1、2-3 随机变量及其分布离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列(1)随 机 变 量 ： 在 随 机 试 验 中 ， 我 们 确 定 了 一 个 对 应 关系 ， 使 得 每 一 个 试 验 结 果 都 用 一 个 确 定 的 数 字 表 示 在 这个 对 应 关 系 下 ， 数 字 随 着 试 验 结 果 的 变 化 而 变 化 像 这 种随 着 试 验 结 果 变 化 而 变 化 的 变 量 称 为 随 机 变 量 通 常 用 字母 X， Y， ， 等 表 示 (2)离 散 型 随 机 变 量 ： 所 有 取 值 可 以 一 一 列 出 的 随 机 变 量称 为 离 散 型 随 机
2、变 量 (3)离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 ：要 点 归 纳一 、1一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X可 能 取 的 不 同 值 为 x1，x2， xi， xn， X取 每 一 个 值 xi(i 1， 2， ， n)的 概 率P(X xi) pi， 以 表 格 的 形 式 表 示 如 下 ：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn我 们 将 上 表 称 为 离 散 型 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 列 ， 简 称 为X的 分 布 列 有 时 为 了 简 单 起 见 ， 也 用 等 式 P(X xi) pi，i 1， 2， ， n表 示 X的 分
3、 布 列 (4)离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 ： pi0， i 1， 2， ， n； i 1npi 1. (5)常 见 的 分 布 列 ：两 点 分 布 ： 如 果 随 机 变 量 X的 分 布 列 具 有 下 表 的 形 式 ， 则称 X服 从 两 点 分 布 ， 并 称 p P(X 1)为 成 功 概 率 .X 0 1P 1 p p两 点 分 布 又 称 0 1分 布 ， 伯 努 利 分 布 超 几 何 分 布 ： 一 般 地 ， 在 含 有 M件 次 品 的 N件 产 品 中 ， 任 取n件 ， 其 中 恰 有 X件 次 品 ， 则 事 件 X k发 生 的 概
4、 率 为 P(Xk) CkMCn kN MCnN ， k 0， 1， 2， ， m， 即 X 0 1 mP C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN 其 中 m minM， n， 且 nN， MN， n， M， N N*.如果 随 机 变 量 X的 分 布 列 具 有 上 表 的 形 式 ， 则 称 随 机 变 量 X服 从 超 几 何 分 布 二 项 分 布 及 其 应 用2(1)条 件 概 率 ： 一 般 地 ， 设 A和 B是 两 个 事 件 ， 且 P(A) 0，称 P(B|A) P（ AB）P（ A） 为 在 事 件 A发 生 的 条 件 下
5、 ， 事 件 B发 生的 条 件 概 率 P(B|A)读 作 A发 生 的 条 件 下 B发 生 的 概 率 (2)条 件 概 率 的 性 质 ： 0P(B|A)1； 必 然 事 件 的 条 件 概 率 为 1， 不 可 能 事 件 的 条 件 概 率 为 0；(4)独 立 重 复 试 验 ： 一 般 地 ， 在 相 同 条 件 下 重 复 做 的 n次 试验 称 为 n次 独 立 重 复 试 验 (5)二 项 分 布 ： 一 般 地 ， 在 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 设 事 件 A发 生 的 次 数 为 X， 在 每 次 试 验 中 事 件 A发 生 的 概 率 为 p， 那么
6、在 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件 A恰 好 发 生 k次 的 概 率 为 如 果 B和 C是 两 个 互 斥 事 件 ， 则 P(B C|A) P(B|A)P(C|A) (3)事 件 的 相 互 独 立 性 ： 设 A， B为 两 个 事 件 ， 如 果 P(AB)P(A)P(B)， 则 称 事 件 A与 事 件 B相 互 独 立 如 果 事 件 A与 B相 互 独 立 ， 那 么 A与 B ， A 与 B， A 与 B 也 都 相 互 独 立 P(X k) Cpk(1 p)n k， k 0， 1， 2， ， n.此 时 称 随 机变 量 X服 从 二 项 分 布 ， 记 作
