1、2016 中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1 设 2)( xx aaxf ，则函数的图形关于 对称。 2若20102s in2 xxxxy ，则 )2(y . 3 极限 lim sinsinxx xx 02 1 。 4.已知 22lim222 xxbaxxx，则 a _, b _。 5.已知 0x 时， 1)1( 312 ax 与 1cos x 是等价无穷小，则常数 a = 6.设 )(22yzyzx ，其中 可微，则yz= 。 7. 设 2e yzu x ，其中 ),( yxzz 由 0 xyzzyx 确定的隐函数，则 )1,0(xu 。 8.设 ,),(
2、)(1 fyxyxyfxz 具有二阶连续导数 ，则 yxz2 。 9.函数 yxxyxyyxf 22),( 的可能极值点为 和 。 10.设 |)1(s in),( 22 xyxyxyxf 则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0,1( yf . 11. xdxx 2sin2 . 12. 之间所围图形的面积为上曲线在区间 xyxy s i n,c os,0 . 13若 21de0 xkx ，则 _k 。 14.设： 122 yx ,则由估值不等式得 D d x d yyx )14(22 15.设 D 由 22, 2 , 1, 2y x y x y y 围成（ 0x ），则 ,D
3、f x y d在直角坐标系下的两种积分次序为 _和 _. 16.设 D 为 0 1 , 0 1y x x ，则 22D f x y d xd y的极坐标形式的二次积分为_. 17.设级数 1 21n pn收敛，则常数 p 的最大取值范围是 . 18. 1 0 642 )!3!2!11( dxxxxx . 19. 方程 011 22 ydyxdx的通解为 20微分方程 025204 yy 的通解为 . 21.当 n=_时，方程 nyxqyxpy )()( 为一阶线性微分方程。 22. 若 44 阶矩阵 A 的行列式为 *| | 3,AA 是 A 的伴随矩阵 ,则 *|A _. 23.设 Ann
4、与 Bmm 均可逆，则 C = 00A B也可逆，且 1C . 24.设 32 13A，且 XEAX 3 ，则 X = . 25矩阵330204212 的秩为 26. 向量 ( 1 , 0 , 3 , 5 ) , ( 4 , 2 , 0 , 1 ) ,其内积为 _. 27. n 阶方阵 A 的列向量组线性无关的充要条件是 . 28. 给定向量组 ,231,0,111 321 ba，若 321 , 线性相关，则 a， b 满足关系式 . 29. 已知向量组 (I)与由向量组 (II)可相互线性表示，则 r(I)与 r(II)之 间向量个数 的大小关系是 . 30 向量 =(2,1)T 可以用 =
5、(0,1)T 与 =(1,3)T 线性表示为 . 31. 方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的 条件 . 32. 设 A 为 m n 矩阵 , 非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解的充要条件是 r(A) r(A|b )= . 33.已知 n 元线性方程组 AX b 有解，且 nAr )( ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 34.设 0 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 0xAE0 的 都是 A 的属于 0 的特征向量 . 35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1， 2， -3，则 1A 的特征值为 . 36.设 A 是 n 阶方阵， |A| 0,
6、*A 为 A 的伴随矩阵 ,E为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 0 ,则 EA 23* 必有特征值 . 37.,分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 21, 所对应的特征向量 ,则 与 的内积（ ,） = . 38.二次型 32414321 ),( xxxxxxxxf 的秩为 . 39. 矩阵 4 2 02401A 为正定矩阵 ,则 的取值范围是 _. 40. 二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3( , , ) 2 3 2 2f x x x x x t x x x x x 是正定的 ,则 t 的取值范围是 _. 41. A、 B、 C 代表三事件，事件“ A、 B、
7、C 至少有二个发生”可表示为 . 42. 事件 A、 B 相互独立，且知 0 .2 , 0 .5P A P B则 P A B . 43. 若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发 生的概率为 . 44. 在相同条件下，对目标独立地进行 5 次射击，如果每次射击命中率为 0.6， 那么击中目标 k 次的概率为 (05k). 45. 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P =1 P = 2 ,XX 则 P =3X = . 46. 设随机变量 X 的分布密度为 01( ) 1 20xxf x a x x 其它，则 a = . 47. 若二维随机变量（ X， Y）的联合
8、分布律为 Y X 1 2 1 1/16 3/16 2 a b 且 X， Y 相互独立，则常数 a = ,b = . 48. 设 X 的分布密度为 ()fx，则 3YX 的分布密度为 . 49. 二维随机变量（ X， Y）的联合分布律为 Y X 1 2 1 0.2 2 0.3 则 与 应满足的条件是 ，当 X， Y 相互独立时， . 50. 设随机变量 X 与 Y 相互独立 ， 且 (1, 2 ), (0 ,1).X N Y N令 Z = -Y + 2X +3， 则()DZ = . 51. 已 知 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 2( ) 1, ( ) 4E X E X. 令 Y 2X
