1、1特别解析：椭圆经典例题分类题型一 .椭圆定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；， a1b142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；0，A2462说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例 2 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982ykx21ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，得 x82ka92b12c2e4k当椭圆的焦
2、点在 轴上时， ， ，得 y k由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦8k点可能在 轴上，也可能在 轴上故必须进行讨论xy例 3 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352k解：由 得 ，且 满足条件的 的取值范围是 ，且,0,k4k53k4说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,035k5出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆0baba例 4 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围1cossin22yx)(y分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系
3、再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围2解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 1cossin122yxy0sin1co因此 且 从而 0ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注y2ain2b意题目中的条件 0例 5 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动P03，A6432yxB：圆圆心 的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，A03，B即 点
4、 的轨迹是以 ， 为两焦点，8MPAB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法题型二 .焦半径及焦三角的应用例 1 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ，012bayx 1A21F2是椭圆上一点， ， 求： 的面积（用 、 、 表示）P1PA21F21PFab分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CSsin1积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一yxP， yxP， P象限由余弦定理知：
5、21F221P1F224cos由椭圆定义知： ， 则 得： a21 cos1221bF3故 sin2121PFSPF sinco12b2ta例 2 已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是59yx),(A1F2 P椭圆上一点 求 的最大值、最小值及对应的点 坐标；1PFAP分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由62a)0,(2F2AP， ，1PFP，等号仅当
6、时成立，此6221aA 2AFP时 、 、 共线2由 ， ，等号仅当2AFP 62221 aAFPP时成立，此时 、 、 共线2AA2F建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点20yx4595,02yx、 )1457,9(1P )17,249(2P综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时，1FA26P2取最大值 2FA6题型三 参数方程应用例 1 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx4分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的.sinco3yx， sinco3，距离
7、为： 26i26icos3d当 时， 13sin最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程例 2 (1)写出椭圆 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积492yx分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1) sin2co3yx)(R(2)设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 轴和 轴，设Sxy为矩形在第一象限的顶点， ，)si,co3( )20(则 ， 故椭圆内接矩形的最大面积为 1212sini24S说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题
8、，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便例 3 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使12byax)0(xAP( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围APOe分析： 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为 点坐PAO标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个不等式，转化为关于 的不等abce式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是 ，sincobyx)0(则椭圆上的点 ， ，),cos(aP,aA ， ，AO1ii即 ，解得 或 ，0coss)( 222babacos2sba5 （舍去） ， ，又1cos1cos
9、12ba22ca ， ，又 ， 20ae0ee说明：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使 如何证明？)1,2( PAO题型四 相交情况下-弦长公式的应用例 1 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程5102解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，xy142yx1422mx即 ，解01252mx0622m得 5（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ，x2 521mx5121mx根据弦长公式得 ： 解得 方程为 51024521m0mxy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关
10、弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的x1F3直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长ABA分析：可以利用弦长公式 求得，也可以4)(11212122 xxkk利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解6因为 ， ，所以 因为21xkAB 4)(21212xxk6a3b3c焦点在 轴上，所以椭圆方程为 ，左
11、焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，86721x1x2所以 ， ， ， 13721x38621xk从而 1348)(22122 xxkAB( 法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ，19362yxmAF1nB1mAF12nBF12在 中， ，即 A 3cos221122 F；363)(2mm所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 4621B346n1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是0863721x1x2， 的横坐标再根据焦半径
12、， ，从而求出AB1eaAF2exaB1BFA题型五 .相交情况下点差法的应用例 1 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为x01yxM中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程ABOM解：由题意，设椭圆方程为 ，12ya7由 ，得 ，102yax02xa ， ，21aM 21ayM， ， 为所求42xykO24yx说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例 2 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，
13、故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，并整理得k21xy 由韦达定理得 0231221xkx 221k 是弦中点， 故得 所以所求直线方程为 P211k 034yx分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜率：yx， 2， 1x21y221xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得21，P1yxA， 2yxB，1.22121yxyx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 所求直线方程为 21x210342yx8说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过
14、定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用例 3 已知椭圆 ， （1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1，A（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN，
15、MNyxR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有2xx，0212121 xyy将代入得 21（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xy 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意，204601643为所求034yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 0yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy 022yx（4）由得 ， 将平方并整理得：2211y9， 21214xx 212214yy将代入得： 42121再将 代入式得： ， 即： 2121xy 21212 xyx 12yx此即为所求轨迹方
16、程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 4 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆1342yxC： mmxyl4：上有不同的两点关于该直线对称C分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1) 直线 ；(2)弦ABl lAB的中点 在 上利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围ABMl解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于),(1yx),(2yxll点),0yx 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lkABnxy41,1342yxny。 于是 ，08168322nx 13821 210，即点 的坐标为
17、点 在直线 上，3400yM),4(nMmxy解得 mn14将式代入式得 0816922mx ， 是椭圆上的两点， 解AB 0)48169(34)(2得 132m(法 2)同解法 1 得出 ， ，n4mx)413(0，即 点坐标为 mxy)(400M)3,(m ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， ABM1)4)(2210解得 132m(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为),(1yxA),(2yxBlABlM ， 在椭圆上， ， ,0 13421y1342yx两式相减得： ，0)()(321212121 xx即 04)(2210210 y)(421021xy
18、xy又直线 ， ， ，即 。lABlABk43003又 点在直线 上， 。由，得 点的坐标为 以下同解法 2.Mlmxy0M),(m说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参l数满足的不等式：(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式 ，建立参数方程(2)利用弦 的中点 在椭AB),(0yxM圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立参数不等式120byax0xy例 5 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程),4(Pl19362l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，yx得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )xy 21x121的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，)4(2xky整理得： 036)4(8)14( 22 kxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yxB1x214)(8221kx 为 中点， ， 所求直线方程),PB14)(2421k2
