1、 2016 年中考数学专题复习第十九讲 解直角三角形【基础知识回顾】一、 锐角三角函数定义：在 REABC 中，C=90 0, A 、B 、C 的对边分别为 a、b、c，则A 的正弦可表示为：sinA= ，A 的余弦可表示为 CBA= A 的正切：tanA= ，它们弦称为A 的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2、取值范围 】二、特殊角的三角函数值： sin cos tan300450600【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格
2、进行记忆2、当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 3、几个特殊关系：sinA+cos 2A= ,tanA=sinA若A+B=90 0，则 sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RTABC 中，C90 0 三边分别为 a、b、c三边关系： 两锐角关系 边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、3、解直角三角形应用中的有关概念仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角坡度坡角：如图：斜坡 AB 的垂直度 H 和水平宽度 L 的比叫做坡度，用 i 表示，即 i= 坡面与水平面得夹角为 用字母 表示，则 i= = hl方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于 900 的水平角如图：OA 表示 OB 表示 OC 表示 （也可称西南方向）3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角
4、形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例 1 （2012内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（ ）A B C D251025思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答解：如图：连接 CD 交 AB 于 O，根据网格的特点，CDAB，在 Rt AOC 中，CO= = ；21AC= = ；30则 sinA= = OCA251故选 B点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线 CD 并利用网格构造直角三角形是解题的关键对应训练1（2012 贵港）在平面直角坐标
5、系中，已知点 A（2，1）和点 B（3，0），则 sinAOB的值等于（ ）A B C D52321A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理专题：计算题分析：过 A 作 ACx 轴于 C，利用 A 点坐标为（2，1）可得到 OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出 OA，然后根据正弦的定义即可得到 sinAOB 的值解答：解：如图过 A 作 ACx 轴于 C， A 点坐标为（2，1），OC=2，AC=1，OA= = ，2OC5sinAOB= 1A故选 A点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值也考查了点的坐标与勾股定理考点二：特殊角的三
6、角函数值例 2 （2012孝感）计算：cos 245+tan30sin60= 思路分析：将 cos45= ，tan30= ，sin60= 代入即可得出答案332解：cos 245+tan30sin60= + = + =1121故答案为：1点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键对应训练（2012 南昌）计算： sin30+cos30tan60思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可解：原式= = =213212点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键考点三：化斜
7、三角形为直角三角形例 3 （2012安徽）如图，在ABC 中，A=30 ，B=45，AC=2 ，求 AB 的长36思路分析：过 C 作 CD AB 于 D，求出BCD=B，推出 BD=CD，根据含 30 度角的直角三角形求出 CD，根据勾股定理求出 AD，相加即可求出答案解： 过 C 作 CDAB 于 D，ADC=BDC=90 ，B=45，BCD=B=45，CD=BD，A=30，AC=2 ，3CD= ，BD=CD= ，由勾股定理得：AD= =3，2ACDAB=AD+BD=3+ ，3答：AB 的长是 3+ 点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的
8、应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目对应训练3（2012 重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB=2，求ABC 的周长（结果保留根号）3考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理专题：计算题分析：根据等边三角形性质求出B=60，求出C=30 ，求出 BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案解答：解：ABD 是等边三角形，B=60，BAC=90，C=180-90-60=30，BC=2AB=4，在 Rt ABC 中，由勾股定理得：AC= ，2243BCAABC 的周长是 AC
9、+BC+AB=2 +4+2=6+2 3答：ABC 的周长是 6+2 点评：本题考查了勾股定理，含 30 度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目考点四：解直角三角形的应用例 4 （2012张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中B=D=90，AB=BC=15 千米，CD=千米，请据此解答如下问题：32（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据 1.414， 1.73 23， 2.45）6（2）求ACD 的余弦值考点：
10、解直角三角形的应用分析：（1）连接 AC，根据 AB=BC=15 千米，B=90得到BAC= ACB=45 AC=15千米，再根据D=90利用勾股定理求得 AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可解：（1）连接 ACAB=BC=15 千米，B=90BAC=ACB=45 AC=15 千米 2又D=90AD= = （千米） 2 -ACD22(15)(3)1周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.78455（千米）面积=SABC+18 6 157（平方千米） （2）cosACD= C321=A5点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提