9、3 ，则()DY = . 二、单项选择题 1 设 1)( xxf ，则 )1)( xff =（ ） A x B x + 1 C x + 2 D x + 3 2 下列函 数中，（ ）不是基本初等函数 A xy )e1( B 2lnxy C xxy cossin D 3 5xy 3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等 . A. 2 )1ln(x xxy 与 x xg )1ln( B. 2lnxy 与 xg ln2 C. xy 2sin1 与 xg cos D. )1( xxy 与 )1( xxy 4. 设 )(xf 在 0xx 处间断，则有（ ） (A) )(xf 在 0xx 处一定没有意义
10、； (B) )0()0( 0 xfxf ; (即 )(lim)(lim00 xfxf xxxx )； (C) )(lim0 xfxx不存在，或 )(lim0 xfxx； (D) 若 )(xf 在 0xx 处有定义，则 0xx 时， )()( 0xfxf 不是无穷小 5函数0,0,211)(xkxx xxf 在 x = 0 处连续，则 k = ( ) A -2 B -1 C 1 D 2 6.若)1()( xx aexfx ， 0x 为无穷间断点， 1x 为可去间断点，则 a （ ） . （ A） 1 （ B） 0 （ C） e （ D） e-1 7 函数 2222 4)2ln ( yxyxz 的
11、定义域为（ ） A 222 yx B 422 yx C 222 yx D 42 22 yx 8二重极限42200lim yx xyyx （ ） （ A）等于 0 （ B）等于 1 (C) 等于 21 （ D）不存在 9.利用变量替换 xyvxu , ，一定可以把方程 zyzyxzx 化为新的方程（ ） (A) zuzu (B) zvzv (C) zvzu (D)zuzv 10若 )()( xfxf ，在 ),0( 内 ,0)(,0)( xfxf 则 )(xf 在 )0,( 内（ ） . (A) ;0)(,0)( xfxf (B) ;0)(,0)( xfxf (C) ,0)(,0)( xfxf
12、(D) ,0)(,0)( xfxf 11.设 0)( xxf 在 的某个邻域内连续，且 0)0( f ， 12sin2)(lim20 xxfx，则在点 0x 处 )(xf （ ） . （ A）不可导 （ B）可导，且 0)0( f （ C）取得极大值 （ D）取得极小值 12.设函数 )(),( xgxf 是大于零的可导函数，且 0)()()()( xgxfxgxf ， 则当 bxa 时，有（ ） . （ A） )()()()( xgbfbgxf （ B） )()()()( xgafagxf （ C） )()()()( bgbfxgxf （ D） )()()()( agafxgxf 13. )
13、(,)()(,)( xFdttfxFxfxex 则且是连续函数设( ). （ A） )()( xfefe xx （ B） )()( xfefe xx （ C） )()( xfefe xx （ D） )()( xfefe xx 14.设 2,1)( 在xf 上具有连续导数，且 1)(,1)2(,1)1( 2 1 dxxfff， 则 2 1 )( dxxfx（ ） . （ A） 2 （ B） 1 （ C） -1 （ D） -2 15.设 baxf ,)( 在 上二阶可导，且 .0)(,0)(,0)( xfxfxf 记 ba dxxfS 1 )( )(2 abbfS ， )(2 )()(3 abbf
14、afS ，则有（ ） . （ A） 321 SSS （ B） 132 SSS （ C） 213 SSS （ D） 231 SSS 16.设幂级数 1 )1(nnn xa 在 1x 处收敛 . 则此级数在 2x 处 ( ). （ A）绝对收敛 （ B）条件收敛 （ C）发散 （ D）收敛性不能确定 17.下列命题中 ,正确的是（ ） . （ A）若级数 11 n nn n vu 与的一般项有 ),2,1( nvu nn 则有 1 1n n nn vu（ B）若正项级数 1n nu满足 11 ),2,1(1n nnn unuu 则发散 （ C）若正项级数 1n nu收敛，则 1lim 1 nnn
15、uu （ D）若幂级数 1nnnxa 的收敛半径为 )0( RR ，则 Raannn 1lim. 18.设级数 1 2)1(nnnna 收敛，则级数 1n na（ ） . （ A）绝对收敛 （ B）条 件收敛 （ C）发散 （ D）敛散性不确定 19. 微分方程 dydxdydxyx 的通解是（ ） （ A） ;ln cyxyx （ B） ;ln cyxyx （ C） ;ln cyxyx （ D） .ln cyxyx 20. 设 )(xfy 满足微分方程 055 yyy ，若 0,0 00 xfxf ，则函数 xf 在点 0x （ ） （ A）取极大值； （ B）取极小值； （ C）附近单调增
16、加； （ D）附近单调减少 . 21. 函数 xyy 在点 x 处的增量满足 012 xxoxxyy且 0y ，则 1y （ D） （ A） ;2 （ B） ; （ C） ;4e （ D） .4e 22. 若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有 ( ). (A) r=s (B) rs (C) r=s+1 (D) rs 23. 已知向量组 1 2 3 4( 1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , , 0 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 0 , 2 , 1 )k 线性相关 ,则k =( ) (A) 1 (B) 2 (C) 0 (