7、X B(n， p)， 并 称 p为 成 功 概率 两 点 分 布 是 当 n 1时 的 二 项 分 布 ， 二 项 分 布 可 以 看 成是 两 点 分 布 的 一 般 形 式 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值 与 方 差(1)均 值 、 方 差 ： 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为3X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则 称 E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为 随 机 变 量 X的均 值 或 数 学 期 望 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水平 (2)均 值 与 方 差 的 性 质
8、： 若 Y aX b， 其 中 a， b是 常 数 ， X是 随 机 变 量 ， 则 Y也 是 随 机 变 量 ， 且 E(aX b) aE(X)b，D(aX b) a2D(X)(3)常 见 分 布 的 均 值 和 方 差 公 式 ： 两 点 分 布 ： 若 随 机 变 量X服 从 参 数 为 p的 两 点 分 布 ， 则 均 值 E(X) p， 方 差 D(X)p(1 p) 二 项 分 布 ： 若 随 机 变 量 X B(n， p)， 则 均 值 E(X) np，方 差 D(X) np(1 p)称 D(X) i 1n (xi E(X)2pi为 随 机 变 量 X的 方 差 ， D（ X） 为
9、随 机 变 量 X的 标 准 差 曲 线 与 x轴 之 间 的 面 积 为 1.(3)和 对 正 态 曲 线 的 影 响 ： 当 一 定 时 ， 曲 线 的 位 置 由 确 定 ， 曲 线 随 着 的 变 化 而 沿 x轴 平 移 ； 当 一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由 确 定 ， 越 小 ， 曲 线 越 “瘦 高 ”，表 示 总 体 的 分 布 越 集 中 ； 越 大 ， 曲 线 越 “矮 胖 ”， 表 示 总 体 的分 布 越 分 散 (2)正 态 曲 线 的 特 点 ： 曲 线 位 于 x轴 上 方 ， 与 x轴 不 相 交 ； 曲 线 是 单 峰 的 ， 它 关 于 直 线 x
10、 对 称 ； 曲 线 在 x 处 达 到 峰 值 1 2 ； (4)正 态 分 布 的 3原 则 ： 若 随 机 变 量 X N(， 2)， 则 P( X ) 0.682 6， P( 2 X 2) 0.954 4， P( 3 X 3) 0.997 4.在 实 际 应 用 中 ， 通 常 认 为 服 从 于 正 态 分 布 N(， 2)的 随 机变 量 X只 取 ( 3， 3)之 间 的 值 ， 并 简 称 之 为 3原则 专 题 一 条 件 概 率1 条 件 概 率 的 求 法 (1)利 用 定 义 ， 分 别 求 出 P(A)和 P(AB)， 解 得 P(B|A) P（ AB）P（ A） .
11、 (2)借 助 古 典 概 型 公 式 ， 先 求 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数 n(A)， 再 在 事 件 A发 生 的 条 件 下 求 事 件 B包 含 的 基 本 事 件 数 n(AB)， 得 P(B|A) n（ AB）n（ A） . 解 决 概 率 问 题 要 注 意 “三 个 步 骤 ， 一 个 结 合 ”(1)求 概 率 的 步 骤 是 ：第 一 步 ， 确 定 事 件 性 质 ；第 二 步 ， 判 断 事 件 的 运 算 ；第 三 步 ， 运 用 公 式 (2)概 率 问 题 常 常 与 排 列 、 组 合 知 识 相 结 合 2在 5道 题 中 有 3道 理 科 题
12、 和 2道 文 科 题 如 果 不 放 回 地 依次 抽 取 2道 题 ， 求 ：(1)第 1次 抽 到 理 科 题 的 概 率 ；(2)第 1次 和 第 2次 都 抽 到 理 科 题 的 概 率 ；(3)在 第 1次 抽 到 理 科 题 的 条 件 下 ， 第 2次 抽 到 理 科 题 的 概 率 解 设 “第 1次 抽 到 理 科 题 ”为 事 件 A， “第 2次 抽 到 理 科 题 ”为事 件 B， 则 “第 1次 和 第 2次 都 抽 到 理 科 题 ”为 事 件 AB.【 例 1】(1)从 5道 题 中 不 放 回 地 依 次 抽 取 2道 题 的 事 件 数 为 n() A252
13、0. 根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， n(A) A13A14 12. 于 是 P(A) n（ A）n（ ） 1220 35. 求 相 互 独 立 事 件 一 般 与 互 斥 事 件 、 对 立 事 件 结 合 在 一 起 进行 考 查 ， 解 答 此 类 问 题 时 应 分 清 事 件 间 的 内 部 联 系 ， 在 些基 础 上 用 基 本 事 件 之 间 的 交 、 并 、 补 运 算 表 示 出 有 关 事件 ， 并 运 用 相 应 公 式 求 解 特 别 注 意 以 下 两 公 式 的 使 用 前 提(1)若 A， B互 斥 ， 则 P(A B) P(A) P(B)， 反
