1、2016 年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证：MNCD .(3)若PDA45，求证：MN 平面 PCD.2 如图，四棱锥 PABCD 中，AP 平面 PCD，ADBC，AB=BC= AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点（）求证：AP平面 BEF；（）求证：BE平面 PAC解答 证明：（）连接 CE，则ADBC，BC= AD，E 为线段 AD 的中点，四边形 ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设 ACBE=O，连接 OF，则 O 是 AC 的中点，F 为线段 P
2、C 的中点，PAOF，PA 平面 BEF，OF平面 BEF，AP平面 BEF；（）BCDE 是平行四边形，BECD，AP平面 PCD，CD平面 PCD，APCD ，BEAP，AB=BC，四边形 ABCE 是平行四边形，四边形 ABCE 是菱形，BEAC，AP AC=A，BE平面 PAC3 如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC ，AB 的中点，已知PAAC ，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC解答： 证明：（1）D、E 为 PC、AC 的中点，DE PA，又PA平面 DEF，DE平面 DEF，PA平面 DEF；
3、（2）D、E 为 PC、AC 的中点，DE= PA=3；又E、F 为 AC、AB 的中点，EF= BC=4；DE 2+EF2=DF2，DEF=90 ，DEEF；DEPA ，PA AC，DEAC；ACEF=E，DE平面 ABC；DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC4 如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E、F 分别是 AB、PD的中点（1）求证：AF平面 PCE；（2）求证：平面 PCE平面 PCD；（3）求四面体 PEFC 的体积解答： 解：（1）证明：设 G 为 PC 的中点，连接 FG，EG，F 为 PD 的中点，E 为 AB 的中点，FG CD
4、， AE CDFG AE，AF GEGE平面 PEC，AF平面 PCE；（2）证明：PA=AD=2，AFPD又PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD ， ADCD，PA AD=A，CD平面 PAD，AF平面 PAD，AFCDPD CD=D， AF 平面 PCD，GE平面 PCD，GE平面 PEC，平面 PCE平面 PCD；（3）由（2）知，GE平面 PCD，所以 EG 为四面体 PEFC 的高，又 GFCD ，所以 GFPD，EG=AF= ，GF= CD= ，SPCF = PDGF=2得四面体 PEFC 的体积 V= SPCF EG= 5 如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD，
5、ABAD，CD=2AB，平面 PAD底面ABCD，PAADE 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：（）PA底面 ABCD；（）BE平面 PAD；（）平面 BEF平面 PCD解答： 解：（）PAAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得 PA平面 ABCD（）ABCD，AB AD ，CD=2AB，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，故四边形 ABED 为平行四边形，故有 BEAD又 AD平面 PAD，BE 不在平面 PAD 内，故有 BE平面 PAD（）平行四边形 ABED 中，由 ABAD 可得，ABED 为矩形，故有
6、BECD 由 PA平面 ABCD，可得 PAAB，再由 ABAD 可得 AB平面 PAD，CD平面 PAD，故有 CDPD再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点，可得 EFPD，CDEF 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线，故有 CD平面 BEF由于 CD平面 PCD，平面 BEF平面 PCD6 如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等D，E，F 分别为棱 AB，BC，A 1C1 的中点（）证明：EF平面 A1CD；（）证明：平面 A1CD平面 A1ABB1；（）求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值解答： 证明：（I）三
7、棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACA 1C1，AC=A 1C1，连接 ED，可得 DEAC，DE= AC，又 F 为棱 A1C1 的中点A 1F=DE，A 1FDE ，所以 A1DEF 是平行四边形，所以 EFDA 1，DA1平面 A1CD，EF平面 A1CD，EF 平面 A1CD（II）D 是 AB 的中点，CDAB，又 AA1平面 ABC，CD 平面 ABC，AA 1CD，又 AA1AB=A，CD面 A1ABB1，又 CD面 A1CD，平面 A1CD平面 A1ABB1；（III）过 B 作 BGA 1D 交 A1D 于 G，平面 A1CD平面 A1ABB1，且平面 A1CD平面 A1AB
