1、 1 / 492007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） “ ”是“ ”的（ ）x2x充分而不必要条件 必要而不充分条件充分不必要条件 既不充分也不必要条件（2）若函数 ， （其中 ， ）的最小正周期是 ，且()2sin()fxxR02，则（ ）(0)3fA B126， 123，C D， ，（3）直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）10xy1x 220y xy3x（4）要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是
2、半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） 345（5）已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）2()N， (4)0.8P (0)PA B C D，0.160.320.68（6）若 两条异面直线 外的任意一点，则（ ）Plm，过点 有且仅有一条直线与 都平行l，过点 有且仅有一条直线与 都垂直，过点 有且仅有一条直线与 都相交，过点 有且仅有一条直线与 都异面l，（7）若非零向量 满足 ，则（ ），abb 22a b（8）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，()fx()fx()yfx()fx不可能正确的是（ ）2 / 49（9）已知双曲线 的左、右
3、焦点分别为 ， ， 是准线上一点，21(0)xyabb， 1F2P且 ， ，则双曲线的离心率是（ ）12PF124PFA 323（10）设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域2()1xf， ， ， ()gx()fgx0， ()gx是（ ）A B ， ， 10 ， ， C D0， ， 第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分（11）已知复数 ， ，则复数 1iz12izA2z（12）已知 ，且 ，则 的值是 sinco53 cos（13）不等式 的解集是 2x（14）某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种，
4、小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一本，10 元钱刚好用完） ，则不同买法的种数是 （用数字作答） （15）随机变量 的分布列如下：101Pabc其中 成等差数列，若 ，则 的值是 abc， ， 3ED（16）已知点 在二面角 的棱上，点 在 内，且 若对于 内异于OABP45OByxOyxOyxOyxOAB C D3 / 49的任意一点 ，都有 ，则二面角 的大小是 OQ45PO AB（17）设 为实数，若 ，则 的取值范围m220()3()5xyxym， ， m是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（18） （本题 14 分）已知 的周长为
5、 ，且 ABC 21sin2sinABC（I）求边 的长；AB（II）若 的面积为 ，求角 的度数 1sin6（19） （本题 14 分）在如图所示的几何体中， 平面 ，E平面 ， ，且 ，D2ABDA是 的中点M（I）求证： ；CE（II）求 与平面 所成的角D（20） （本题 14 分）如图，直线 与椭圆ykxb交于 两点，记 的面积为 214xyAB， AOB S（I）求在 ， 的条件下， 的最大值；0k1b（II）当 ， 时，求直线 的方程2S（21） （本题 15 分）已知数列 中的相邻两项 是na21ka，关于 的方程 的两个根，且x2(3)20kkxA212kka ， ， ，（I
6、）求 ， ， ， ；3a7（II）求数列 的前 项和 ；n2nS（）记 ，si1()32f，()()(4)(1)1234562fff fnnTaaaEDCM（第 19 题） BAyxOB（第 20 题）4 / 49求证： 15()624nT*N （22） （本题 15 分）设 ，对任意实数 ，记 3xft23()tgxt（I）求函数 的单调区间；()tyfg（II）求证：（）当 时， 对任意正实数 成立；0x()fxg()tx t（）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立00xt2007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每