11、高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解对应训练6（2012 益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为 30米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，BAC=75（1）求 B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin750.9659，cos750.2588，tan753.732， 1.732，60 千米/ 小时16.7 米/秒）3考点
12、：解直角三角形的应用专题：计算题分析：（1）由于 A 到 BC 的距离为 30 米，可见C=90，根据 75角的三角函数值求出BC 的距离；（2）根据速度=路程时间即可得到汽车的速度，与 60 千米/小时进行比较即可解答：解：（1）法一：在 RtABC 中，ACB=90 ，BAC=75，AC=30，BC=ACtan BAC=30tan75303.732112（米）法二：在 BC 上取一点 D，连接 AD，使DAB=B，则 AD=BD，BAC=75，DAB= B=15 ，CDA=30，在 Rt ACD 中，ACD=90，AC=30，CDA=30 ，AD=60 ，CD=30 ，BC=60+30 1
13、12（米） 33（2）此车速度=1128=14（米/ 秒）16.7 （米/秒）=60（千米/小时）此车没有超过限制速度点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键【聚焦山东中考】1（2012 济南）如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（ ）A B C D33121A考点：锐角三角函数的定义专题：网格型分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解解答：解：由图形知：tanACB= ，2163故选 A点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义2（2012
14、滨州）把 ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（ ）A不变 B缩小为原来的 C扩大为原来的 3 倍 D不能确定132A分析：由于ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角 A 的正弦函数值也不变解答：解：因为ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数值也不变故选 A点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值也考查了相似三角形的判定与性质3（2012 烟台）计算： tan45
15、+ cos45= 232考点：特殊角的三角函数值分析：首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解解答：解：原式=1+ =1+1=22故答案是：2点评：本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键4（2012 济宁）在 ABC 中，若 A、B 满足|cosA- |+（sinB- ） 2=0，则C= 12475考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知 cosA- =0，sinB- =0，然后根据特122殊角的三角函数值得到A、 B 的度数，再根据三角形内角和为 180算出C
16、的度数即可解答：解：|cosA- |+（sinB- ） 2=0，12cosA- =0，sinB- =0，cosA= ，sinB= ，12A=60，B=45，则C=180-A- B=180-60-45=75，故答案为：75点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值5（2012 潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l上点 D 的
17、同侧取点 A、B，使CAD=30 ，CBD=60（1）求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据： =1.73， =1.41）；32（2）已知本路段对校车限速为 40 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由5考点：解直角三角形的应用分析：（1）分别在 Rt ADC 与 RtBDC 中，利用正切函数，即可求得 AD 与 BD 的长，继而求得 AB 的长；（2）由从 A 到 B 用时 2 秒，即可求得这辆校车的速度，比较与 40 千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速解答：解：（1）由題意得，在 Rt ADC 中，AD= =36.33，CD1 =2
18、3 tan30在 Rt BDC 中，BD= =12.11， 7 ta则 AB=AD-BD=36.33-12.11=24.2224.2（米）。（2）汽车从 A 到 B 用时 2 秒，速度为 24.22=12.1（米/秒），12.13600=43560，该车速度为 43.56 千米/小时， 大于 40 千米/小时，此校车在 AB 路段超速点评：此题考查了解直角三角形的应用问题此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用6（2012 青岛）如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当
19、光线与地面夹角是 45时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离（B、F 、C 在一条直线上）（1）求教学楼 AB 的高度；（2）学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离（结果保留整数）（参考数据：sin22 ，cos22 ，tan22 ）3815626考点：解直角三角形的应用分析：（1）首先构造直角三角形AEM，利用 tan22=，求出即可；AME（2）利用 Rt AME 中，cos22= ，求出 AE 即可MEA解：（1）过点 E 作 EMAB，垂足为 M设 AB 为 xRtABF 中，AFB=45 ，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13，在 Rt AEM 中，AEM=22，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22= ，AME则 x-2 x+13 =2 5 ，解得：x=12即教学楼的高 12m（2）由（1）可得 ME=BC=x+13=12+13=25在 Rt AME 中，cos22= MEAAE=ME cos22 25 15 16 27，即 A、E 之间的距离约为 27m
