1、宜宾市一中高 6 级数学第九周教学设计设计：肖凤春 审核 李进才13 1 二项式定理第一课时一、复习引入： ；22012()ababCab 奎 屯王 新 敞新 疆332333Cab 的各项都是 次式，4()()()4即展开式应有下面形式的各项： ， ， ， ， ，4a3b23展开式各项的系数：上面 个括号中，每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；恰有 个取 的情况有104Ca041b种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的14C3ab14C2242ab2334C3a系数是 ，有 都取 的情况有 种， 的系数是 ，4b 401323444
2、4()aC二、讲解新课：二项式定理： 01() ()nnrnnbbabCN 的展开式的各项都是 次式，即展开式应有下面形式的各项：()na， ， ， ，nran展开式各项的系数： 每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；b10nC0n恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，1ab1恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，rrnrrn有 都取 的情况有 种， 的系数是 ，nbC ，01() ()nrnnaabbCN 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 的二项展开式，它有 项，各项的系数)a1n叫二项式系数，(0,1)rnC 叫二项展开式的 通项，用 表示，即通项 rab 1
3、rT1rnrTCb二项式定理中，设 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆1,abx1()nrnnnCxx 三、讲解范例：例 1展开 4()解一： 112344441()()Cxxx23461xx解二： 4 234() C23461xx例 2展开 6()解： 6631()(21)xx615432166663()()()CCxCx2230149xx第二课时例 3求 的展开式中的倒数第 项 奎 屯王 新 敞新 疆12()a4解： 的展开式中共 项，它的倒数第 项是第 项，x310912939120TCxa例 4求（1） ， （2） 的展开式中的第 项6()ab6()3解：（1） ，4422163b（2） 2
4、()80TCa点评： ， 的展开后结果相同，但展开式中的第 项不相同 奎 屯王 新 敞新 疆6ab6 r例 5 （1）求 的展开式常数项；93()x（2）求 的展开式的中间两项 奎 屯王 新 敞新 疆9()x解： ，3992193()rrrrrrTCx（1）当 时展开式是常数项，即常数项为 ；390,62r637928TC（2） 的展开式共 项，它的中间两项分别是第 项、第 项，()x15， 奎 屯王 新 敞新 疆4891253TCx15950326978TCxx第三课时例 6 （1）求 的展开式的第 4 项的系数；7()（2）求 的展开式中 的系数及二项式系数 奎 屯王 新 敞新 疆9x3x
5、解： 的展开式的第四项是 ，7() 3317(2)80TCx 的展开式的第四项的系数是 1x（2） 的展开式的通项是 ，9()9921()1rrrrrxCx ， ，3r 的系数 ， 的二项式系数 x9(1)84C33984例 7求 的展开式中 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆2x分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理， ，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 奎 屯王 新 敞新 疆解：（法一） 42)3(x42)3(x，0414)Cx24C32344()Cx显然，上式中只有第四项中含 的项，展开式中含 的项
6、的系数是 76834（法二）： 2)3(x4)(1x44)(1x4324140 CC03234444)CxC展开式中含 的项的系数是 x3768例 8已知 的展开式中含 项的系数为 ，求展开式中含 项的nmxf12)(*(,)Nx362x系数最小值 奎 屯王 新 敞新 疆分析：展开式中含 项的系数是关于 的关系式，由展开式中含 项的系数为 ，可得 ，从而2x, 3642nm转化为关于 或 的二次函数求解 奎 屯王 新 敞新 疆n解： 展开式中含 的项为124mnxx1nC1(2)mnC ，即 ，1()36m8展开式中含 的项的系数为24nx2x，t2mnC2n ， ，18 22()()8t 2
7、16481n，当 时， 取最小值，但 ，237564n37nt*N 时， 即 项的系数最小，最小值为 ，此时 t2x25,m第四课时例 9已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，41()2nx（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 奎 屯王 新 敞新 疆 解：由题意： ，即 ， 舍去）12()nnC 0892n(1n 814(rrrTx 2481rrCx638412rrCx08Z若 是常数项，则 ，即 ，1r 036036 ，这不可能， 展开式中没有常数项；Z若 是有理项，当且仅当 为整数，1rT41r ， ，08,0,8即 展开式中有三项有理项，分别是： ，
8、， 奎 屯王 新 敞新 疆41xTx8352961xT例 10求 的近似值，使误差小于 60.980.解： ，611666(1.2)(2)(0.2)CC展开式中第三项为 ，小于 ，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，6. ，601160.98(.)(.)98一般地当 较小时 奎 屯王 新 敞新 疆a1na四、课堂练习：1.求 的展开式的第 3 项.623ab2.求 的展开式的第 3 项.3.写出 的展开式的第 r+1 项.n3)x21(4.求 的展开式的第 4 项的二项式系数，并求第 4 项的系数.75.用二项式定理展开：（1） ；（2） .53()ab52()x6.化简：（1） ；（2） 55
9、)1()( 421421)x3()x3( 7 展开式中的第 项为 ，求 5lgx3608求 展开式的中间项 奎 屯王 新 敞新 疆n2答案：1. 奎 屯王 新 敞新 疆262421()310TCaba2. 奎 屯王 新 敞新 疆2683. 奎 屯王 新 敞新 疆23 313()2rnrrnrrrTxCx 4.展开式的第 4 项的二项式系数 ，第 4 项的系数 奎 屯王 新 敞新 疆7537805. （1） ；3 3542 233()105abababb（2） .52 23048x xxxx6. （1） ；552()(1)01（2） 奎 屯王 新 敞新 疆144223339xxx7. 展开式中的
10、第 项为5lgx2lg632lg551010xxC奎 屯王 新 敞新 疆2l3l0l,l,8. 展开式的中间项为 奎 屯王 新 敞新 疆nx212(1)nC五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察归纳猜想证明；二项式定理及通项公式的特点 奎 屯王 新 敞新 疆 八、教学反思：(a+b) = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 ，其中 （r=0,1,2,n）叫rnC做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材
11、的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指 rnrnnn babaabCC)( 21这样一个展开式的公式.它是( a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展开式的一般形式，在初等数学中nbC它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得 y=xn的导数公式 y =nxn1 ，同时 =e2.718281也正是由二项式定理的展开规律所确定，而 e 在高
