1、 三角函数式的化简要求是:项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号 能求值得要求出值.一: 定义法例 1. 化简 xxsintasinta解: 设点 则且终 边 上 一 点为 角 ,),( 2yxrOPyP.tan,sixyrx0)(22ryxryxr原 式二: 弦切互化法例 2. x222 tan1)costan(sinta 化 简解: 原式 xxxx 2cos)si(sicosi)2csioi1(csi 22 ins2oin三: 变用公式例 3. oooooo 15tan0t5ta2t5ta1t 化 简解: 原式 )0(n ttnt1)ta25tnt01( 说明: 公式 在解题中
2、运用非常灵活.常常变形为tant(来使用.)t1)(tana四: 连锁反应法例 5. o78si642si化 简解: 原式 2c8co6i 6cos48cos21sin6=9is4s1sn21 说明: 此题分子分母同乘以 ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.6co五: 升降次法例 6. yxyxyx2cos)()(co22 化 简解: 原式 s1s1s)co()(212cos2cos1yxyx例 7. 48183:化 简解: 原式 )12cos(8)s(2x41co43)1cos(422xx2sin)(1六: 基本技巧例 8 (1) cosin1:化 简解: 原式 )cos(incs2
3、osin2si2)co( (2) ta .,ta的 值求已 知 xx解: xsin,21s41csosi 222 tan6e6s62xx5146角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。例 1、已知 sin=4sin(+),求证：tan(+)= 。4cosin证明：将角分解成=(+)由 sin(+)=4sin(+)得：sin(+)coscos(+)sin=4sin(+)即 sin(+)(cos4)=cos(+)sin从而 tan(+)= 。4cosin例 2、若 3tan=2tan(+)，则 sin(2+)=
4、5sin。证明：由条件有 3sincos(+)=2sin(+)cos，6sincos(+)=4sin( +)cos，从而 sincos(+)+cossin(+)=5sin(+)cossincos(+)，即 sin(2+)=5sin。例 3、已知 cos( +x)= ， ，求 的值。4534712xxtan1si2i解： )cos(incosi)(inta1si2inxxx而 cos( +x)= 0， ，于是 ，从而有 sin( +x)= 。45347246545注意到cos2( +x)=2cos2( +x)1=2( )21= sin2x= 于是原式= 。4453725775283)4(257以
5、上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。例 4、已知：+( ，)，(0， )，且 sin()= ，cos(+)= 22734 ，求 。1解：先求 2，而 2=(+)()，由题可得：cos()= ，sin( +)= ，711435cos2=cos(+)()=cos(+)cos()+sin(+)sin() = + =1473541又 +，0 0(+)()=22= 即= 6。22 3例 5、求(1+tan1 0)(1+tan20)(1+tan30) 的值。)45tan10解：由 10+440=20+430= 220+230及 (1+tan1 0)
6、(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440=1+tan(10+440)(1tan10tan440)+tan10tan440=1+1tan10440+ tan10440=2，同理有：(1+tan2 0)(1+tan430)= (1+tan220)(1+tan230)=2 因而原式=2 23。一般地，若 A =n (n 为奇数)，均可考虑用 tanB4化简。tan1()tan(t 例 6、求 tan250的值。20sico20解：上式即为 0025cossin5cini2分子=sin45 0+sin50cos450+cos50sin250=sin50+(sin8
7、50sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos70 0sin150，原式=cot15 0=2+ 。3和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。一. 合理选用公式来确定例 1 已知 ， 均为锐角， sin= ，求 + 的值。510， sin解析：由已知条件有 cos= ，且 0+。又23， cocos(+)=coscos-sinsin253105104 ，所 以 二. 借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对
8、两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例 2 已知 ，且 ， 都是第二象限角，试确定sin,cos35132+，2- 所在象限。解析：由条件 ， 都是第二象限角，则有 。257)3(1sin21cos543cosin2si13,54co， ）（所 以 因为 2+，2 都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定 2+，2 的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由 cos(2+)=cos2cossin2sin知 2+ 在一、四象限。0325132)54(17又 sin(2+)=
9、sin2cos+cos2sin（ ） （ ） 451372132035知 2+ 在一、二象限。综上知 2+ 在第一象限。同理可确定 2- 在第三象限。三. 挖掘隐含条件来确定例 3 已知 cos()= 都是锐角，求 cos(+)的值。、， 231sin2解析：由已知条件有 。32)31(2sin1cos,i202则 ， 又因为 0sin2= ，所以 02 ，所以 0 。 132 612又因为 0 ，所以 -0 。 由、得 - 。12又因为 cos（-）= ，所以 。120 = 。)(cos)sin(所 以 23从而 cos(+)=cos2-(-)=cos2cos(-)+sin2sin(-)。6
