1、12014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版)十一、数列（逐题详解）第 I 部分 1.【2014 年重庆卷（理 02） 】对任意等比数列 ,下列说法一定正确的是（ ）na成等比数列 成等比数列139.,Aa236.,B成等比数列 成等比数列248C9Da【答案】D【解析】设 公比为 ，因为 ，所以 成等比数列，选择naq33696,qa369,aD2.【2014 年福建卷（理 03） 】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=2，S 3=12，则 a6等于（ ）A8 B 10 C12 D14【答案】C【解析】由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得 a
2、2=4，公差 d=a2a 1=42=2，a 6=a1+5d=2+52=12，故选：C3.【2014 年辽宁卷（理 08） 】设等差数列 的公差为 d，若数列 为递减数列，则na12na（ ）A B C D0d0d10d10【答案】C【解析】等差数列a n的公差为 d，a n+1a n=d，又数列2 为递减数列， = 1，a 1d0故选：C24.【2014 年全国大纲卷（10） 】等比数列 中， ，则数列 的前 8 项na452,algna和等于（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】等比数列a n中 a4=2，a 5=5，a 4a5=25=10，数列lga n的前 8 项和S=lga1+
3、lga2+lga8=lg（a 1a2a8）=lg（a 4a5） 4=4lg（a 4a5）=4lg10=4 故选：C第 II 部分 5.【2014 年上海卷（理 08） 】设无穷等比数列 的公比为 ，若naq，则 .134limnnaa q【答案】 512q【解析】： ， ，2311 15102aqq01q52q6.【2014 年广东卷（理 13） 】若等比数列 na的各项均为正数，且 512910ea，则 1220lnlnaa 。【答案】 50【解析】由题意得， ，又 ，5109120ae0na = = = = .122lnlnaa () 120l()5le7.【2014 年北京卷（理 12）
4、 】若等差数列 满足 ， ，则当na7890a710a_时 的前 项和最大.nna3【答案】8【解析】由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a80，a 80，又a7+a10=a8+a90，a 90，等差数列a n的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，等差数列a n的前 8项 和最大，故答案为：88.【2014 年江苏卷（理 07） 】在各项均为正数的等比数列 中，若 ，na12，则 的值是 268a6【答案】4【解析】根据等比数列的定义， ，所以由 得242628,qaaq 268a，消去 ，得到关于 的一元二次方程 ，解得2426qaqa2 0)(2， 419.【2014 年天津卷
5、（理 11） 】设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前 项na1nS和，若 、 、 成等比数列，则 的值为_.1S241【答案】 -【解析】依题意得 ，所以 ，解得 .214S=()()21146aa-=-12a=-10.【2014 年安徽卷（理 12） 】数列 是等差数列，若 构成公比为n 5,3,1的等比数列，则 _qq【答案】1【解析】由题意得 596)5(1)3( 15322 aaaa设 代入上式得dnn11n，故公比53q xOy13420A124第 III 部分11.【2014 年重庆卷（理 22） 】设 211, (*)nnaabnN（1）若 ，求 及数列 的通项公式；b2
6、3,（2）若 ，问：是否存在实数 使得 对所有 成立？证明你c221nn的结论.解：（1）当 时 ，平方变形为：1b20nnaa，故 为等差数列，首项为 ，公差为 ，22()na(1)01故 ，故()n23,1（2）此时 ，当 时求得不动点 ，计算21naxx4x前几项得 发现 ，猜测存在 。下面证明23,0,1,2304a1c加强结论 。214nna当 时已经验证结论成立。1假设 ，则由 在 上单*2210(,)kkkN2()1fxx0,)调递减可知： ，即 也是成立的。21204kka2214kka由数学归纳法可知 对任意 成立。2210nn*N所以存在常数 满足题意。14c12.【201
7、4 年湖南卷（理 20） 】(本小题满分 13 分)已知数列 满足 ， ， .na1nnpa|1*N（1）若 是递增数列，且 ， ， 成等差数列，求 的值；23p（2）若 ，且 是递增数列，是 递减数列，求数列 的通项公式.p12n2nna5解：（1）因为 是递增数列，所以 ，而 ，因此na nnnpaa|11 1， ，又 ， ， 成等差数列，所以p12 23p23，因而 ，解得 或 ，3124a02p0但当 时， ，与 是递增数列相矛盾，故 .0pn1na31p(2) 由于 是递增数列，因而 ，于是12na012n0)()(12na且 ，所以 12n | 1221nna则可知， ，因此 ，
8、012na 12122)(nnn因为是 递减数列，同理可得 ，2na021na故 ， nnn2221)(由即得 . 于是nna)1(1 )( 1232 nn aa1)(n.2)(3421(1n故数列 的通项公式为na *).()1Nann13.【2014 年全国大纲卷（18） 】 （本小题满分 12 分）等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .anS10a24nS6（1）求 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .1nbbT解：（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，从而有nad10a10()nad若 ， ，此时 不成立0dnS4S若 ，数列 是一个单调递增数列， 随着
