高三数学总复习第一轮：.doc

1、 高三数学总复习第一轮：概率（文科）复习专题讲解及训练概率问题主要考查类型有：单独考查某种事件的概率；综合考查排列、组合与概率的计算；综合考查等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复事件等几种事件的概率计算等。本部分内容的考题大多是课本中例、习题的变式或拓展。近年的考题有个明显的特征是注重了概率与其它知识（如方程、不等式等）的交汇。此类试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”的指导思想。知识要点 ：（1）随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近某个Amn常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记作 A()P0()1（2）等可能性事件：

2、如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，n那么每个基本事件的概率都是 ，这种事件叫等可能性事件 奎 屯王 新 敞新 疆1n等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件 包含 个结果，那么事件 的概率 奎 屯王 新 敞新 疆AmA()mPn（3）互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 奎 屯王 新 敞新 疆 A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生， P(A+B)=P（A）+ P(B) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一般地：如果事件 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 彼此互斥 奎 屯王

3、 新 敞新 疆,n 12,n对立事件的概念:事件和事件 B 必有一个发生的互斥事件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这时 P(AB)=, P(A+B)=P （A）+ P(B) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 一般地, P1（4）相互独立事件：事 件 （ 或 ） 是 否 发 生 对 事 件 （ 或 ） 发 生 的 概 率 没 有 影 响 ， 这 样 的 两 个 事 件叫 做 相 互 独 立 事 件 奎 屯王 新 敞新 疆 若 与 是相互独

4、立事件，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立 奎 屯王 新 敞新 疆ABB互斥事件与相互独立事件的区别：两 事 件 互 斥 是 指 同 一 次 试 验 中 两 事 件 不 能 同 时 发 生 ， 两 事 件 相 互 独 立 是 指 不 同 试 验 下 ， 二 者 互 不 影 响 ；两 个 相 互 独 立 事 件 不 一 定 互 斥 ， 即 可 能 同 时 发 生 ， 而 互 斥 事 件 不 可 能 同 时 发 生 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相互独立事件同时发生的概率： 。()()PP事件 相互独立， 12,nA 1212()nnAA （5）独立重复试验的定义：在同样条件下进

5、行的各次之间相互独立的一种试验 奎 屯王 新 敞新 疆独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事恰好发生 K 次的概率 奎 屯王 新 敞新 疆 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概knknPC)()(率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型例题:例 1：有红色和黑色两个盒子，红色盒中有 6 张卡片，其中一张标有数字 0，两张标有数字 1，三张标有数字 2；黑色盒中有 7 张卡片，其中 4 张标有数字 0，一张标有数字 1，两张标有数字 2。现从红色盒中任意取 1 张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等

6、），黑色盒中任意取 2 张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取 3 张卡片。（）求取出的 3 张卡片都标有数字 0 的概率；（）求取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率；（）求取出的 3 张卡片数字之积是 0 的概率. 解：（I）记“取出的 3 张卡片都标有数字 0”为事件 A. 21)(7164CAP（）记“取出的 3 张卡片数字之积是 4”为事件 B，63)(271612CBP（）记“取出的 3 张卡片数字之积是 0”为事件 C.42715)()(271635例 2：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间3没有影响；每次射击是否击中目标，相

7、互之间没有影响.()求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率;()求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率;()假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问: 乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少?解：（）设“甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标”为事件 A，则其对立事件 为“4 次均击中目标”A，则 4265138PA（）设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则234413BCC（）设“乙恰好射击 5 次后，被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一

8、次及第二次至多有一次未击中目标。例 3：某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立）（）求至少 3 人同时上网的概率；（）至少几人同时上网的概率小于 0.3？解：（1）至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 35.0.5.062616 CC（）至少 4 人同时上网的概率为 .21. 6656 至少 5 人同时上网的概率为 3.04750656 C因此至少 5 人同时上网的概率小于 0.3。例 4：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考

9、核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 ；在实0.9,8.7验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格相互之间没有影响。0.8,7.9（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件 ；“乙理论考核合格”为事件 ；“丙理论考核合格”为事件1A2A；记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ；“乙实验考核合格”为3Aii ,23i1B事件 ；“丙实验考核合格”为事件 ；2BB（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件C解法 1： 12

10、3123123123PC123APAPA0.98.09.70.8.709.870.92解法 2： 123123123123123 0.09.0.8.0.798所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 .92（）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D123PDABAB123PABP23P0.98.0.79546所以，这三人该课程考核都合格的概率为 54例 5：质点 位于数轴 处，质点 位于 处。这两个质点每隔 1 秒就向左或向右移动 1 个单位，AxBx设向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 。1323（）求 3 秒后，质点 位于点 处的概率；1（）求 2 秒后，质点 同时在点 处的概率；,x解析

