+3 在 上是增函数，在 上是减函数，则 （ ）1,1A、b0 且 a0 D、a，b 的符号不定 9函数 上的最大值与最小值的和为 3，则 （ ）,在xy A、 B、 2 C、4 D、21 4110设
14、，则使 为奇函数且在（0，+ ）上单调递减的,13,xy值的个数为 （ ）A、1 B、2 C、3 D、411已知实数 且 ，则 的取值范围为 ( )0ab， a221ab（ ） （ ）A ； B ； C ； D 。952， 9， +） 90， 05，12、函数 ，则 =21xf)2(321fff 29131ffA2005 B2006 C2007 D2008二、填空题：（每题 4 分，满分 16 分）13求值： ， ；3)168( )24(log5714已知幂函数 的图象过点 ，则 = ；)(xfy,9f15、若 ， ，则 0a234923loga高考网 高考网 16、根据下列表格中的数据，可以
15、断定方程 的一个根所在的区间是 20xex1 0 1 2 3037 1 272 739 200921 2 3 4 5三、解答题：（本题满分 74 分，要求写出必要的步骤和过程）17（本小题 12 分）已知集合 A= ，B= ，且 ，求由实数 所构0652x01mxBAm成的集合 ，并写出 的所有子集。M18、（本小题 12 分）计算：（1） )6()3(4321141yxyx（2） babaalog.l2)(log)(log219、（本小题满分 12 分）已知 ，函数 ,21logfxx42gxffx求：（1）函数 的定义域； （2）函数 的值域gx20（本小题满分 12 分）探究函数 的最小
16、值，并确定取得最小值时 x),0(,4)(xf的值.列表如下：x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点，完成以下的问题. 函数 在区间（0，2）上递减，则函数 在区间 )(4)(f )0()(xf上递增； 函数 ,当 时， ；)()(xf 最 小ye高考网 高考网 函数 时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时 x 为何值？)0(4)(xf21（本小题 12 分）设函数 （ 、 ）满足： ，且对任意实
17、1)(2bxaxfaR0)1(f数 x 均有 0 成立，)(f 求实数 、 的值；ab 当 时，求函数 的最大值 .2,)(2t)(tg22. （本小题满分 14 分） 已知函数 是定义在 上的函数,若对于任意 ,都有()fx1,1xy，且 0 时,有 0()()fxyfy判断函数的奇偶性；判断函数 在 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； x1，设 ,若 ,对所有 , 恒成立,求实数 的取值(1)f()f21ma1xam范围.高考网 高考网 宿州二中 08 级高一数学寒假作业（必修 4 第 1、3 章）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
18、中，只有一项是符合题目要求的）1、 以下命题正确的是 （ ） A 都是第一象限角，若 ，则,sinicosB 都是第二象限角，若 ，则 tantC 都是第三象限角，若 ，则, coiiD 都是第四象限角，若 ，则sinitt2、 设 ,且 ,则 （ ）02x1i2xxA B C D745432x3、函数 在 上的图像大致是 （ ）()sin2()3fx0,4、化简： （ ）1sin4cosA B. C. D.cot t2tantan25、锐角 满足 则 的值为 （ ）a1sic,4an（A） （B） （C） （D）2332323+6、已知 ，则 （ ）21sincos1sin0（A） 是第三象
19、限角 （B） 是第四象限角（C） （D）322,kkZ322,kkZ7、函数 的图像的一条对称轴方程为 （ ）5sin()yx高考网 高考网 （A） （B） （C） （D） 54x2x8x4x8、 已知 则 等于 （ ）3(,)sin,25ta()4（A） （B） （C） （D）1771779、函数 的最小值是 ，其图像中相邻的最高点和最低点的横坐si()0,)yxA2-标的差是 3 ，又图像经过点（0，1），则这个函数的解析式是 （ ）（A） （B）2sin()61sin()36yx（C） （D）i()3yx2i()10、已知函数 ，则下列结论中正确的是 （ ）cosin（A）是奇函数 （B
20、）不是周期函数 （C）定义域-1，1 （D ）值域是 cos1,11、若 ， , ，则 的值等于 （ ）,(0,)23cs()21sin()2cs()（A） （B） （C） （D）311312、判断下列各命题：若 是第一象限角，且 ，则 ； 函数,cos是偶函数；若函数 ，则 是偶27sin()3yx55()sin),()22xxfg()fx函数， 是奇函数若函数 的图像向左平移 个单位，得到函数()gsi2y=4的图像。 其中正确有命题为 （ ）sin(2)4yx（A） （B ） （C ） （D）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上）13、cos
21、43cos77+sin43cos167的值为 _.14、要得到 的图像，且使平移的距离最短，则需将函数 的图像向cos(2)yx sin2yx=_平移_单位，即可得到.15、由函数 与函数 的图像围5sin3()6yx2()yxR成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_.16、关于三角函数的图像，有下列命题正确的有 .高考网 高考网 与 的图像关于 轴对称； 与 的图像相同；sinyx=siyxycos()yx=-cosyx 与 的图像关于 轴对称； 与 的图像关于 轴()-x()-y对称；三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（12 分）(1)已知 ，求证：sin()1tan(2)tan0(2)求函数 的最大值和最小值sinco()6yx18、（12 分）已知函数 ()2cos()3xfx(1)求 的单调递增区间； (2) 若 求 的最大值和最小值()fx,()f19、（12 分）已知函数 ()sin()0,)2fxAxxR在一个周期内的图像如图所示（1）求函数 的解析式；()fx（2）设 ，求， 的值12cosgfx5()4g20.（12 分）已知函数 .,2,cos26sin2)( xxf（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域. 54sinx)(f )(f