7、小题 5 分，满分 50 分（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A（6）B （7）C （8）D （9）B （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 28 分（11） （12） （13） （14）502x26（15） （16） （17）5990 3m 三、解答题（18）解：（I）由题意及正弦定理，得 ，21ABC，2BCAB两式相减，得 1（II）由 的面积 ，得 ， 1sini6CA13A由余弦定理，得22cosB，22()1ACA所以 60C（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分 14 分
8、方法一：（I）证明：因为 ， 是 的中点，ABCMA5 / 49所以 CMAB又 平面 ，E所以 （II）解：过点 作 平面 ，垂足是 ，连结 交延长交 于点 ，连结 ，HCDEHCEDFMD是直线 和平面 所成的角F因为 平面 ，所以 ，ME又因为 平面 ，C所以 ，则 平面 ，因此 DFDMF设 ， ，Aa2BACa在直角梯形 中， 是 的中点，2所以 ， ， ，3Ea3a6a得 是直角三角形，其中 ，MD 90EMD所以 2FA在 中， ，RtC tan1FC所以 ，45故 与平面 所成的角是 MDE45方法二：如图，以点 为坐标原点，以 ， 分别为 轴和 轴，过点 作与平面 垂直的直线
9、CCABxyCAB为 轴，建立直角坐标系 ，设 ，则 ， ， zxyzEa(2)A， ， (02)a， ， (0)Ea， ， (02)Da， ， (0)Ma， ，（I）证明：因为 ， ，)E， ， ()CM， ，所以 ，0CA故 （II）解：设向量 与平面 垂直，则 ， ，01yz， ，n=DECEnD即 ， 0EADCMABHCMAByzx6 / 49因为 ， ，(20)CEa， ， (02)CDa， ，所以 ， ，0yx即 ，(1)， ，n，2cosCMA， n直线 与平面 所成的角 是 与 夹角的余角，DECM所以 ，45因此直线 与平面 所成的角是 CM45（20）本题主要考查椭圆的几
10、何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 14 分（）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，A1()xb， B2()xb，由 ，解得 ，214xb212，所以 12SxA2b2当且仅当 时， 取到最大值 bS1（）解：由 24ykxb， ，得 ，222110kxkb，247 / 49 21|ABkx241kbA设 到 的距离为 ，则Od，21|SdAB又因为 ，2|bk所以 ，代入式并整理，得21，40k解得 ， ，代入式检验， ，223b0故直线 的方程是AB或 或 ，或 62yx62yx26yx26yx21本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考
11、查运算及推理能力满分 15 分（I）解：方程 的两个根为 ， ，2(3)0kkxxA13xk2k当 时， ，1k2，所以 ；a当 时， ， ，2k16x24所以 ；34当 时， ， ，k19x28所以 时；58a当 时， ， ，4k1x26所以 7（II）解： 2122nnSa8 / 492(36)()nn 21（III）证明： ，(1)12345621fnnTaaa所以 ，12621345Ta当 时，n，(1)345626fna34562111na 236nA，1n同时，(1)56782124fnnTaa561221n 31249nA5n综上，当 时， N*5624nT 22本题主要考查函数
12、的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分 15 分（I）解： 314xy9 / 49由 ，得240yx因为当 时， ，()， y当 时， ，2x， 0当 时， ，()， y故所求函数的单调递增区间是 ， ，(2)， ()，单调递减区间是 (2)，（II）证明：（i ）方法一：令 ，则23()()(0)txhxfgtx，23t当 时，由 ，得 ，0t()0hx13t当 时， ，13(x， 所以 在 内的最小值是 )， 13()0ht故当 时， 对任意正实数 成立0x(tfxg方法二：对任意固定的 ，令 ，则23()(0)thxt，132()()
13、htxt由 ，得 0t3t当 时， 3x()0h当 时， ，tt所以当 时， 取得最大值 3x()31()hx因此当 时， 对任意正实数 成立0fg t10 / 49（ii）方法一：8(2)()3tfg由（i）得， 对任意正实数 成立2tt t即存在正实数 ，使得 对任意正实数 成立0x()2xtg t下面证明 的唯一性：当 ， ， 时，02x08t， ，30()f016()43xg由（i）得， ，30164x再取 ，得 ，30t3030()xg所以 ，30016()4()x xg即 时，不满足 对任意 都成立02()xt 0t故有且仅有一个正实数 ，02使得 对任意正实数 成立0()()xtgx t方法二：对任意 ， ，016()43xg因为 关于 的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条0()txt 00()()xtg件是：，300164即 ， 2()4x又因为 ，不等式 成立的充分必要条件是 ，002x
