1、1关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点 与两个焦点 所构成的 称为焦点三角形。P12,F12PF设 ，则有：12F ，当 （即 为短轴顶点）时， 最大，12cosbr12r 此时 ca 的面积12PF2212 0sinitacobSrcy当 （即 为短轴顶点）时， 最大，且 1F 0ybSmaxb 221c（2）经过焦点 或 的椭圆的弦 ，称为焦点弦。F2AB设 ， 的中点为 ，1(,)(,)AxyB0(,)Mxy则弦长 12aexae（左焦点取“+” ，右焦点取 “-”）当 轴时， 最短，且ABx2minbABa关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消
2、去 ，得到关于 的一元二次方程，yx设交点坐标为 ，则有 ，以及 ，还可进一步求出12(,)(,)xy0A121,。 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法12,y2 点差法：设交点坐标为 代入椭圆方程，并将两式相减，可得12(,)(,)xy，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法2112bxxay典例剖析1 求椭圆的标准方程2 1 P2F1 AB2【例 2】设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，过 点作 的垂210xyabFAF线分别交椭圆于 ，交 轴于 ，且PQ85AP（1）求椭圆的离心率。（2）若过 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆的方程。,AF30xy【解】 （1）由已知可得：
3、2(,0)(,)(,)bcAQc由 可得： ，将 点坐标代入椭圆方程可得：85PB285,13bPP。 即 23bac22102acee（2）由（1）得： ，圆心为 ，半径(,0)Q(,)crc于是有： (圆心到直线距离) ， 所以 。21c ,3ab故椭圆方程为： 43xy【例 4】已知椭圆的中心在原点 ，短轴长为 ，右准线交 轴于点 ，右焦点为O2xA，且 ，过点 的直线 交椭圆于 两点F2Al,PQ（1）求椭圆的方程（2）若 ，求直线 的方程0PQl（4）求 的最大面积OA【解】 （1） 椭圆方程为：263,0cbaA， ， ， 216xy（2）设直线 的方程为： ，且设lxky12,P
4、xyQ联立 消去 ， 得：2163xyk2360k3则 121263,kyy从而求得：21212867,kxx由 得 ： ，求得 0OPQ0y5所以 的方程为：l53（4）由（1）得： 2k2212 363613OPQ kSAykA令 ， 则 230kt92OPQStA当且仅当，即 时，取“ ”2t6k所以 的最大面积为OPQ32 椭圆的性质【例 6】已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，在椭210xyab1,0Fc2,c圆上存在一点 ，使得P12F（1）求椭圆离心率 的取值范围e（2）当离心率 取最小值时， 的面积为 ，设 是椭圆上两动点，12PA6,AB若线段 的垂直平分线恒过定点 。求椭圆的
5、方程；求AB(0,3)Q直线 的斜率 的取值范围。k【解】 （1）设椭圆短轴的端点为 B,由已知及椭圆的性质得： 012129FP所以 ，从而 ，即 ，又0245OBF2tanOBcbb4，22bac所以 ，得： ，所以 。22ac21a2,1e（2）当 取得最小值 时， 在短轴顶点，eP所以 ， 又 ，126PFSbc22,cabc故求得： 。 所以椭圆方程为：4,4a2136xy设 ，12,AxyBxy设直线 的方程为 ， 的垂直平分线方程为：kbAB3yxk联立 消 去得：2136ykxby221430xkb则有 即 22430kkb2216k 又有: 从而122x122yk所以 的中点
6、为 。又 在 的垂直平分线上，AB,kMMAB所以 ， 即 22311bbk231bk 将代人求得： 786k求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足 ；（3 ） ；0ax0（4）椭圆内部的点 满足 ； 0,xy201xyab5【例 7】椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，斜率为 的直线过椭圆的右焦点 与椭圆x12F交于 两点， 与向量 共线。,ABOB3,a（1）求椭圆的离心率 e（2）设 为椭圆上任一点，若 ，求证：M,MOABR为定值2【解】（1）设椭圆方程为 ，设 ， ，210xyab1(,)xy2(,)xy由已知：直线
