1、-共*页，第*页高等流体力学1、流体的运动用=,=+2 +2,=+2 2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。解：由题可知速度分量为：=0=+22=+2+2=则速度的拉格朗日描述： =(0,+22,+2+2)速度的欧拉描述： =(0,)2、速度场由 给出，当 时求质点 的速度及加=(2,2,) =1 (1,3,2)速度。解：由 可得速度分量式为：=(2,2,) =2=2=则当 t=1 时，质点 的速度为： ；(1,3,2) =(1,3,2)加速度为=+=+=+=2+22+20+0=2+20+22+0=0+2+20+，即加速度为：=1+2+0+0=3=6+0+3+0=8=0+2+0+2=4 =(
2、3,9,4)3、速度场由 给出，求速度及加速度的拉格朗日表=(+2,2,0)示。解：由题可得速度场 ，则由 得 ，解微分方=(,)=(+2,2,0)=+2=2=0 =2=2=0 程得 ，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中 为任意常数。=1122223=2+12+22+23=3 1,2,3则 ，=1222=2222=3 =22=122=22=222=0 得速度的拉格朗日表达式为： =(1222,2222,3)-共*页，第*页得加速度的拉格朗日表达式为： =(122,222,0)4、已知质点的位置表示如下： =,=+(21),=+(31)求：（1）速度的欧拉表示；（2）加速度的欧拉表示及拉格朗
3、日表示，并分别求 及(,)=(1,0,0)的值；(,)=(1,0,0)（3）过点 的流线及 在 这一质点的迹线；(1,0,0) =0 (,)=(1,1,1)（4）散度、旋度及涡线；（5）应变率张量及旋转张量。解：(1) 由 得=+(21)=+(31) =(21)=(31)由题得 ，则速度的欧拉表示为=0=22=22=33=33 =(0， 22,33)(2) 加速度分量为 ，=+=0=+=42=42=+=93=93则加速度的欧拉表示为 ;=(0,42,93)则加速度的拉格朗日表示为 ；=(0,42,93)当 时，(,)=(1,0,0)及 (,)=(1,0,0) =(0,42,93)(3) 流线微
4、分方程式为 ，因为 所以，流线微分方程转化为 ，消去中间= =0 22= 33变量积分得 ，又因为 ，当 时，得到 =0， ，即过点(1,0,0)的=23+1 = =1,=0 1 =1流线为 =1=23由迹线微分方程为 ，将 代入得质点轨迹方程为=+(21)=+(31) =0， (,)=(1,1,1)=1=2=3(4) 散度 =+=0+0+0=0旋度 =()+()+()=0+33+22涡线微分方程为 ，又因为 ，涡线微分方程转化为 ，即= =0 33= 22,=涡线方程为 =32+2=3 (5) 速度梯度 = ，= 0 0 0220 033 0 0-共*页，第*页应变率张量= 12(+) 12
5、(+)12(+) 12(+)12(+) 12(+) =0 23232 0 0323 0 0 旋转张量=0 12() 12()12() 0 12()12() 12() 0 5、已知拉格朗日描述为=2=（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场；（2）求 t=1 时在点（1,1,1）的加速度；（3）求过点（1,1,1）的流线。解：6、已知 ，求=+1,=,=0（1）速度的拉格朗日描述；（2）质点加速度；（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；（4）迹线及流线。解：(1) 由 ，又由 得 ，由 得=+1得 =11 =11 =1+2 =0。再由初始条件 得 ， 则速度的拉格=3
6、=0,(,)=(,) 1=+1,2=1,3=朗日描述为 =(+1)=(+1)1=0 (2) 质点加速度为=0(3) 散度 =+=1+0+0=1旋度 =()+()+()=1因为旋度不为 0，故为有旋运动-共*页，第*页因为散度不为 0，故流体为可压缩流体(4) 由（1）可得迹线方程为 =(+1)1=(+1)+= 流线微分方程 ，又因为 ，所以流线微分方程转化为 ，解之得= =0 +1=，由初始条件 得=ln(+1)+4 =0,(,)=(,) 4=+ln(+1)所以流线方程为 =ln(+1)+ln(+1)= 7、一水箱尺寸如图所示，箱外大气压 ，计算下列=1.013105两种情况下地窗口 AB 两