8、B1=A1D，BGA 1D，BG面 A1CD，则BCG 为所求的角，设棱长为 a，可得 A1D= ，由A 1ADBGD ，得 BG= ，在直角BGC 中，sin BCG= = ，直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 7 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1B1=A1C1，D ， E 分别是棱 BC，CC 1 上的点（点D 不同于点 C） ，且 ADDE，F 为 B1C1 的中点求证：（1）平面 ADE平面 BCC1B1；（2）直线 A1F平面 ADE解答： 解：（1）三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，CC 1平面 ABC，AD 平面 ABC，ADCC 1又ADDE
9、 ， DE、CC 1 是平面 BCC1B1 内的相交直线AD平面 BCC1B1，AD 平面 ADE平面 ADE 平面 BCC1B1；（2）A 1B1C1 中，A 1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点A 1FB 1C1，CC 1平面 A1B1C1，A 1F平面 A1B1C1，A 1FCC 1又B 1C1、CC 1 是平面 BCC1B1 内的相交直线A 1F平面 BCC1B1又AD平面 BCC1B1，A 1FADA 1F平面 ADE，AD平面 ADE，直线 A1F平面 ADE8 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ADC=45，AD=AC=1，O为 AC 中点，P
10、O 平面 ABCD，PO=2 ，M 为 PD 中点（）证明：PB平面 ACM；（）证明：AD平面 PAC；（）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值解答： 解：（I）证明：连接 BD，MO在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PBMO因为 PB平面 ACM，MO平面 ACM所以 PB平面 ACM（II）证明：因为ADC=45，且 AD=AC=1，所以DAC=90 ，即 ADAC又 PO平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以 POAD，AC PO=O，AD 平面PAC（III）解：取 DO 中点 N，连接
11、MN，AN因为 M 为 PD 的中点，所以 MNPO，且 MN= PO=1，由 PO平面 ABCD，得MN平面 ABCD所以MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角在 Rt DAO 中， ，所以 ， ，在 Rt ANM 中， = =即直线 AM 与平面 ABCD 所成的正切值为9 三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC=AC=2 ，AB=BC，D 是 PB 上一点，且 CD平面 PAB（1）求证：AB平面 PCB；（2）求二面角 CPA B 的大小的余弦值解答： （1）证明：PC平面 ABC，AB 平面 ABC，PC ABCD平面 PAB，AB平面 PAB，CDAB 又 PCCD
12、=C，AB平面 PCB（2）解：取 AP 的中点 O，连接 CO、DOPC=AC=2，C0PA，CO= ，CD平面 PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DOPACOD 为二面角 CPA B 的平面角由（1）AB平面 PCB，ABBC ，又AB=BC，AC=2 ，求得 BC=PB= ，CD=cosCOD= 1如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，点 P 是棱AD 上一点，且 AP ，过 B1，D 1，P 的平面交底面 ABCDa3于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ_.2如图，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，ADC90，且 AA1AD DC 2，M 平面 ABCD
13、，当 D1M平面 A1C1D 时，DM_.3如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， PAAB2，BC4，E 是 PD 的中点(1)求证：平面 PDC平面 PAD；(2)求点 B 到平面 PCD 的距离；4如图，PO平面 ABCD，点 O 在 AB 上，EA PO ，四边形 ABCD 为直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAO CD.12(1)求证：BC 平面 ABPE；(2)直线 PE 上是否存在点 M，使 DM平面 PBC，若存在，求出点 M；若不存在，说明理由5如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F分别为 DD1、DB 的中点
14、(1)求证：EF平面 ABC1D1；(2)求证：EFB 1C；(3)求三棱锥 B1EFC 的体积6如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD， PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90(1)求证：PCBC(2)求点 A 到平面 PBC 的距离1. a B 1D1平面 ABCD，平面 B1D1P平面 ABCDPQ，B 1D1PQ，223又 B1D1BD，BDPQ，设 PQABM，ABCD，APMDPQ， 2，即 PQ2PM，PQPMPDAP又APMADP， ，PM BD，PMBD APAD 13 13又 BD a，PQ a.22232.答案 2 DADC DD 1且 DA、DC、DD 1两两垂直，故当点 M使四边形 ADCM2为正方形时，D 1M平面 A1C1D，DM2 .2(2)过 A 作 AFPD，垂足为 F.
