1、1如图 1，已知直线 y=2x+2 与 y 轴、x 轴分别交于 A、B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作等腰 RtABC （1 ）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式（2 ）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D，连接 AD，若 AD=AC，求证：BE=DE（3 ）如图 3，在（1 ）的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M， P（ ，k ）是线段 BC 上一点，在线段 BM 上是否存在一点 N，使直线 PN 平分 BCM 的面积？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。分析：（1）如图 1，作 CQx 轴，垂足为 Q，利用
2、等腰直角三角形的性质证明 ABOBCQ，根据全等三角形的性质求 OQ，CQ 的长，确定 C 点坐标；（2 ）同（1 ）的方法证明BCHBDF，再根据线段的相等关系证明BOEDGE，得出结论；（3 ）依题意确定 P 点坐标，可知 BPN 中 BN 变上的高，再由 SPBN= SBCM，求 BN，进而得出 ON解答：解：（1）如图 1，作 CQx 轴，垂足为 Q，OBA+OAB=90，OBA+QBC=90，OAB=QBC，又AB=BC， AOB=Q=90，ABOBCQ，BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，C （3，1 ） ，由 A（0，2 ） ，C（3，1 ）可知，直线 AC：y
3、= x+2；（2 ）如图 2，作 CHx 轴于 H，DFx 轴于 F，DGy 轴于 G，AC=AD，AB CB ，BC=BD，BCH BDF，BF=BH=2，OF=OB=1，DG=OB ，BOEDGE，BE=DE；（3 ）如图 3，直线 BC：y= x ，P（ ，k）是线段 BC 上一点，P（ ， ） ，由 y= x+2 知 M（ 6，0） ，BM=5 ，则 SBCM= 假设存在点 N 使直线 PN 平分 BCM 的面积，则 BN = ，BN= ，ON= ，BNBM ，点 N 在线段 BM 上，N（ ，0 ） 点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利
4、用全等三角形的性质求解2如图直线 ：y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，点 B 的坐标是（ 8，0） ，点 A 的坐标为（6，0）（1 ）求 k 的值（2 ）若 P（x，y）是直线 在第二象限内一个动点，试写出OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围（3 ）当点 P 运动到什么位置时， OPA 的面积为 9，并说明理由考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：（1）将 B 点坐标代入 y=kx+6 中，可求 k 的值；（2 ）用 OA 的长，y 分别表示OPA 的底和高，用三角形的面积公式求 S 与 x 的
5、函数关系式；（3 ）将 S=9 代入（2）的函数关系式，求 x、y 的值，得出 P 点位置解答：解：（1）将 B（ 8，0）代入 y=kx+6 中，得8k+6=0，解得 k= ；（2 ）由（1 ）得 y= x+6，又 OA=6，S= 6y= x+18， （8x 0 ） ；（3 ）当 S=9 时， x+18=9，解得 x=4，此时 y= x+6=3，P（4，3） 点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示3如图，过点（1，5 ）和（ 4，2 ）两点的直线分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点（1 ）如果一个点的
6、横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 10 个（请直接写出结果） ；（2 ）设点 C（ 4，0 ） ，点 C 关于直线 AB 的对称点为 D，请直接写出点 D 的坐标 （6，2 ） ；（3 ）如图，请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M、N 使CMN 的周长最短，在图中作出图形，并求出点 N 的坐标考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y=x+6；再分别把 x=2、3 、4、5 代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；（2 ）首先根据直线 AB 的解析式可知 OAB 是