7、侧所受的流体合力。 （a）水面上方气体压力；（b）= =1.255105解：（a） 不妨设 AB 两侧所受的流体合力为 则 =水 =9807(3+121.5sin30)(1.53)=1.489105（b） ，需重新设立水平面，不妨设新的水平面=1.255105=1.013105距离原先水平面为 h，由 得=+水 =2.468则 =水 (+)=9807(3+2.468+121.5sin30)(1.53)=2.5791058、如图的微测压计用来测量两容器 E 和 B 中的气体压强差。试用表示 PE-PB,并说明当横截面积 aA，而且两种溶液密度, 相,1,2 1和 2近时，很小的 PE-PB 就能
8、引起很大的液面高度差 d,从而提高测量精度。解：根据流体静力学规律知 ，+1=+1(+)+2即 =1+(21)又由图可知， ；所以= =又有题可知 aA，即 ，=0 =(21)-共*页，第*页 =(21)故当两种两种溶液密度相近时，很小的 就能引起河很大的液面高度差 d。9、图为装在做水平匀加速运动物体上的 U 型管式加速度测量器，已测得两管耶中得液面差 h=4cm,两管相距 L=20cm,求该物体加速度的大小和方向。解：选坐标系 点置于 U 型管左侧的自由液面上， 轴向右， 轴向上。, 质量力 ，将其代入 并积分得=,= =(+) =(+)+由边界条件 得 。另外由 得=0， =0,=0 =
9、0 =， =,=0 =综上所得可知该物体加速度的大小为 ，方向往左。10、如图一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压器，容器装满水，测压管中的水面比顶盖高 h，圆柱形容器直径为 D，当它绕其竖直轴以角速度 旋转时，顶盖受到多大的液体向上的总压力？解：如图建立 坐标系，对 积分得 =(+)=(2+2)，则有边界调节 得 ，即得压强的公式为=(222)+ =0， =0,=,=0 =。故在顶盖处的压强为 ，则顶盖受到的向上的力为=(222+) =(222+)-共*页，第*页=20(222+)2=2464 +2411、一个充满水的密闭容器，以等角速度 绕一水平轴旋转。试证明它的等压面为圆柱面，且该圆
10、柱面的轴线平行于转动轴，并比转动轴高 。2解：以 z 轴为水平轴，y 轴垂直向上建立空间直角坐标系。对 ，又因为等压面 ，令 再=(+)=(2+2) =0 =0对上式积分得 ，又r=0 时，y=0 得 c=0，于是等压面方程为222=0 222=转化为 ，即为 ，该式表明等压面为圆柱面，半径为 ，222= 2(2+2)2 = 2+(2)2=(2)2 2中心位于 ，即等压面的中心轴比容器的转动轴高(0，2) 212、试求图中窗口所受内外流体作用力合力的大小和位置，窗口外为大气。解：窗口所受合力为=(690000+98071.59807398071.5101300)2.53=41.9510513、
11、如图所示圆柱型堰，直径 2R=3m，长 L=6m，试求两侧静止流体对于堰上的合力大小，方向及作用线。解：(1) 堰的左侧-共*页，第*页水平方向分力的大小： =12=98073236=264789铅垂方向分力的大小： =82=98078326=207965(2) 堰的右侧水平方向分力的大小： =222=980734326=66197.25铅垂方向分力的大小： =162=98078326=103982.5故堰上总压力水平分力的大小为 =198591.75铅垂分力的大小为 =+=311947.5故总压力为 =2+2=369797.1416=tan1=57.52所以合力的方向与 轴成 角。合力的作用
12、线通过 点： ， (,) =cos57.52=0.806=sin57.52=0.23514、与水平面成 45的斜壁上有一半径为 R 的圆孔，孔心的深度为 H，现用以半球面堵住孔，如图所示，试求半球面所受液体压强合力 F 的大小和方向（不计大气压强的作用）解：半球面的水平投影是椭圆：在此处键入公式。15、曲面形状为 3/4 个圆柱，半径为 r=0.8m，宽度为 1m，其中心线沿水平方向，位于水面下 h=2.4m 深处，求曲面所受液体总压力。-共*页，第*页16、已知平面流动的速度分布为 。试确定=2+26,=22流动：（1）是否满足连续性方程？（2）是否有旋？（3）如存在速度势和流函数，求出 和 。-共*页，第*页17、如图所示，水从密闭容器中恒定流出，经一变截面管而流入大气中，已知 H=5m， ， ， ， 。若不计流动0.5atp231cm50A2c1024cm5A损失，试求：（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量；（2）各截面上的总水头。(1at = 98000Pa)-共*页，第*页18、已知流动的速度分布为 ，其中 为常数。 （1）试求流2()uayxva线方程；（2）判断流线是否有旋，若无旋，则求速度势 。19、设一虹吸管 ， ，管直径 。试求：（1）管内的流ma2h6cmd5量；（2）管内最高点 S 的压强。
