1、第 1 页（共 19 页）2015 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1 （5 分） （2015 浙江）已知集合 P=x|x22x0，Q=x|1 x2，则（ RP） Q=（ ）A0，1） B（0，2 C（1，2） D1，22 （5 分） （2015 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是（ ）A8cm3 B12cm3 CD3 （5 分） （2015 浙江）已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若a3，a 4，a 8 成等比数列
2、，则（ ）Aa1d0，dS 40 Ba1d0，dS 40 Ca1d0，dS 40 Da1d0，dS 404 （5 分） （2015 浙江）命题“ nN*，f （n） N*且 f（n）n”的否定形式是（ ）A nN*，f（n）N *且 f（n）n B nN*，f（n）N *或 f（n）nC n0N*，f（n 0） N*且 f（n 0）n 0 D n0N*，f（n 0） N*或 f（n 0）n 05 （5 分） （2015 浙江）如图，设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 BCF 与ACF 的面积之比
3、是（ ）第 2 页（共 19 页）ABCD6 （5 分） （2015 浙江）设 A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A B） card（AB） ，其中 card（A）表示有限集 A 中的元素个数（ ）命题：对任意有限集 A，B， “AB”是“d（A，B）0”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A，B，C ，d（A，C ）d（A，B）+d（B，C ）A 命题和命题都成立 B 命题和命题都不成立C 命题成立，命题不成立 D 命题不成立，命题成立7 （5 分） （2015 浙江）存在函数 f（x）满足，对任意 xR 都有（ ）Af（sin2x）=sinx Bf（sin2x）=x2+xCf
4、（x 2+1）=|x+1| Df（x 2+2x）=|x+1|8 （5 分） （2015 浙江）如图，已知 ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将ACD 折成ACD，所成二面角 ACDB 的平面角为 ，则（ ）AADB BADB CACB DACB二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9 （6 分） （2015 浙江）双曲线 =1 的焦距是 ，渐近线方程是 第 3 页（共 19 页）10 （6 分） （2015 浙江）已知函数 f（x）= ，则 f（f（3） ）= ，f（x）的最小值是 11 （6 分） （2015 浙江）函数 f（x）=si
5、n 2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，单调递减区间是 12 （4 分） （2015 浙江）若 a=log43，则 2a+2a= 13 （4 分） （2015 浙江）如图，三棱锥 ABCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是 14 （4 分） （2015 浙江）若实数 x，y 满足 x2+y21，则|2x+y 2|+|6x3y|的最小值是 15 （6 分） （2015 浙江）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足，且对于任意 x，y R，则 x0= ，y 0= ， |= 三、解答题：本大
6、题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （14 分） （2015 浙江）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A=，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值第 4 页（共 19 页）17 （15 分） （2015 浙江）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC=90，AB=AC=2，A 1A=4，A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 是 B1C1 的中点（1）证明：A 1D平面 A1BC；（2）求二面角 A1BDB1 的平面角的余弦值18 （15 分） （2015
7、 浙江）已知函数 f（x）=x 2+ax+b（a，bR） ，记 M（a，b）是|f（x）|在区间 1，1 上的最大值（1）证明：当|a| 2 时，M（a，b）2；（2）当 a，b 满足 M（a ，b） 2 时，求|a|+|b|的最大值19 （15 分） （2015 浙江）已知椭圆 上两个不同的点 A，B 关于直线 y=mx+ 对称（1）求实数 m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 20 （15 分） （2015 浙江）已知数列a n满足 a1= 且 an+1=anan2（nN *）（1）证明：1 2（nN *） ；（2）设数列a n2的前 n 项和为 Sn，证明 （n
8、 N*） 第 5 页（共 19 页）第 6 页（共 19 页）2015 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1 （5 分）考点： 交、并、补集的混合运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 求出 P 中不等式的解集确定出 P，求出 P 补集与 Q 的交集即可解答： 解：由 P 中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0 或 x2，即 P=（，02，+） ，RP=（0，2） ，Q=（1 ，2 ，（ RP）Q=（1，2） ，故选：C点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算
