1、 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师0A、等差数列知识点及经典例题一、数列由 与 的关系求naSna由 求 时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 。1()2nnSa例根据下列条件，确定数列 的通项公式。na分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用 与 的关系求解。naS解答：（1）（2） 累乘可得，故（3）数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师1二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义， ，第二
2、种是利用等差中项，即 。1()2nadn常 数 12(2)nna2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。（1）通项法：若数列 的通项公式为 n 的一次函数，即 =An+B,则 是等差数列；nanan（2）前 n 项和法：若数列 的前 n 项和 是 的形式（A，B 是常数），则 是等S2nna差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例已知数列 的前 n 项和为 ，且满足anS11120(2),nnSaA（1）求证： 是等差数列；1nS（2）求 的表达式。a分析：（1） 与 的关系 结论；1120nnSSAn1S（2）由 的关系式 的关系式
3、nnna解答：（1）等式两边同除以 得 - +2=0，即 - =2（n2）. 是以1nSAnS1nS1nS数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师2= =2 为首项，以 2 为公差的等差数列。1Sa（2）由（1）知 = +（n-1）d=2+(n-1)2=2n, = ,当 n2 时，1nSnS12=2 = 。又 ，不适合上式，故 。naS1n2()12a(1)22()nna【例】已知数列a n的各项均为正数，a 11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa a np(pR)，则a n的通项公式为2n_a 11，2a 12pa a 1p，21即 22p1p，得 p1.于是 2Sn2a a n1.2
4、n当 n2 时，有 2Sn1 2a a n1 1，两式相减，得 2an2a 2a a na n1 ，整理，得2n 1 2n 2n 12(ana n1 )(ana n1 )0.12又a n0，a na n1 ，于是 an是等差数列，故 an1( n1) .12 12 n 12（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 = +（n-1）d 及前 n 项和公式 ，共涉及n1 11()()2nnaSd五个量 ， ，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；anS2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 d 是等差数列的两个基本量，1a用它们表示已知和未知是常
5、用方法。注：因为 ，故数列 是等差数列。11()22nSddanS例已知数列 的首项 =3，通项 ，且 ， ， 成等差数nx(,)nxpqNp为 常 数 1x45数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师3列。求：（1） 的值；,pq（2）数列 的前 n 项和 的公式。xnS分析：（1）由 =3 与 ， ， 成等差数列列出方程组即可求出 ；（2）通过 利用条件分成14x5 ,pqnx两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由 =3 得 1x23pq又 ，得 451542,2xpx且 55328pq由联立得 。（2）由（1）得， nx2（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若
6、 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足 ，前 n 项和 最大；10nanS（2）若 a10，且满足 ，前 n 项和 最小；10nan（3）除上面方法外，还可将 的前 n 项和的最值问题看作 关于 n 的二次函数最值问题，利用二S次函数的图象或配方法求解，注意 。N数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师6例已知数列 是等差数列。na（1）若 ,(),;mmna求（2）若 .nSS求解答：设首项为 ，公差为 ，1ad（1）由 ，,mn1mn ()()0. （2）由已知可得 解得12,()adnm21 .()nmna1() ()2mn nSadn【例】已知数列a n的各项均为正数，S n为其前
7、 n 项和，对于任意的 nN *，满足关系式 2Sn3a n3.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n的通项公式是 bn ，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有1log3anlog3an 1Tn1.(1)解 当 n1 时，由 2Sn3a n3 得，2a 13a 13，a 13.当 n2 时，由 2Sn3a n3 得，2Sn1 3a n1 3.两式相减得：2(S nS n1 )3a n3a n1 ，即 2an3a n3a n1 ，a n3a n1 ，又a 130，a n是等比数列，a n 3n.验证：当 n1 时，a 13 也适合 an3 n.a n的通项公式为 an
8、3 n.(2)证明 b n 1log3anlog3an 1 1log33nlog33n 1 ，1(n 1)n 1n 1n 1T nb 1b 2b n(1 )( )( )12 12 13 1n 1n 11 1.1n 1等差数列习题数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师71. 设 an为等差数列， Sn为 an的前 n 项和， S77， S1575，已知 Tn为数列 的前 n 项数，求SnnTn2已知数列 是等差数列，其前 n 项和为 ， n n12,63a（）求数列 的通项公式；（）求 na nSS1212.解：设数列 an的公差为 d，则 Sn na1 n（ n1）d12 S77， S157
9、5， ， 7a1 21d 715a1 105d 75) a1 2d 1 ) a1 （ n1） d2 （ n1）Snn 12 12 数列 是等差数列，其首项为2，公差为 ，Sn+1n 1 Snn 12 Snn 12 Tn n(2) n2 nn（ n 1）2 12 14 9414解：（）设数列 的公差为，由题意得方程组 ，解得na12361da，数列 的通项公式为 ，即 21dan ndan2)(1（） ， n )(2)(1Snn n12 )1(3n)1()3()( B、等比数列知识点及练习题等比数列及其前 n 项和（一）等比数列的判定判定方法有：（1）定义法：若 ，则 是等比数列；1 1()()
10、n naaqq 为 非 零 常 数 或 为 非 零 常 数 且 2na（2）中项公式法：若数列 中， ，则数列 是等比数列；n220nnnNA且 n数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师8（3）通项公式法：若数列通项公式可写成 ，则数列 是(,0)nacqnN均 为 不 为 的 常 数 ， na等比数列；（4）前 n 项和公式法：若数列 的前 n 项和 ，则数列(,01)nSkkqA为 常 数 且是等比数列；na注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例在数列 中， 。
11、na112,431,nanN（1） 证明数列 是等比数列；（2） 求数列 的前 n 项和 ；nS（3） 证明不等式 对任意 皆成立。14N解答：（1）由题设 得 。又 所以数列31,na(1)4(),nnaaN1,a是首项为 1，且公比为 4 的等比数列。na（2）由（1）可知 ，于是数列 的通项公式为 。所以数列 的前 n 项1nnn 1n和 。4()32nS（3）对任意的 ，N，所以不等式1 214()241()1(34)0332n nnS n 对任意 皆成立。1n（二）等比数列的的运算等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量 ， ， ， ， ，显然，1anqnS“知三
12、求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式。数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师9例设数列 的前 n 项和为 ，且 =2-2 ；数列 为等差数列，且 。bnSbnSna6714,20a（1） 求数列 的通项公式；（2） 若 ， 为数列 的前 n 项和，求证： 。【放缩法】()ncaNAnTc72nT解答：（1）由 =2-2 ，得 ，又 = ，所以 = ，由 =2-2 bnS112bS1b13bnS得 1nn-得 ， ， 是以 为首项，以 为公比的等比112nnbnb2313数列，所以 = 。3()（2） 为等差数列， ， 从而na753ad 231115()8()33nnTAA A 4 1)()(3n-得=（三）等比数列性质的应用在等比数列中常用的性质主要有：（1）对于任意的正整数 若 ，则 特别地，若