10、3221）（评析：本例通过 0sin2= ，发现了隐含条件：0 ，将 - 的132 12范围缩小为 ，进而由 cos(-)= ,将 - 的范围确定为22 ，从而避免了增解。 例 4 已知 ，且 tan,tna 是一元二次方程22 ， 的两个根，求 + 的值。解析：由已知条件得 tan+tan= x230，tantan=40，所以 tna0，tan0。又因为 ，22 ， 所以 所以-+0。又因为 tan(+)= ,。2 tant1= 所以 += 。3143评析：本例根据韦达定理 tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隐含条3件 tan0,tan0，知 ， ，得出了 + 的确切范围，从而顺
11、02 0。2利求解。条件三角函数式的求值例 1、已知 ，求 ； tan3sincos5i2incos解： = ；si2cos5i2t 222sicota17in1 0例 2、已知 ， 的值sico3， 0（ ， ） ins求解： n2sinc982sco09 （ ） 52sinco91-，259(i)又因为（ ）及 ，所以 ，即 ，所以0（ ， ） （ ， ） sinc5sinco3注：“已知 ”与 “未知 ”的联系是“sincosio= ”，从而目标是求出2()24nc(sinco)的值sinco例 3、 且 是第二象限的角，求 4si()1,5ta， ta解： 是第二象限的角， ，即 ，
12、=4sin5， 3cos54n3tantan()= tan71注：“未知 ”与“已知 ”和“已知 ”的联系显然是“ ”()例 4、 12cos(),34cos(),53,4且 2sin2求解： 又4 1co(),3所以可知 是第一象限的角， 是第三象限的角cs(),5 25in1(),13cos2sin()1(),5s ，s2i()icoin 314()565注：“未知 ”与“已知 ”和“已知 ”的联系显然是“”2()()例 5、已知 求（）1sin4， 1cos3，（） cos()-， co()解：解法一：i2 2sin16i1cos3co9s得： ；cs()-6328得： ，1cs()6即
13、 ，所以 72cos()cs()o4cos()778125解法二：把已知和差化积得：sin41sincos24co323 得： 即 51， 25cos()14， 263cos()=-8得： tan24cos()27tan注：求 利用方法一简单，求 利用方法二简单一般地，已知cos()- ()两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差积化和差与和差化积1、积化和差公式： sinsin=- cos(+)-cos(-) coscos=cos(+)+cos(-)sincos= sin(+)+sin(-) cossin= sin(+)-sin(-)积化和差公式是由正弦
14、或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：sincos= sin(+)+sin(-)2、和差化积公式sin+sin=2sin cos sin-sin=2cos sincos+cos=2cos cos cos-cos=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sin cos积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积
15、。合一变形也是一种和差化积。三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。例题选讲1、求下列各式的值cos40+cos60+cos8
16、0+cos160 cos23-cos67+2 sin4+cos26csc40+ctg80 cos271+cos71cos49+cos249解：cos40+cos60+cos80+cos160 = +cos80+2cos100cos60 = +cos80-cos80=cos23-cos67+2 sin4cos26 =2sin45sin22+ (sin30-sin22)= sin22+ - sin22=csc40+ctg80= += = = = = = =2cos30=解法一：cos271+cos71cos49+cos249 =(cos71+cos49)2-cos71cos49=(2cos60co
17、s11)2- (cos120+cos22)=cos211+ -cos22=cos211+ - (2cos211-1)=cos211+ -cos211+ =解法二：cos271+cos71cos49+cos249= + (cos120+cos22)+ = + cos142- + cos22+= + (cos142+cos98)+ +cos22 = +cos120cos22+ cos22=解法三设 x=cos271+cos71cos49+cos249 y=sin271+sin71sin49+sin249则 x+y=2(cos71cos49+sin71sin49) =2+cos22x-y=(cos2
18、71-sin271)+(cos71cos49-sin71sin49)+(cos249-sin249)=cos142+cos120+cos98=- +(cos142+cos98) =-+2cos120cos22=- -cos22 联立二式得 x=2、已知 sin+sin= cos+cos= 求 tgtg 的值解： 2+2 得 2+2(sinsin+coscos)= cos(-)= 2-2 得 cos2+cos2+2(coscos-sinsin)=- 2cos(+)cos(-)+2cos(+)=- 2 cos(+)+2cos(+)=-cos(+)=-又 sinsin=- cos(+)-cos(-)
19、=- (- - )=coscos= cos+)+cos(-)= - + =- tgtg= =- =-3、设函数 f(x)=asinx+bcosx+1 (a、b0 0 )的周期是 ，f(x)有最大值 7 且 f( )= +4(1)求 a、b 的值 (2)若 k+ (kz) 且 、 是 f(x)=0 的两根求tg(+)的值。解：(1)f(x)= sin(x+)+1 = 1+ =7 由条件asin +bcos +1= +4 a= b=6(2)由两式相减得 a(sin2-sin2)+b(cos2-cos2)=0 2asin(-)cos(+)+2b-sin(+)sin(-)=0k+ (kz) -k (kz) acos(+)-bsin(+)=0 tg(+)= = =4、求函数 y=cos2xcos(2x+ ) (0x )的最值解：y=cos2xcos(2x+ ) = cos(4x+ )+cos(- )= cos(4x+ )+0x 4x+ -1cos(4x+ ) - + y ymax= ,ymin=两角和与差的三角函数积化和差与和差化积1 把下列各式化为和或差的形式：求值：sec50+tg10。2 求值：sin6sin42sin66sin78。解法一 sin6sin42sin66sin78