11、：（）3 秒后，质点 到 处，必须经过两次向右，一次向左移动； .A 2314()9PC（）2 秒后，质点 同时在点 处，必须质点 两次向右，且质点 一次向左，一次向右；故,B2xAB126338PC例 6：猎人在距离 100 米处射击一野兔，其命中率为 ，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，12但在发射瞬间距离为 150 米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，且在发射瞬间距离 200米，已知猎人的命中的概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解析：记三次射击命中野兔的事件依次为 ，由 且 则,ABC(),P2(),10kA，于是21,50k225050()198P猎人命

12、中野兔的事件为： 又 为互斥事件，且 都是,BC,;,BAC相互独立事件；故所求概率为 ()()APA= = ()()PABPC121295()9814例 7：如图：每个电子元件能正常工作的概率均为 ，问甲、乙两个系统那个正常工作的概率(0大？（甲）（乙）解： 2241();PP甲 22()(4)P乙 2410乙甲所以，乙正常工作的概率较大。例 8.招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案，方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假定某应聘者对三门课程的考试及格的概率分别为 ，且这三门课程考试是否及格相互之间没有影响。,ab

13、c（1） 分别求应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2） 试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小；解：记应聘者对三门课程考试及格的事件分别为 ，则,ABC(),(),()PaBbPCc（1） 应聘者用方案一，考试通过的概率 ()()()()PABCP= =11abcabc2abcab应聘者用方案二，考试通过的概率为 2 1()()()()33ABPCAabc（2） ， = ，,0,c1Pcc10c所 ，12P该应聘者采用方案一通过考试的概率较大。专题综合训练一、等可能事件的概率1. （08 全国卷理 6）从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3

14、 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A B C D921029192209【答案】D【解析】 290301212CP2. （08 重庆卷文 9）从编号为 1,2,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是 6的概率为（ ）(A) (B) (C) (D)184122535【答案】B【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。 ，故选 B。354102CP3. （ 08 辽宁卷理 7 文 7）4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A B C D1312 3

15、【答案】：C【解析】：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数，则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶，取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率134.6P4. （08 江西卷理 11 文 11）电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为（ ）A B C D18012813601480【标准答案】 . C【标准答案】一天显示的时间总共有 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为 .413605.（08 北京卷文 18）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个

16、不同的岗位服务，每个岗ABC， ， ，位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；A（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率【试题解析】（）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么 ，AE32451()0APC即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 A140（）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，那么 ，4251()0A所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 91PE6. （08 陕西卷文 18）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（）连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（）

17、如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率【试题解析】（1）从袋中依次摸出 2 个红球共有种结果， ，第一次摸出黑球，第二次摸出白球的结果有 ，29A 134A则所求概率为 ，或 ；134296AP134986P（2）第一次摸出红球的概率 ，第二次摸出红球的概率 ，第三次摸出红球的概率 ，则2191729A21739A摸球次数不超过 3 的概率为 + + ；219A17217239【点评】 几何分布的模型，注意互斥事件的概率计算；【易错指导】 摸球认不清不放回的特征，误用独立重复试验模型求解；7 （08 浙江卷文 19）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有 10

18、个球。从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 52；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 97。求：（）从中任意摸出 2 个球，得到的都是黑球的概率；（）袋中白球的个数。【试题解析】本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 （）解：由题意知，袋中黑球的个数为 .4510记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件 A，则 .152)(04CP（）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B。设袋中白球的个数为 x，则 解得 x =5。,971)()(2nCBP8.一盒中放有除颜色不同外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球

19、 2 个，白球 3 个.（）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.解：（）从盒中同时摸出两个球有 种可能情况. 1025C摸出两球颜色恰好相同即两个黑球或两个白球，有 种可能情况 423C故所求概率为 .52104253P（）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，有种可能情况.612312C故所求概率为 .25161523CP9. 盒中装有 8 个乒乓球，其中 6 个是没有用过的，2 个是用过的.（）从盒中任取 2 个球使用，求恰好取出 1 个用过的球的概率；（）若从盒中任取 2 个球使用，用完

20、后装回盒中，求此时盒中恰好有 4 个是用过的球的概率.解：（I）恰好取出 1 个用过的球的概率为 P， 则 .732816C（II）设盒中恰有 4 个是用过的球的概率为 P1,则 .281561C10. 袋中黑白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，规7定甲先乙后，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球就终止，每个球在每次被摸出的机会均等。（）求袋中原有白球的个数；（）求甲取到白球的概率。解：（）设袋中原有白球 n 个，依题意有， ，解得，n=3.271nC所以，袋中原有白球的个数为 3.（）甲取到白球的事件可能发生在第 1 次、第

21、 3 次、第 5 次，所以甲取到白球的概率为 + + = 。374653274511. 学校组织 5 名学生参加区级田赛运动会，规定每人在跳高、跳远、铅球 3 个项目中任选一项，假设 5名学生选择哪个项目是等可能的.（）求 3 个项目都有人选择的概率； （）求恰有 2 个项目有人选择的概率.解：5 名学生选择 3 个项目可能出现的结果数为 ，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.53（）3 个项目都有人选择，可能出现的结果数为 .1215253C记“3 个项目都有人选择”为事件 ，那么事件 的概率为1A1( ) .P1A3125253C08（）记“5 人都选择同一个项目”和“恰有 2 个

