1、第二节 采样控制系统的数学基础 一、 Z 变换的定义二、求 Z 变换的方法三、 Z 变换的基本定理四、 Z 反变换五、差分方程极其求解第七章 采样控制系统分析第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础连续函数 f(t)的拉氏变换为离散函数：一、 Z变换的定义f*(t )=+ 8k=0 f(t )(t kT ) = f (kT) (t kT )estdt 8k=0+ 0 F (s) = f (t)e st dt 0 对离散函数求拉氏变换F*(s )= 0 + 8k=0 f(t )(t kT ) e st dtf(kT)e kTS 8k=0+=引入新变量 e Tsz =则 f (k
2、T) zkF (z)=8k=0+F(z)为 f*(t)的 Z变换，记作 F (z) = Z f *(t) 二、求 Z变换的方法1级数求和法根据定义式展开 = f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + f (kT)F (z)=8k=0+利用级数求和法可求得常用函数的 z变换 . 第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础11 z-1 =zz 1=f (kT) z-k = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + F (z)=8k=0+(1) 单位阶跃函数f (t) = 1(t) f (kT) = 1(kT) =1 | z | 1第二
3、节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础= 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + | ze at | 1 zz eaT 11 eaT z-1 = =（ 2）指数函数 f (t) = e at f (kT) z-k F (z)= 8k=0+（ 3）单位脉冲函数f (t)=(t ) = f (kT) z-k =1F (z) 8k=0+f (kT)=(kT ) f (kT)= e akT 第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础（ 4）单位斜坡函数f (t) = t f (kT) = kT= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 +
4、Tz(z 1 )2Tz-1 (1 z-1 ) 2 = =| z | 1= f (kT) z-kF (z) 8k=0+第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础（ 5）正弦函数f (t)=sint = e jt -e jt 2 j e jkT e jkT 2 j f (kT) =11 e jT z-1 11 e jT z-1 12 j= f (kT) z-kF (z) 8k=0+z-1e jTz-1ejT1e jTz-1ejTz-1+z-2 12 j=z-1sinT 12(cosT)z-1+z-2 =zsinT z22zcosT+1=f (t)=costz(zcost )z22z
5、cosT+1F (z)=同理：第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础2部分分式展开法 pi 极点如果已知连续函数 f(t)的拉氏变换为F(s) ，则可将 F(s)展开成部分分式之和的形式，然后求 F(z)。设 b0sm+b1sm1+bmsna1sn1+anF (s)=nmi=1n AiS Pi =Ai 待定系数基于 AisPi = Z Ai1epiTz -1 Ai1e piTz -1 F (z)=i=1n得 第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础例 求 F(s)的 z变换 F(z)。解： 1S(S+1)F (s)=1S(S+1)F (s)= = 1S1S+1z(1e T )(z1)(zeT )=zze T zz1 F (z)=第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础解： 例 求 F(s)的 z变换 F(z)。1S2(S+1)F (s)=1S2(S+1)F (s)= = 1S21S+11S +zze T zz1 +F (z)=Tz(z1)2第二节第二节 采样控制系统的数学基础采样控制系统的数学基础
