1、1导数在函数中的应用一.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若 ()fx0，则函数 )(xfy在这个区间内单调递增；若 ()fx0，右侧 ()fx0，且 ()f=0，那么 0()f是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数 )(xfy在区间a,b上有最值的条件：一般地，如果在区间 a,b上，函数 )(xfy的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2) 求函数 )(f在区间a, b上最大值与最小值的步骤：求函数 xy在区间（ a,b）内的极值；将函数 )(f的各个极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4利用导数解决生活中的优
2、化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大 (小) 者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点2.(1)f(x)0 在(a，b) 上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件3.求
3、函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)由 f(x)0(f(x)0)解出相应的 x 的范围当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2二.题型训练题型一 求曲线切线的方程例 1.已知函数 f(x)x 34x 25x4.(1)求曲线 f(x)在 x2 处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f
4、(x)的切线方程变式 1.曲线 yx ex1 在点(0,1)处的切线方程是( )Axy10 B2x y10 Cxy10 Dx2y202.直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 相切于点 A(1,3)，则 ab 的值为( )A4 B1 C3 D2题型二.求函数的单调区间例 2. 已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2) 讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值练习：1. 设函数 f(x)x(e x1) x2，则函数 f(x)的单调增区间为 _122. 已知函数 f(x) x3ax 2bx(a
5、，bR )13(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(1) ，且函数 f(x)在 上不存在极值点，求 a 的取值范13 (0，12)围3题型三.分类讨论求函数的单调区间例 3. 已知函数 f(x)x 2axbln x(x0，实数 a，b 为常数)(1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值；(2) 若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性练习：1. 已知函数 f(x)x 2(a 2)xaln x2a2，其中 a 2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在(0，2上有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围2. 已知 aR，函数 3()42fxax（1）求
6、的单调区间（2）证明：当 0 1 时， + 0.()f ()fx2a43. 设函数 () 求 的单调区间xf ea2fx()若 a=1，k 为整数，且当 x0 时， ，求 k 的最大值kfx10小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制题型四.单调性的逆用例 4. 已知函数 f(x)x 3ax 23x.
7、(1)若 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 x3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间练习：1. 已知函数 f(x)(xa) 27bln x1，其中 a，b 是常数且 a0.(1)若 b1 时，f (x)在区间(1 ，)上单调递增，求 a 的取值范围；(2)当 b a2 时，讨论 f(x)的单调性4752. 若函数 f(x)x 2ax 在 上是增函数，则 a 的取值范围是( )1x (12， )A1,0 B1，) C0,3 D3 ，)3. 函数 f(x) x3x 2ax5 在区间1,2 上不单调，则实数 a 的范围是_134. 已知函数 f（x）= axb的
8、图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+ 1m是 2,上的增函数，求实数 m 的最大。5. 已知函数 )0(ln1)(axxf（1）若函数 在 ),上为增函数，求实数 a的取值范围；（2）当 a时，求 (xf在 2,上的最大值和最小值.6题型五.求函数的极值、最值例 5. 已知函数 在 处取得极值为3()fxabc2x16c（1）求 、 的值；（2）若 有极大值 28，求 在 上的最大值 ab()f ()fx3,练习：1. 关于 x 的方程 x33 x2 a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是_2. 已知 是实数
9、，1 和 是函数 的两个极值点ab， 132()fxabx（1）求 和 的值；（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；()gx()2gxf ()gx（3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数hfc， ()yh73. 已知函数 f(x)x1 (aR，e 为自然对数的底数)aex(1)若曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值；(3)当 a1 时，若直线 l：y kx1 与曲线 yf(x)没有公共点，求 k 的最大值4. 已知函数 f(x)ax 3ln x，其中 a 为常数2x(1)当函数 f(x)的图象在点 ( ，f ( )处的切线的斜率
10、为 1 时，求函数 f(x)在 ，3 上的最小值；23 23 32(2)若函数 f(x)在区间 (0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围8题型六.导数与方程例 6. 设 a 为实数，函数 32()fxxa（1）求 极值 （2）求 与 x 轴只有一个交点时 a 的取值范围()fx变式：若与 x 轴有 2 个交点时 a 的取值范围？练习：1. 设函数 Rxxf,56)(3（）求 的单调区间和极值；（）若关于 x的方程 af)(有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围.（）已知当 )1(),1(kxfx时 恒成立，求实数 k 的取值范围.92. 已知函数 ),2()(31)(,2(31)
11、( 在 区 间且 xfkxgkxf 上为增函数.（1）求 k 的取值范围；（2）若函数 f与 的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围.3. 已知函数 f（x ）=xlnx，()求 f(x)的最小值；() 讨论关于 x的方程 f(x)-m=0(mR)的解的个数；4. 已知 a，b 为常数，且 a0，函数 f(x)ax baxln x，f(e)2(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求实数 b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间；(3)当 a1 时，是否同时存在实数 m 和 M(mM)，使得对每一个 tm ， M，直线yt 与曲线 yf(x) 都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数(x 1e，e)M；若不存在，说明理由10题型七.利用导数证明不等式例 7. 设 a 为实数，函数 f(x)e x2x 2a，xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，e xx 22ax 1.练习：1. 已知 mR，函数 f(x) (x2mxm)e x(1)若函数没有零点，求实数 m 的取值范围；(2) 当 m0 时，求证 f(x)x 2x 3.2. 已知函数 .证明： ；(x)1xef0(x)1f