22、项目有人选择”分别为事件 和 ，2A3则事件 的概率为 ，225318事件 的概率为 .3A3P12AP50812712. 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的求：（I）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率；（II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率；解：（I）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为： 61052.1AP（II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为：66914580.0CP13（08 崇文区二模）已知 8 人组成的抢险小分队中有 3

23、 名医务人员，将这 8 人分为 A、B 两组，每组 4人.（）求 A 组中恰有一名医务人员的概率；（）求 A 组中至少有两名医务人员的概率；解：（）设“A 组中恰有一名医务人员 ”为事件 , 1A()P734851C（）设“A 组中至少有两名医务人员 ”为事件 ，22()P21485348253C14 某市举行的一次数学新课程骨干培训，共邀请 15 名使用不同版本教材的教师,数据如下表所示：版本 人教 A 版 人教 B 版性别 男教师 女教师男教师 女教师人数 6 3 4 2()从这 15 名教师中随机选出 2 名，求 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率；()培训活动随机选出 3 名教师发言

24、，求使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率解：() 从 15 名教师中随机选出 2 名共 种选法，15C所以这 2 人恰好是教不同版本的男教师的概率是 1642583C()3 名发言教师中使用不同版本教材的女教师各至少一名的不同选法共有种，1212320369C所以使用不同版本教材的女教师各至少一名的概率为121232033545CP+=二、互斥事件的概率1. （08 四川延考理 8 文 8）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）（A） （B） （C ） （D）1512235解：因文艺书只有 2 本，所

25、以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率：46()1()105P2. （08 江西卷文 18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.【试题解析】（1）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件()0

26、.24.03.2PA（2）令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件().6.40.83. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 种进行检验，求至少有 1 件是合格产品的概率（）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件产品都合格时才接收这批产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为 1 件和2 件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率。解：本题考查相互独立事件、

27、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力（）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A用对立事件 来算，有A4()1()0.298P（）记“商家任取 2 件产品检验，其中不合格产品数为 件” 为事件 i(1,2)iA173205()9CA230()19CPA商家拒收这批产品的概率127()15P故商家拒收这批产品的概率为 94. （08 海淀区二模）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为 ，甲、乙都闯关成功的概率为 ，乙、丙都闯关成功的概率为 .每人闯关成功记 2 分，13615三人得分之和记为小

28、组团体总分.（I）求乙、丙各自闯关成功的概率；（II）求团体总分为 4 分的概率；（III）若团体总分不小于 4 分，则小组可参加复赛 .求该小组参加复赛的概率.解：（I）设乙闯关成功的概率为 ，丙闯关成功的概率为 1P2P因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：解得 . 12,36.5P12,5答：乙闯关成功的概率为 ，丙闯关成功的概率为 .25（II）团体总分为 4 分，即甲、乙、丙三人中恰有 2 人过关，而另外一人没过关 . 设“团体总分为 4 分”为事件 A， 则 1213()()(1).3530PA答：团体总分为 4 分的概率为 . 310（III）团体总分不小于 4 分

29、, 即团体总分为 4 分或 6 分，设“团体总分不小于 4 分”为事件 B， 由（II）知团体总分为 4 分的概率为 ，团体总分为 6 分, 即 3 人都闯关成功的概率为 12.35所以参加复赛的概率为 = )(BP.105答：该小组参加复赛的概率为 .35. 某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束在每场比赛中，甲队获胜的概率是 ，乙队获胜的概率是 ，根据以往资料统计，每场比3231赛组织者可获门票收入为 万元，两队决出胜负后，问：0（）组织者在总决赛中获门票收入为 万元的概率是多少？10（）组织者在总决赛中获门票收入不低于 万元的概率是

30、多少？8解：（）门票收入为 万元的概率为： 121P817)3(24（）门票收入为 万元的概率为： 802 2903)()(2535 C门票收入为 万元的概率为： 3 76366门票收入不低于 万元的概率是：1 84032P6. 盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 分 . 现从盒内任取 3 个球.1（）求取出的 3 个球颜色互不相同的概率；（）求取出的 3 个球得分之和是正数的概率.（）解：记 “取出 1 个红色球，1 个白色球，1 个黑色球”为事件 ， A则 . . 5 分2439C()7PA（）解：先求取出的 3 个球得分之和是 1 分的概率 ：1P记 “取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 ，“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 ，BC则 ； 23499C5()()BP记“取出 2 个红色球，1 个白色球”为事件 ，D则取出的 3 个球得分之和是 2 分的概率： . 21329C()8P所以，取出的 3 个球得分之和是正数的概率 1547. 某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目，这两个项目投资是否成功相互独立，预测结果如下表：概 率 预测结果项目 成 功 失 败