12、等数学中的地位更nn)1(lim是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式 ei =cos +isin ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由 e 的指数形式来表达 .且直接由 e 的定义建立的 y=lnx 的导数公式 y= 与积分公式 =dxlnx+c 是分析学中用的最x1多的公式之一.而由 y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式； f(x)=f(x0)+ (xx 0)2+ (xx 0)n+!fn( (0，1)以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支1000)1( )(!nnf中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少
13、，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b) 4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而 MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题
14、理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用” 1 只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律” 2 在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.13 2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一课时一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） ，01() ()nnrnnabCabCbN （2） .rnnxx 2二
15、项展开式的通项公式： 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆1rrT3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；r 求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当 依次取 时，二 项 式 系 数 表 ， 表()nabn1,23中 每 行 两 端都 是 ， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是 ， ， ， 可以看成以()n0nC12nnCr 为自变量r的函数 fr
16、定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）0,12, 67（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ ） mn直线 是图象的对称轴2nr（2）增减性与最大值 ，1(1)2()!k kn nCCk 相对于 的增减情况由 决定， ，knC1kn2n当 时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间 取 得 最 大 值 ；2当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值2nCn12nC（3）各二项式系数和： ，1(1)nrnnnxx 令 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆02
17、2rnn 三、讲解范例：例 1在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 奎 屯王 新 敞新 疆()nab证明：在展开式 中，令 ，则01 ()nrnnCabCabN 1,ab，0123() ()n nnnC即 ，0213()()nnCC ， 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()nab说明：由性质（3）及例 1 知 .021312nnnCC 例 2已知 ，求：7 702()xaxax（1） ； （2） ； （3） .27a 1357017|aa解：（1）当 时， ，展开式右边为1x7()()x027 ，1aa 当 时， ， ，x01271
18、2a（2）令 ， 令 ， 1x701234563a 得： ， .71357()1a1357a7132（3）由展开式知： 均为负， 均为正，1357,0248,由（2）中+ 得： ，70246()13aa ， 70246a 017|a 01234567aa奎 屯王 新 敞新 疆724635()()a例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )x1(1)x(1100）（= ，x)(原式中 实为这分子中的 ，则所求系数为 奎 屯王 新 敞新 疆3x4x71C第二课时例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞
19、新 疆解： 55)2(1)3(在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，xC15在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 804展开式中含 x 的项为 ，2)3()80(此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆n2)(解：依题意 2n4nn4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 奎 屯王 新 敞新 疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 ，
20、202r51此所求常数项为 180 奎 屯王 新 敞新 疆.18)(CT1例 6 设 ，231nxxx 201naxa当 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆01254naa解：令 得：，23012 nn 2(1)54 ，8,7n点评：对于 ，令 即 可得各项系数的和101()()nnnfxaxa 1,xa的值；令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 奎 屯王 新 敞新 疆012na ,例 7求证： 12312nnCC证（法一）倒序相加：设 S123nn又 S21()()nn n ， ， rnrC01,nnC由+得： ，22nnnS ，即 11 312nC（法二）：左边各组合数的通项为，r
21、nC1!()!()1rnnr 1230121n nnn nCC 12n例 8在 的展开式中,求:10)(yx二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.xx分析:因为二项式系数特指组合数 ,故在,中只需求组合数的和 ,而与二项式 中的系数无关.rnCyx32解：设 (*),10289101)32( yayxaxayx 各项系数和即为 ,奇数项系数和为 ,偶数项系数和为 ,010 0210 9531aa的奇次项系数和为 , 的偶次项系数和 .x 953aa x 04a由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为 .10102C令 ,各项系数和为 .yx )(3(奇数项的二项式系数和为 ,9102102偶数项的二项式系数和为 .103C设 ,10289101)32( yayxaxayx令 ,得到 (1),1020令 , (或 , )得 (2)1xyxy 10325aa(1)+(2)得 ,1010205aa