14、之 不 成 立 (2)若 A， B相 互 独 立 ， 则 P(AB) P(A)P(B)， 反 之 成 立 专 题 二 相 互 独 立 事 件 的 概 率12【 例 2】 甲 、 乙 、 丙 三 台 机 床 各 自 独 立 加 工 同 一 种 零 件 ， 甲 机 床 加工 的 零 件 是 一 等 品 而 乙 机 床 加 工 的 零 件 不 是 一 等 品 的 概 率 为 14，乙 机 床 加 工 的 零 件 是 一 等 品 而 丙 机 床 加 工 的 零 件 不 是 一 等 品 的概 率 为 112， 甲 丙 两 台 机 床 加 工 的 零 件 都 是 一 等 品 的 概 率 为 29. (1)
15、分 别 求 出 甲 、 乙 、 丙 三 台 机 床 各 自 独 立 加 工 的 零 件 是 一 等 品的 概 率 ； (2)从 甲 、 乙 、 丙 加 工 的 零 件 中 各 取 一 个 检 验 ， 求 至 少 有 一 个 一等 品 的 概 率 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 在 高 中 阶 段 主 要 学 习 两 种 ： 超 几何 分 布 与 二 项 分 布 ， 由 于 这 两 种 分 布 列 在 生 活 中 应 用 较 为广 泛 ， 故 在 高 考 中 对 该 知 识 点 的 考 查 相 对 较 灵 活 ， 常 与 期望 、 方 差 融 合 在 一 起 ， 横 向 考 查 对
16、于 分 布 列 的 求 法 ， 其 难 点 在 于 每 个 随 机 变 量 取 值 时 相 关概 率 的 求 法 ， 计 算 时 可 能 会 用 到 等 可 能 事 件 、 互 斥 事 件 、相 互 独 立 事 件 的 概 率 公 式 等 均 值 与 方 差 都 是 随 机 变 量 重 要 的 数 字 特 征 ， 方 差 是 建 立 在均 值 这 一 概 念 之 上 的 ， 它 表 明 了 随 机 变 量 所 取 的 值 相 对 于它 的 均 值 的 集 中 与 离 散 程 度 ， 二 者 联 系 密 切 ， 在 现 实 生 产生 活 中 特 别 是 风 险 决 策 中 有 着 重 要 意 义
17、 ， 因 此 在 当 前 的 高考 中 是 一 个 热 点 问 题 专 题 三 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 、 均 值 与 方 差123(1)求 该 学 生 考 上 大 学 的 概 率 ；(2)如 果 考 上 大 学 或 参 加 完 5次 测 试 就 结 束 ， 记 该 生 参 加 测试 的 次 数 为 X， 求 X的 分 布 列 及 X的 数 学 期 望 【 例 3】 某 地 区 试 行 高 考 考 试 改 革 ： 在 高 三 学 年 中 举 行 5次 统 一测 试 ， 学 生 如 果 通 过 其 中 2次 测 试 即 可 获 得 足 够 学 分 升 上 大 学继 续 学 习
18、 ， 不 用 参 加 其 余 的 测 试 ， 而 每 个 学 生 最 多 也 只 能 参 加5次 测 试 假 设 某 学 生 每 次 通 过 测 试 的 概 率 都 是 13， 每 次 测 试 时间 间 隔 恰 当 每 次 测 试 通 过 与 否 互 相 独 立 X 2 3 4 5PP(X 5) C1413233 234 1627. 故 X的 分 布 列 为 ： E(X) 219 3427 4427 51627 389. 19 427 427 1627 (1)写 出 的 概 率 分 布 列 (不 要 求 计 算 过 程 )， 并 求 出 E()，E()；(2)求 D()， D() 请 你 根
19、据 得 到 的 数 据 ， 建 议 该 单 位 派 哪个 选 手 参 加 竞 赛 ？【 例 4】 (2012枣 庄 检 测 )某 单 位 为 了 参 加 上 级 组 织 的 普 及 消 防 知识 竞 赛 ， 需 要 从 两 名 选 手 中 选 出 一 人 参 加 为 此 ， 设 计 了 一 个挑 选 方 案 ： 选 手 从 6道 备 选 题 中 一 次 性 随 机 抽 取 3题 通 过 考查 得 知 ： 6道 备 选 题 中 选 手 甲 有 4道 题 能 够 答 对 ， 2道 题 答 错 ；选 手 乙 答 对 每 题 的 概 率 都 是 23， 且 各 题 答 对 与 否 互 不 影 响 设选
20、 手 甲 、 选 手 乙 答 对 的 题 数 分 别 为 ， . 解 (1)的 概 率 分 布 列 为 1 2 3P 15 35 15 所 以 E() 115 235 315 2. 由 题 意 ， B 3， 23， E() 323 2， 或 者 P( 0) C03133 127； P( 1) C13231132 29； P( 2) C2323213 49； P( 3) C33233 827， 专题四 正态分布 某 市 去 年 高 考 考 生 成 绩 服 从 正 态 分 布 N(500， 502)， 现有 25 000名 考 生 ， 试 确 定 考 生 成 绩 在 550 600分 的 人 数 【 例 5】解 考 生 成 绩 X N(500， 502)， 500， 50， P (550 X 600) 12P(500 250 X 500 250) P(500 50 X 50050) 12(0.954 4 0.682 6) 0.135 9. 故 考 生 成 绩 在 550 600分 的 人 数 约 为 25 0000.135 9 3 398(人 )
