1、高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）一个圆 一个点 半圆 平行四边形答案：2在长方体 中，下列关于 的表达中错误的一个是（ ）1ABCD1AC 1BD 1 11()2答案：3若 为任意向量， ，下列等式不一定成立的是（ ），abcRm ()()c abc ()bm (abc答案：4若三点 共线， 为空间任意一点，且 ，则 的值为（ ，ABCPPABC）1 1122答案：5设 ，且 ，则 等于（ ）(43)()ab，xzabxz 9 9649答案：6已知非零向量 不共线，如
2、果 ，则四点12e， 1221283eee，ABCAD（ ），ABCD一定共圆恰是空间四边形的四个顶点心一定共面肯定不共面答案：7如图 1，空间四边形 的四条边及对ABCD角线长都是 ，点 分别是aEFG，ACD，的中点，则 等于（ ）2 BA2B 2FGCEFC答案：8若 ， ，且 ，123123123，aebece123dexyzdabc则 的值分别为（ ），xyz 55， 5，512，答案：9若向量 与 的夹角的余弦值为 ，则 （ ）(12)，a(12)，b89 或 2 或2 55答案：10已知 为平行四边形，且 ，则顶点 的坐标为（ ABCD(413)(21)(37)ABC， D） 7
3、412，(2)，(4)，(513)，答案：11在正方体 中， 为 的交点，则 与 所成角的（ ）1ABCDOACBD，1COAD 60903arcos 3arcos6答案：12给出下列命题：已知 ，则 ；ab()()cbac 为空间四点，若 不构成空间的一个基底，那么 共，ABMNBAMN， ABMN，面；已知 ，则 与任何向量都不构成空间的一个基底；ab，若 共线，则 所在直线或者平行或者重合，正确的结论的个数为（ ）1 2 3 4答案：二、填空题13已知 ，向量 与 轴垂直，且满足 ，则 (315)(23)，abcz94，cabc答案： 20，14已知 三点不共线， 为平面 外一点，若由向
4、量，ABCOABC确定的点 与 共面，那么 1253OPP，答案：15已知线段 面 ， ， ， 面 于点 ， ，且ABCDBF30DCF在平面 的同侧，若 ，则 的长为 D， 2A答案： 216在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和 ，则异面1ABCD1BCD6045直线 和 所成角的余弦值为 1答案： 64三、解答题17设 ，试问是否存在实12342325，aijkaijkaijkaijk数 ，使 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，请写出，41，证明答案：解：假设 成立4123aa，12 4()()(1)(325)a，23，解得5， 2，所以存在 使得 213v，4123aa理由即为
5、解答过程18如图 2，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求 与侧面1ABCa2a1AC所成的角1AB解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 113(0)(0)(2)2， aaAa由于 是面 的法向量，(1)，n1B11 132cos 60aACAC， nn故 与侧面 所成的角为 11B3019如图 3，直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱1ABC 90ACB分别是 与 的中点，点 在平面 上的射影是12ADE， EBD的重心 ，求点 到平面 的距离B G1D解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，2Aa则 1 21(20)(20)()(0)(1)3aAaaEG，从而 (2)3GEBD
6、a，由 ，得 ，01则 1(20)()(1)AE，自 作 面 于 ，并延长交 面于 ，设 ，HDMxOyH(0)xy则 1(2)xy，又 ， 0A(1)AE，由 得 120()HDxy 1xy，(0)H，又 11cosAMA，11426cos3A，20已知正方体 的棱长为 2， 分别是 上的动点，且1BCDPQBCD，确定 的位置，使 2PQPQ，1BD解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，t得 ， 2()Ct2()那么 ，2110(0)()0BDPtt，从而 ， ，2()Qt1(Dt，由 ，110P即 2()()41ttt故 分别为 的中点时， Q，BCD，1QBPD21如图 4，在底面是