7、 AB 的方程为： ，代入椭圆方程，得：c，222()0abxcab由韦达定理得： ，易知：122c1212(,)OABxy因为 与向量 共线，所以 ，OAB3,a12123)0y而 ，所以 ，1212yxc12()(xcx即 ，于是有：123223aabb又 ，所以 ，故有： 。22bac2 6ce（2）由（1）得： ， ，所以椭圆方程为： ，23bc213xyb即 ，直线 AB 的方程为： ，22xyy于是有： ， ，从而 ，123b2134bx12b6。124by于是 。设 ，由已知： ，121230xy0(,)Mxy012xxyy将 M 的坐标代入椭圆方程得： ，221133b即 ，2
8、221 2233()xyxyxy于是有： 。 故 为定值。bb 1【例 8】已知 为椭圆 上一动点，弦 分别过焦点 ，A210xya,ABC12,F当 轴时，恰有 . C23AF（1）椭圆的离心率（2）设 ， ，判断 是否为定值？1B2C12【解】 （1）当 轴时，从而 AxbFa3bAFa依定义有 ，所以 12224而 ，所以 ，即 。2bac2cae（2）由（1）可知椭圆方程为： ， 21xy2,0,Fc设 01,AxyByC若 的斜率都存在，则直线 的方程为 AB0yxc代入椭圆方程，并整理得： 2 20003cxyc由韦达定理有20100yy7由已知： ；同理可得： 10032AFyc
9、xB 023cx所以 126若 有一个斜率不存在，不妨设 轴,CACx则 所以 2135c126综上所述 为定值。263. 最值问题【例 11】已知椭圆 ， 是垂直于 轴的弦，直线 交 轴于点 ，2:143xyCABx4xN为椭圆 的右焦点，直线 与 交于点FFNM（1）证明：点 在椭圆 上M（2）求 面积的最大值AN【解】 （1）由已知 。设 ，则 且 ，1,04,F,Amn,0Bn2143mn与 的方程分别为：ABN:1:4FyxNyx联立两直线的方程求得： 即 583225mnx583,25mnM因为222283(58)4(341nmn 2258)3614(m， 所以点 在椭圆 上21(
10、5)1mMC（2）设直线 的方程为 （过焦点）且AMxky12,AxyMxy8联立 221346904xykyk则由： 12126,y所以 21212121434ky所以 1222881AMNSFk 令 ，函数 递增， 所以当 时， 取得最小值 ，()3htt()htt()ht4故当 时， 取得最大值0kAMNS18942【例 14】已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆交于2:43xyC12,F1两点,AB（1）求 的面积的最大值2F（2）当 的面积最大值时，求 的值12tanFA【解】 （1）由已知得： 12,0,设直线 的方程为 ，且设ABxky12,xyBxy联立 22346
11、9014xky则有： 12126,yykk由已知可得： 212212AFBSy21124yy9263634k2222111433kkk令 易证函数在 上递增（*） ，1()gtt1,所以当 时， 取得最小值 ，()g4故当 时， 取得最小值 ， 故 的最大值为 。0k2231k42AFBS3（2）当 最大值时， ，从而 ，而 所以2AFBS013AF121124tan34 直线与椭圆的位置关系【例 16】已知 是椭圆 的左，右焦点，直线 与椭圆相切。12,F2:14xCyl（1）分别过 作切线 的垂线，垂足分别为 ，求 的值12,l MN， 12F（3）设直线 与 轴， 轴分别交于两点 ，求
12、的最小值。lxy,AB【解】 （1）设直线 的方程为 ，由已知: ， 。km1(3,0)2(3,0)所以 ； 。123FM2kFN于是 。21222311kmk联立 ，消去 y，的： 。24ykxm22(4)840x因为直线 与椭圆相切，所以l。2228(1)4)041kkmk10所以 为定值。22123(41)1kkFMN（2）易知： ， 。,0mA(,)B所以 222211(4)kkk。当且仅当 ，即 时取等2145432号。所以 。min3AB【例 17】已知椭圆 ，过点 作直线 与椭圆顺次交于 两点2:194xyC03P， l,AB（ 在 之间） 。 （1）求 的取值范围； （2）是否存在这样的直线 ，,PABl使得以弦 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求 的方程，若不存在，说ABl明理由。【解】 （1） 方法一：（联立方程法）当直线 的斜率存在时，设直线的方程为l 3ykx且设 。12,AxyBy联立 ， 消去 ，并整理得：2394k294540kxk则有 ， 求得：2259450kA2又有 12x12459kx设 ，则有 ，即 01APB212x