9、 的增大而增大，也不满足nS4nS当 时，数列 是一个单调递减数列，要使 ，则须满足 即na4540a，又因为 为整数，所以 ，所以10410532dd 21addZ3此时 ()3na（2）由（1）可得 1 111()()0(3)0303nbnnn所以 1374T.11()()()03030(310)nnn14.【2014 年山东卷（理 19） 】(本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列。nannS124S（I）求数列 的通项公式；（II）令 = 求数列 的前 项和 。nb,4)1(1nanbnT解：（I） ,64,2,21daSdSd4141,
10、S成 等 比解得 na7（II） )12()14)1( nanbnn )12()123(753( nnTn 为 偶 数 时 ，当 121n )()()1()()n 为 奇 数 时 ，当 Tn为 奇 数为 偶 数nn,12,15.【2014 年四川卷（理 19） 】设等差数列 的公差为 ，点 在函数nad(,)nab的图象上（ ） 。()2xf*nN（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；1a87(,4)b()fxnnS（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，fx2,abx12l求数列 的前 项和 。nbnT解：（1）点 在函数 的图象上，所以 ，(,)na()
11、2xf2nab又等差数列 的公差为 所以nd112nnaadb因为点 在函数 的图象上，所以 ，所以87(,4)ab()fx874ab72d2d又 ，所以1a221()3nSadnn8（2）由 ()2()2lnxxff函数 的图象在点 处的切线方程为,ab22(ln)aybx所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故x21ln21ll从而 ， ，nanb231nnT 234112n nT所以 412 n故 nn16.【2014年天津卷（理19） 】 （本小题满分14分）已知 和 均为给定的大于1 的自然数，设集合 ， ， ，.， ，集合q 0M121q. ， ， ， ，.， .2|Axq1nxii
12、n当 ， 时，用列举法表示集合 ；3nA设 、 ， . ， . ，其中 、st12sa1naq12tbq1nbia， ， ，.， .证明：若 ，则 .ibMi ts解：(1)当 q2， n3 时， M0，1，A x|x x1 x22 x322， xi M， i1，2，3，可得A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由s， t A， s a1 a2q anqn1 ， t b1 b2q bnqn1 ， ai， bi M， i1，2，n 及 anbn，可得s t( a1 b1)( a2 b2)q( an1 bn1 )qn2 ( an bn)qn1( q1)( q1) q( q1) qn2 qn1
13、 qn1（ q 1） （ 1 qn 1）1 q10，所以 st.17.【2014 年全国新课标（理 17） 】(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 ，nanS=1， ， ，其中 为常数.1a0n1nnaS()证明： ；29（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.na【解析】：()由题设 ， ，两式相减1nnS121nnaS，由于 ，所以 6 分12nnaa0（）由题设 =1， ，可得 ，由()知121S21a31a假设 为等差数列，则 成等差数列， ，解得 ；na3,a324证明 时， 为等差数列：由 知4n24n数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列21m
14、 213ma令 则 ，21,nna()数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列2m 24m令 则 ，,n1n(2) （ ） ，21na*Nna因此，存在存在 ，使得 为等差数列. 12 分418.【2014 年全国新课标（理 17） 】 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 =1， .na113na（）证明 是等比数列，并求 的通项公式；2n（）证明： .12na+（1）由 得13m113().mma又 ，所以， 是首项为 ，公比为 3 的等比数列。a222= ，因此 的通项公式为 =m3nama110（2）由（1）知 =1ma23因为当 n 1 时， 所以，1,m132m
15、m于是， =112maa 3()所以， 123219.【2014 年江苏卷（理 20） 】设数列 的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 ，则称 是“H 数列。 ”（1）若数列 的前 n 项和 = （n ） ，证明： 是“H 数列” ；（2）设数列 是等差数列，其首项 =1.公差 d 0.若 是“H 数列” ，求 d的值；（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H 数列” 和 ，使得 = （n ）成立。（1）证明： = ， = = （n ） ，又 = =2= ，（n ） 。 存在 m=n+1 使得（2） =1+（n-1）d ，若 是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得。 =1+（m-1）d 成立。化简得 m= +1+ ，且 d 0
