1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 第八节一、二、第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 一、 为实数 ,设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根 , 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的 单根 , 为 m 次多
2、项式 , 故特解形式为(3) 若 是特征方程的 重根 , 是 m 次多项式 ,故特解形式为小结 对方程 ,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时 ,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 的一个特解 .解 : 本题 而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为 代入方程 :比较系数 , 得于是所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 的通解 . 解 : 本题 特征方程为 其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数 , 得因此特解为代入方程得所求通解为目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 求解定解问题解 : 本题 特征方程为 其 根为设非齐次方程特解为 代入方程得 故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为解得目录 上页 下页 返回 结束 二、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路 :第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点目录 上页 下页 返回 结束 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