17、D) 1 24 向量组 12, , , s 线性相关的充分必要条件是 ( ) (A) 12, , , s 中含有零向量 (B) 12, , , s 中有两个向量的对应分量成比例 (C) 12, , , s 中每一个向量都可由其余 1s 个向量线性表示 (D) 12, , , s 中至少有一个向量可由其余 1s 个向量线性表示 25.对于向量组 12( , , , ),r ，因为 120 0 0 0r ，所以 12, , , r 是 . ( A )全为零向量 ; ( B )线性相关 ; ( C )线性无关 ; ( D )任意 . 26. 设 A， B 均为 n 阶矩阵，且 AB=O，则必有 （
18、） (A) A=O 或 B=O (B)|A|=0 或 |B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0 27若非齐次线性方程组 Am n X = b 的 ( )，那么该方程组无解 A 秩 (A) n B 秩 (A) m C 秩 (A） 秩 ( A ) D 秩 (A） = 秩 (A ) 28若线性方程组的增广矩阵为 412 21 A，则当 （ ）时线性方程组有无穷多解。 A 1 B 4 C 2 D 12 29.设 =2 是非奇异矩阵 A 的特征值 ,则 12)31( A 有一个特征值是 （ ） (A) 34 (B) 21 ( C) 43(D) 41 30 若二次型 232221321
19、 )3()2()1(),( xkxkxkxxxf 正定，则（ ） （ A） 1k （ B） 1k （ C） 2k （ D） 3k 31. 已知 (1, ,1)Tk 是矩阵 2 1 11 2 11 1 2A的特征向量 ,则 k =( ) (A) 1或 2 (B) 1 或 2 (C) 1或 2 (D) 1 或 2 32. 在随机事件 A， B， C 中， A和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表示为（ ） （ A） AC BC （ B） ABC （ C） A B C A BC A B C （ D） A B C 33. 袋中有 5 个黑球， 3 个白球，大小相同，一次随机地摸出
20、 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为（ ） （ A） 38 （ B） 53188（ C） 348 31C 88（ D）485C34. 设 A、 B 互为对立事件，且 0, 0,P A P B则下列各式中错误的是（ ） （ A） |0P B A （ B） |0P A B （ C） 0P AB （ D） 1P A B 35. 离散型随机变量 X 的分布列为 P X = k =ak , k = 1,2,3,4.则 a ( ) （ A） 0.05 （ B） 0.1 （ C） 0.2 （ D） 0.25 36. 设随机变量 X 的分布函数为 1( ) a r c t a n ( , )F x a x
21、 x a 为常数则 3 33PX （ ） （ A） 16 （ B） 13 （ C） 12 （ D） 23 37. 设随机变量 X 服从 , 4 2N P X,则 ，的值（ ） （ A）随 增大而减小； （ B）随 增大而增大； （ C）随 增大而不变； （ D）随 减少而增大 . 38 .设随机变量 2 ( , )XN ，则 Y aX b服从 ( ) （ A） 2( , )N （ B） (0,1)N （ C） 2)(, baN （ D） 22( , )N a b a 39. 对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，则每次射击的命中率等于（ ） （ A）
22、 0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4 40. 设随机变量 X 的概率密度为 221 |( ) , 00 | |xaf x aaxxa ，则 ()EX =( ). （ A） -1 （ B） 0 （ C） 1 （ D）以上结论均不正确 三、解答题 1.设22( ) 1ln( )axfxbx 000xxx，已知 ()fx在 0x 处连续 可导， 试确立 ba, 并求 ()fx 2.设 )s in,2( xyyxfz , 其中 ),( vuf 具有二阶连续偏导数 , 求yxz2 . 3设0,00,),(222222yxyxyx xyyxf 讨论 f(x,y)在（ 0，
23、0） （ 1）偏导数是否存在。 （ 2） .是否可微。 4.在过点 )6,3,1(P 的所有平面中 , 求一平面 , 使之 与三个坐标平面所围四面体的体积最小 . 5. xxx d2cos20 622| 4 |dxy ，其中 D 为圆域 229xy。 7设 ( , )f xy 在 122 yx 上连续，求证： )0,0(),(122220limfdyxfRRyxR 。 证明 2 2 2 ( , ) | D x y x y R 8.求幂级数 11 )4()1(nnn xn 收敛区间及和函数 )(xS ： 9求解 ;0)1(,132 yyxxy yy10求解 2)1(,0ta n yyxyxyx
24、. 11求解 044 yyy 满足 .00,20 yy 12求解 xeyyy 223 满足 ;10,10 yy 13设二阶常系数线性微分方程 xeyyy 的一个特解为 xx exey 12 ，试确定 , ，并求该方程的通解 . 14 计算下列行列式 cossin sincos， 15 计算下列行列式 260523211213141216 证明： )()()(111333bcacabcbacbacba 17 设 AX+E=A2+X，且 A= 1 0 10 2 01 0 1，求 X. 18 已知矩阵 36 760 101 2bbaa，求常数 a， b 19 将向量 表示成 321 , 的线性组合： （ 1） )2,0,1(),1,0,0(),1,2,1(),1,1,1( 321 20问 ， 取何值时，齐次方程组
