1、1勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例.在 中， ABC90已知 ， 求 的长 已知 ， ，求 的长68AB17AB5CB跟踪练习：1.在 ABC中， 90.（1）若 a=5,b=12,则 c= ;（2）若 a:b=3:4,c=15,则 a= ,b= .（3）若A=30，BC=2,则 AB= ，AC= .2. 在 RtABC 中，C=90， A ，B ，C 分别对的边为 a，b，c，则下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A、2、4、6 B、4、6、8 C、6、8、10 D、3、4、54.等腰直角三角形的直角边
2、为 2，则斜边的长为（ ）A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为 2cm，则等边三角形的面积为（ ）A、 B、 C、 1 D、6.已知直角三角形的两边为 2 和 3，则第三边的长为_.7.如图，ACB=ABD=90，AC=2 ，BC=1， ，则 BD=_.8.已知ABC 中，AB=AC=10 ，BD 是 AC 边上的高线，CD=2，那么 BD 等于（ ）A、4 B、6 C、8 D、9.已知 RtABC 的周长为 ，其中斜边 ，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以 RtABC 的三边长为边作三
3、个等边三角形，则这三个等边三角形的面积 、 、 之间有1S23何关系？并说明理由。（2）如图，以 RtABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 、 、 之间有何关系？123（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折 180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。 （此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙” ）2题型二：利用勾股定理测量长度例 1. 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1.如图（8） ，水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5
4、 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A、12 米 B、13 米 C、 14 米 D、15 米3.如图，有两颗树，一颗高 10 米，另一颗高 4 米，两树相距 8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A、8 米 B、10 米 C、12 米 D、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用例 3. 如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且 那么DEF
5、 是直ABF41角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：31. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，F 点 CD 边上一点，且 DF=3CF，求证：AEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度例 1. 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.跟踪练习：1.如图，将一个有 45 度角的三角板顶点 C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点 B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角
6、，求三角板的最大边 AB 的长.2.如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=90，D 为 AC 的中点，DE DF ，交 AB 于 E，交 BC 于F， （1）求证：BE=CF; （2）若 AE=3，CF=1，求 EF 的长.3.如图，CA=CB,CD=CE,ACB=ECD=90,D 为 AB 边上的一点.若 AD=1，BD=3，求 CD 的长.4题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例 1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1.如图，每个小正方形的边长都
7、是 1，ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断ABC 的形状，并说明理由.（1）求证：ABD=90;（2）求 的值2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（ ）A、9，12，15 B、7,24,25 C、 D、 ， ，3.在ABC 中，下列说法B=C-A； ；A:B:C=3：4：5；a:b:c=5:4:3 ； ： ： =1:2:3，其中能判断ABC 为直角三角形的条件有（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个4.在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c. 判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2
8、 ）a=5，b=7，c=9; （3）a=2， ，A、2 个 B、3 个 C、 4 个 D、5 个5.已知ABC 的三边长为 a、b、c，且满足 ，则此时三角形一定是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形6.在ABC 中，若 a= ，b=2n，c= ，则ABC 是（ ）12n12n5A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形7.如图，正方形网格中的ABC 是（ ）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形8.已知在ABC 中，A、B 、C 的对边分别是 a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）A、如果C-B=A,
9、那么C=90 B、如果C=90，那么C、如果（a+b） （a-b）= ，那么A=90 D、如果A=30，那么 AC=2BC9.已知ABC 的三边分别为 a，b，c，且 a+b=3，ab=1， ，求 的值，试判断ABC 的形状，并说明理由10.观察下列各式： ， ， ， ，根据其中规律，写出下一个式子为_11.已知，mn，m、n 为正整数，以 ，2mn， 为边的三角形是_三角形.12.一个直角三角形的三边分别为 n+1，n-1 ，8，其中 n+1 是最大边，当 n 为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题 6. 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB= ,PC=4,求
10、ABC 的边长.23跟踪练习1.如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是 BC 上的点，且EAF=45，试探究间的关系，并说明理由. 22BECF、 、题型七：关于翻折问题例题 7.如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点6B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长.跟踪练习1.如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45，把ADC 沿直线 AD 翻折，点 C 落在点 C的位置，BC=4,求 BC的长.(一) 折叠直角三角形1.如图，在ABC 中，A = 90，点 D 为 AB 上一点，沿 CD 折
11、叠ABC，点 A 恰好落在 BC 边上的处，AB=4，AC=3，求 BD 的长。A2. 如图，RtABC 中，B=90，AB=3，AC=5将ABC 折叠使 C 与 A 重合，折痕为 DE，求 BE 的长（二）折叠长方形1.如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=5 ，F 为 CD 上一点，将长方形沿折痕 AF 折叠，点 D 恰好落在7BC 上的点 E 处，求 CF 的长。2. 如图，长方形 ABCD 中，AD=8cm，AB=4cm，沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 与 C重合. （1）求 DE 的长;（2）求折痕 EF 的长.3. （2013常德）如图，将长方形纸片 ABC
12、D 折叠，使边 CD 落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且 D 点落在对角线 D处若 AB=3，AD=4，则 ED 的长为（ ）4. 如图，长方形 ABCD 中， AB=6，AD=8，沿 BD 折叠使 A 到 A处 DA交 BC 于 F 点. （1）求证：FB=FE（2）求证：CA BD（3）求DBF 的面积7. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将ADE 沿 AE 对折至AFE ，延长 EF 交边 BC 于点8G,G 为 BC 的中点，连结 AG、CF. （1）求证：AGCF;（2）求 的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在
13、P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例 2.一辆装满货物高为 1.8 米，宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为 5 米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从 A 城正西方向 300km 处，以每小时 26km 的速度向北偏东 60方向移动，距风暴中心 200km 的范围内为受影
14、响区域。试问 A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2.一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该APQMN9工厂的厂门?3.有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4.如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C ，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站
15、多少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）例 2.跟踪练习：1.如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒10爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面
16、爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？BA 5 313.一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A 点爬到盒顶的 B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？BAA4.如图将一根 13.5 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 4 厘米、3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？3？A题型十：勾股定理与特殊角（一） 直接运用 30或 45的直角三角形1.如图，在ABC 中，C = 90，B = 30，AD 是ABC 的角平分线，若 AC= ，求 AD 的长。23