7、直角梯形的四棱锥 中， ， 面 ，SAC90BSABCD，求面 与面 所成二面角的正12SAA，切值解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 1(0)(10)()0(0)2BCDS，延长 交 轴于点 ，易得 ，CDxF作 于点 ，连结 ，AESE则 即为面 与面 所成二面角的平面角SBA又由于 且 ，得 ，SAFA102E那么 ， ，102E，D，从而 ，6cos3AE，因此 2tanF，故面 与面 所成二面角的正切值为 SCDBA222平行六面体 的底面 是菱形，且 ，试1CDAB11CBDC问：当 的值为多少时， 面 ？请予以证明1C1解：欲使 面 ，只须 ，且 A1B11欲证 ，只须证 ，1
8、D0CAD即 ，1()()C也就是 ，1()0B即 221 11coscos0DCDBCB 由于 ，显然，当 时，上式成立；1同理可得，当 时， CD1ACB因此，当 时， 面 11D一.选择题：(10 小题共 40 分)1.已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点A、B、C 一定共面的是 ( )A. B. OM OCBAOM2C. D.OCBAOM312 OCBAM31312.直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ( )Cba11,则A. B. C. D.cbacbccba3.若向量 、 ( )且向 量和垂 直 向 量 Rnam,(, 则)0A
9、. B. C. D.以上三种情况都可n/nm也 不 垂 直 于不 平 行 于能4.以下四个命题中,正确的是 ( )A.若 ,则 P、三点共线OBAP312B.设向量 是空间一个基底，则 + ， + ， + 构成空间的另一个基底,cbaabcaC. )(D.ABC 是直角三角形的充要条件是 0ACB5.对空间任意两个向量 的充要条件是 ( )bao/),(,A. B. C. D.baaba6.已知向量 的夹角为 ( )与则),21(),20(A.0 B.45 C.90 D.1807.在平行六面体 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若1DCBA，cbaBA111,则下列向量中与 相等的是 ( )
10、A. B. C. D.-c2cba21cba21cba218.已知 ( )的 值 分 别 为与则若 ,/),6(),01(baA. B.5，2 C. D.-5，-2,5 59.已知 ( )的 数 量 积 等 于与则 bakjikji 3,3A.-15 B.-5 C.-3 D.-110.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM与 CN所成角的余弦值是 ( )A. B. C. D.52525310二.填空题: (4 小题共 16 分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线
11、，则 m+n= .12.已知 A（0，2，3） ，B（-2，1，6） ，C（1，-1，5） ，若aAaa则 向 量且 ,| 的坐标为 .13.已知 是空间二向量，若 的夹角为 .b, bab与则,7|,2|,3| 14.已知点 G 是ABC 的重心，O 是空间任一点，若 为 .的 值则 ,OGCBA三.解答题:(10+8+12+14=44 分)15.如图：ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AD，M、N 分别是 PC、AB 中点，(1)求证：MN平面 PCD；(2)求 NM 与平面 ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是 300，求这
12、条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥 SABCD 中，所有棱长都是 2，P 为 SA 的中点，如图.(1)求二面角 BSCD 的大小；(2)求 DP 与 SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N分别是 A1B1，A 1A 的中点；(1)求 ;的 长N(2)求 ;,cos1的 值(3) .:1MCBA求 证(4)求 CB1与平面 A1ABB1所成的角的余弦值.高中数学选修 2-1 测试题(10)空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60 0
13、14.315.(1)略 (2)45 0 16.450 17.(1) (2) 1318.(1) (2) (3) 略 (4) 331018.如图，建立空间直角坐标系 Oxyz.（1）依题意得 B（0，1，0） 、N（1，0，1）| |= .BN3)0()()0(222（2）依题意得 A1（1，0，2） 、B（0，1，0） 、C（0，0，0） 、B 1（0，1，2） =1，1，2， =0，1，2， =3，| |= ，| |= cos=BC1651A.30|1A（3）证明：依题意，得 C1（0，0，2） 、M（ ，2） ， =1，1，2， =1,BAMC1，0. = +0=0， ，A 1BC 1M.21,B11C图