9、，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 （5 分）考点： 由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为边长 2 的正方形奥为 2的正四棱锥，所求几何体的体积为：2 3+ 222= 故选：C点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力3 （5 分）考点： 等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： 由 a3，a 4，a 8 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断 a1d 和 dS4 的符号
10、第 7 页（共 19 页）解答： 解：设等差数列a n的首项为 a1，则 a3=a1+2d，a 4=a1+3d，a 8=a1+7d，由 a3，a 4，a 8 成等比数列，得 ，整理得： d0， ， ，= 0故选：B点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题4 （5 分）考点： 命题的否定菁优网版权所有专题： 简易逻辑分析： 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答： 解：命题为全称命题，则命题的否定为：n 0N*，f （n 0）N *或 f（n 0）n 0，故选：D点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5 （5 分）考点： 直线与圆锥曲线
11、的关系菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可解答： 解：如图所示，抛物线的准线 DE 的方程为 x=1，过 A，B 分别作 AEDE 于 E，交 y 轴于 N，BDDE 于 E，交 y 轴于 M，由抛物线的定义知 BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|1=|BF|1，|AN|=|AE|1=|AF|1，第 8 页（共 19 页）则 = = = ，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键6 （5 分）考点： 复合命题的真假菁优网版权所有专题： 集合；简易逻辑分析： 命
12、题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，借助新定义，根据集合的运算，判断即可解答： 解：命题：对任意有限集 A，B，若“AB”，则 ABAB，则 card（A B）card（AB） ，故“d （A ，B） 0”成立，若 d（A，B）0” ，则 card（AB）card（AB ） ，则 ABAB，故 AB 成立，故命题成立，命题，d（A，B）=card（ AB）card（A B） ，d（B ，C）=card（BC） card（BC ） ，d（ A， B）+d（B，C）=card（A B）card（AB）+card（BC） card（BC ）=card（AB）+card（B C）card（A B）
13、+card（B C）card（ AC） card（AC）=d（A ，C） ，故命题 成立，故选：A点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题7 （5 分）考点： 函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 利用 x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可解答： 解：A取 x=0，则 sin2x=0， f（0）=0；第 9 页（共 19 页）取 x= ，则 sin2x=0， f（0）=1；f（ 0）=0，和
14、1，不符合函数的定义；不存在函数 f（x） ，对任意 xR 都有 f（sin2x）=sinx ；B取 x=0，则 f（0）=0 ；取 x=，则 f（0）= 2+；f（ 0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误； C取 x=1，则 f（2）=2 ，取 x=1，则 f（2）=0；这样 f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D令|x+1|=t， t0，则 f（t 21）=t ；令 t21=x，则 t= ； ；即存在函数 f（x）= ，对任意 xR，都有 f（x 2+2x）=|x+1| ；该选项正确故选：D点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难8
15、 （5 分）考点： 二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题： 创新题型；空间角分析： 解：画出图形，分 AC=BC，ACBC 两种情况讨论即可解答： 解：当 AC=BC 时，ADB=；当 ACBC 时，如图，点 A投影在 AE 上，=AOE，连结 AA，易得ADA AOA，ADBAOE，即ADB综上所述，A DB，故选：B第 10 页（共 19 页）点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9 （6 分）考点： 双曲线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：
16、 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程解答： 解：双曲线 =1 中，a= ，b=1，c= ，焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y= x故答案为：2 ；y= x点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础10 （6 分）考点： 函数的值菁优网版权所有专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 根据已知函数可先求 f（3）=1，然后代入可求 f（f（3） ） ；由于 x1 时，f （x）=，当 x1 时，f（x）=lg（x 2+1） ，分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解： f（x）= ，f（ 3）=lg10=1，则 f（f（3） ）=f（1）=0，当 x1 时，f（x）= ，即最小值 ，