7、等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点 D 的坐标；（3 ）作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E，连接 DE 交 AB 于点 M，交 y 轴于点 N，则此时CMN 的周长最短由 D、E 两点的坐标利用待定系数法求出直线 DE 的解析式，再根据 y 轴上点的坐标特征，即可求出点 N 的坐标解答：解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把（1，5 ） ， （4，2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，解得 k=1，b=6 ，直线 AB 的解析式为 y=x+6；当 x=2，y=4；当 x=3，y=3；当 x=4，y=2；当 x=5，y=1图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
8、（1 ， 1） ， （1，2） ， （1，3） ， （1 ，4） ，（2 ， 1） ， （2，2） ， （2，3） ，（3 ， 1） ， （3，2） ，（4 ， 1） 一共 10 个；（2 ） 直线 y=x+6 与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点，A 点坐标为（6 ，0） ，B 点坐标为（0，6） ，OA=OB=6，OAB=45点 C 关于直线 AB 的对称点为 D，点 C（4 ，0） ，AD=AC=2，ABCD，DAB= CAB=45，DAC=90，点 D 的坐标为（6，2） ；（3 ）作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E，连接 DE 交 AB 于点 M，交 y 轴于点 N，则NC=
9、NE，点 E（4，0 ） 又点 C 关于直线 AB 的对称点为 D，CM=DM ，CMN 的周长 =CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短设直线 DE 的解析式为 y=mx+n把 D（6 ，2） ， E（4，0）代入，得6m+n=2，4m+n=0，解得 m= ，n= ，直线 DE 的解析式为 y= x+ 令 x=0，得 y= ，点 N 的坐标为（0， ） 故答案为 10；（6 ，2） 点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称最短路线问题，综合性较强，有一定难度4若直线 y=mx+8 和 y=nx+3 都经过 x 轴
10、上一点 B，与 y 轴分别交于 A、C（1 ）填空：写出 A、C 两点的坐标，A （0，8 ） ，C （0，3 ） ；（2 ）若ABO=2CBO，求直线 AB 和 CB 的解析式；（3 ）在（2 ）的条件下若另一条直线过点 B，且交 y 轴于 E，若 ABE 为等腰三角形，写出直线 BE 的解析式（只写结果） 考点：一次函数综合题。分析：（1）由两条直线解析式直接求出 A、C 两点坐标；（2 ）由直线 y=mx+8 得 B（ ，0 ） ，即 OB= ，而 AO=8，利用勾股定理求 AB，根据角平分线性质得比例求 m 的值，再根据直线 BC 与 x 轴的交点为 B 求 n 即可；（3 ）根据（2
11、 ）的条件，分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧与 y 轴相交，作 AB 的垂直平分线与 y 轴相交，分别求交点坐标解答：解：（1）由直线 y=mx+8 和 y=nx+3 得 A（0 ，8） ，C（0，3 ） ，故答案为：（0，8） ， （0 ，3） ；（2 ）令直线 y=mx+8 中 y=0，得 B（ ，0 ） ，即 OB= ，又 AO=8，AB= =8 ，ABO=2CBO， = ，即 24 =5 ，解得 m= ，又由 y=nx+3 经过点 B，得 = ，解得 n= ，直线 AB：y= x+8，直线 CB：y= x+3；（3 ）由（2 ）可知 OB=6，AB= =10，当ABE 为等腰
12、三角形时，直线 BE 的解析式为：y=3x+18 或 y= x2 或 y= x8 或 y= x+ 点评：本题考查了一次函数的综合运用关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式5如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P（x，y） ，PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，C（a，0） ，点 E 在 y 轴上，点 D，F 在 x 轴上，AD=OB=2FC ，EO 是 AEF 的中线，AE交 PB 于点 M，x+y=1（1 ）求点 D 的坐标；（2 ）用含有 a 的式子表示点 P 的坐标；（3 ）图中面积相等的三角形有几对？考点：一次函数综合题；列代数式；点的
13、坐标；三角形的面积。分析：（1）根据 P 点坐标得出 A，B 两点坐标，进而求出 x+y=DO，即可得出 DO 的长，即可得出 D 点坐标；（2 ）利用 C 点坐标得出 CO 的长，进而得出 y 与 a 的关系式，即可得出 P 点坐标；（3 ）利用三角形面积公式以及 AO 与 FO 的关系，进而得出等底等高的三角形解答：解：（1）P（x，y） ，PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，A（x ，0） ，B（0，y ） ，即：OA=x，BO=y，AD=BO，x DO=y，x+y=DO ，又x+y=1，OD=1 ，即：点 D 的坐标为（ 1，0） （2 ） EO 是AEF 的中线，AO=OF=x
14、，OF+FC=CO，又OB=2FC=y，OC=a，x =a，又x+y=1， y=1a，y= ，x= ，P（ ， ） ；（3 ）图中面积相等的三角形有 3 对，分别是：AEO 与FEO，AMO 与 FBO，OME 与 FBE点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关系，根据已知得出 y=1a 是解题关键6如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 A（2 ，3 ） ，与 x 轴交于点 B，且与直线平行（1 ）求：直线 l 的函数解析式及点 B 的坐标；（2 ）如直线 l 上有一点 M（a，6 ） ，过点 M 作 x 轴的垂线，交直线 于点 N，在线段 MN
15、上求一点 P，使PAB 是直角三角形，请求出点 P 的坐标考点：一次函数综合题。分析：（1）设直线 l 的解析式为：y=kx+b ，因为直线 l 与直线 平行，所以 k=3，又直线 l 经过点 A（2，3 ） ，从而求出 b 的值，进而直线 l 的函数解析式及点 B 的坐标可求出；（2 ）点 M（a， 6）在直线 l 上，所以可先求出 a 的值，再分别分：当 AB 为斜边时；当 PB为斜边时；当 PA 为斜边时，进行讨论求出满足题意的 P 点的坐标即可解答：解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0 ） ，直线 l 平行于 y=3x ，k=3 ，直线 l 经过点 A（2，3 ） ，3
16、=23+b，b= 9，直线 l 的解析式为 y=3x9，点 B 坐标为（3 ，0） ；（2 ） 点 M（ a，6）在直线 l 上，a=1 ，则可设点 P（1 ，y） ， ，y 的取值范围是6y ，当 AB 为斜边时，PA 2+PB2=AB2，即 1+（y+3） 2+4+y2=10，解得 y1=1，y 2=2，P（1， 1） ，P（1， 2） ，当 PB 为斜边时，PA 2+AB2=PB2，即 1+（y+3） 2+10=4+y2，解得 y= ， ，当 PA 为斜边时，PB 2+AB2=PA2，即 10+4+y2=1+（y+3） 2，解得 y= ， （舍去） ，综上所述，点 P 的坐标为 P1（1
17、，1 ） ，P 2（1， 2） ，P 3点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形（直角三角形）问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题7已知如图，直线 y= x+4 与 x 轴相交于点 A，与直线 y= x 相交于点 P（1 ）求点 P 的坐标；（2 ）求 SOPA 的值；（3 ）动点 E 从原点 O 出发，沿着 OPA 的路线向点 A 匀速运动（E 不与点 O、A 重合） ，过点 E 分别作 EFx 轴于 F，EBy 轴于 B设运动 t 秒时， F 的坐标为（a，0 ） ，矩形 EBO
18、F与OPA 重叠部分的面积为 S求：S 与 a 之间的函数关系式考点：一次函数综合题。分析：（1）P 点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标（2 ）把 OA 看作底，P 的纵坐标为高，从而可求出面积（3 ）应该分两种情况，当在 OP 上时和 PA 时，讨论两种情况求解解答：解：（1） x+4 = xx=3，y= 所以 P（3， ） （2 ） 0= x+4 x=44 =2 故面积为 2 （3 ）当 E 点在 OP 上运动时，F 点的横坐标为 a，所以纵坐标为 a，S= aa aa= a2当点 E 在 PA 上运动时，F 点的横坐标为 a，所以纵坐标为 a+4 S=（ a+4 ）a （ a+4 ）a= a2+2 a点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标8如图，将边长为 4 的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使 AB 边落在 x 轴正半轴上，且 A 点的坐标是（1 ，0）
